Capítulo 1 3ra parte (vectores).pdf

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA
CAP. 5
1
Vectores y Aplicaciones a la Geometría
En este Capítulo se generalizará la noción de los vectores o flechas que han usado en la
representación de las fuerzas en Física en la escuela. También de la Física son los ejemplos
de velocidad y aceleración, que al igual que las fuerzas involucran dos aspectos: una
intensidad (la cantidad de fuerza, velocidad o aceleración) y una dirección. El otro aspecto
para tener en cuenta de estos conceptos físicos es el sentido.
Toda entidad u objeto que involucre esos aspectos (intensidad, dirección y sentido) se llama
vector. Cuando representamos un vector por una flecha, la longitud de ella representa su
intensidad y la dirección de la flecha la dirección del vector, además al dibujar en la flecha
el vértice de la misma indica el sentido en que actúa según esa dirección.
Los números son objetos que su magnitud se puede indicar en una escala por eso que en
este contexto nos referimos a ellos como escalares.
Se verán vectores en el plano y en el espacio. Para ello necesitaremos sistemas de
referencia que daremos oportunamente según que vectores tratemos (del plano o del
espacio), que son los sistemas de coordenadas cartesianas. Trabajaremos en ambos casos
con sistemas de coordenadas ortogonales. El sistema para el plano es el que ya se vio en el
capitulo anterior. Para el espacio (de tres dimensiones) se considerará la intersección de tres
planos perpendiculares, lo que originará tres rectas que llamaremos ejes coordenados.
3. Entrando en vectores
Para dos puntos P1 y P2 en el plano, con un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales, cuyas respectivas coordenadas son (x1, y1) y (x2, y2), se traza el segmento
1 2
PP que los une.

CAP. 5
2
y
𝑦2 𝑃2
𝑃1
𝑦1
O 𝑥1 𝑥2 x
A ese segmento se lo orienta y da un sentido, poniendo una punta de flecha, por ejemplo
en el punto P2. En este caso lo anotaremos 𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y lo llamaremos
vector de origen en P1 y extremo final en P2 .
y
𝑦2 𝑃2
𝑃1
𝑦1
O 𝑥1 𝑥2 x
Sea A otro punto, que Ud. determinará para que O P1 P2 A sea un paralelogramo.
P2 P2
a mi me quedó
así? A Ud.?

CAP. 5
3
y
𝑦2 𝑃2
𝑦1 𝑃1
A
O 𝑥1 𝑥2 x
Como son las longitudes de los segmentos 1 2
PP y OA ? Ha construido un
paralelogramo: luego son iguales!!!!!
Ahora transformemos OA en un vector de origen en O (lo de la flechita)
Al vector se lo ha construido de igual longitud y sentido que𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Llamaremos módulo del vector 𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y lo anotaremos:
|𝑃1𝑃2|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦)2 , es decir coincide con la distancia entre los puntos P1
y P2
2.3.1 EJERCICIO
Dibuje al menos 5 flechas con igual sentido que 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ y que formen paralelogramos con uno
de sus lados sea 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ (como se hizo con 𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
2.3.2 EJERCICIO
a) Dados los puntos P1 (1, 3) y P2 (3, -1) repita la construcción anterior. (es decir siga los
pasos hasta la construcción de 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
b) Halle el módulo de𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y compruebe que coincide con el de 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ .
c) Dibuje varios vectores con origen distinto de O, que tengan igual sentido y módulo que
𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗

CAP. 5
4
COMENTARIO
El conjunto de vectores que ha construido en c) se llaman ¨vectores libres¨ y son vectores
que se llaman equivalentes entre sí.
El concepto de equivalente en Matemática se utiliza muy frecuentemente. Su significado es
casi igual al cotidiano. Cosas que no son iguales pero que pueden sustituirse entre sí de
alguna manera.
4. Comencemos por los vectores del plano...
Partimos de la representación de los vectores o flechas en el plano y haremos algunas
formalizaciones.
Un plano en el que se ha introducido un sistema de coordenadas se designa por ℝ2
y en el
cual se definirán operaciones como se verá más adelante. Es decir
ℝ2
= {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ }
este conjunto es el subyacente (que sirve de base o sustento) para la definición de
operaciones.
Otra manera de tratar los puntos de ℝ2
es considerarlos como los extremos de las
"flechitas" o vectores cuyo origen es el origen del sistema de coordenadas. Por comodidad
o abuso del lenguaje nos referiremos al vector tanto como P el par (a, b), 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ o 𝑣
y
b P = (a,b)
OP = v = (a,b)
O a x

CAP. 5
5
Además se define para 𝑣 = (𝑎, 𝑏) 𝑢
⃗ = (𝑐, 𝑑) la igualdad de vectores y se anota
𝑣 = 𝑢
⃗ si y sólo si a = c y b = d
Las operaciones sobre ℝ2
se definen como sigue:
la suma + como:
𝑣 = (𝑎, 𝑏) 𝑢
⃗ = (𝑐, 𝑑)
𝑣 + 𝑢
⃗ = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
Observe que gráficamente el vector suma es la
diagonal del paralelogramo de terminado por
los vectores dados.
Así resulta la suma de vectores una operación interna de ℝ2
× ℝ2
→ ℝ2
, es decir dados
dos vectores el resultado de sumarlos es un vector.
Y se define el producto por un escalar: 𝑟 ∈ ℝ y 𝑣 = (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2
, 𝑟 • 𝑣 = (𝑟. 𝑎, 𝑟. 𝑏)
y
b+d u + v
b
𝑢
→
d
𝑣
→
O a c a+c x

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6
y (r>0) y
(r<0)
r.a 𝑟. 𝑣
a
𝑣
→ b
r.a O a
O b r.b x r.b
Puede comprobarse fácilmente que si 𝑣 = (𝑎, 𝑏) es un vector al que se lo multiplica, por
ejemplo, por el escalar r = 2, se obtiene el vector 2 • 𝑣 = (2. 𝑎, 2. 𝑏), que es un vector que
tiene la misma dirección que 𝑣, el mismo sentido y su módulo es el doble del módulo de
de 𝑣. Si ahora multiplicamos al vector 𝑣, por el escalar r = -1/2, el vector −1/2𝑣 resulta
ser un vector tiene la misma dirección que 𝑣, sentido opuesto al de 𝑣 y su módulo es la
mitad del módulo de 𝑣.
Esta operación es externa de ℝ, va de ℝ × ℝ2
→ ℝ2
, a un número real y a un vector le
asocia un vector.
2.4.1. EJEMPLO:
Si 𝑣 = (2,-3) y 𝑢
⃗ = ( 7, 9) entonces
𝑣 + 𝑢
⃗ = (2 + 7, -3 + 9) = (9, 6)
3.𝑣+ 5.𝑢
⃗ = (3.2 , 3.(-3) ) + (5.7 , 5.9) = (6, -9) + (35, 45) = ( 41, 36)
Haga Ud. la representación gráfica.
2.4.2. EJEMPLO:
 Si 𝑣 = (2,-3) y 𝑜= (0, 0) entonces 𝑣 +𝑜 = (2 +0 , -3 + 0) = (2, -3), qué opina de 𝑜 ?
 Si 𝑣 = (2,-3) y 𝑢
⃗ = ( -2, 3) entonces 𝑣 + 𝑢
⃗ = (2 + (-2), -3 + 3) = (0, 0)
Qué relación hay entre 𝑣 y 𝑢
⃗ ? Cómo los puede indicar ???
?

CAP. 5
7
 Si 𝑣 = (1, 7) qué ocurre si lo multiplico por 0, por 1 y por -1?
0.𝑣 = (0.1, 0.7) = (0, 0) 1. 𝑣 = (1.1, 1.7) = (1, 7) -1𝑣 = (-1.1, -1.7) = (-1, -7)
Qué puede concluir?
Será lo mismo para cualquier vector 𝑣? Pruebe lo que conjetura a partir de este ejemplo!!!
2.4.3. EJEMPLO:
Para 𝑣 = (2,-3) y 𝑢
⃗ = ( -2, 3), hallar sus módulos:
|𝑣| = √22 + (−3)2 = √4 + 9 = √13 |𝑢
⃗ | = √(−2)2 + 32 = √4 + 9 = √13
Qué puede concluir?
Será lo mismo para cualquier vector 𝑣? Pruebe lo que conjetura a partir de este ejemplo!!!
Se anota 𝑣 - 𝑢
⃗ = 𝑣 + ( - 𝑢
⃗ ) (es restar vectores…)
2.4.4 .EJERCICIO.
a) Demuestre alguna de las siguientes propiedades enunciadas abajo: (A) asociativa, (C)
conmutativa, (N) existencia del neutro y (O) existencia del opuesto que se verifican
para la suma definida sobre ℝ2
. Pero tenga en cuenta todas. Para demostrar la que
eligió considere vectores generales y verifique que se cumplen.
(A): (𝒗
⃗
⃗ + 𝒖
⃗⃗ ) + 𝒘
⃗⃗⃗ = 𝒗
⃗
⃗ + (𝒖
⃗⃗ + 𝒘
⃗⃗⃗ )
(C): 𝒗
⃗
⃗ + 𝒖
⃗⃗ = 𝒖
⃗⃗ + 𝒗
⃗
⃗
(N): Existe 𝑶
⃗⃗ = (𝟎, 𝟎) tal que para todo vector 𝑣,
⃗⃗⃗⃗ 𝑶
⃗⃗ + 𝒗
⃗
⃗ = 𝒗
⃗
⃗ + 𝑶
⃗⃗ = 𝒗
⃗
⃗
(O): Para todo vector 𝑣, existe -𝒗
⃗
⃗ tal que −𝒗
⃗
⃗ + 𝒗
⃗
⃗ = 𝒗
⃗
⃗ + (−𝒗
⃗
⃗ ) = 𝑶
⃗⃗
2.4.5.EJERCICIO.
a) Demuestre alguna de las siguientes propiedades (P1), (P2), (P3) y (P4), que valen para
el producto por un escalar definido anteriormente. Pero no deje de tener en cuenta a
todas ellas
(P1): Para todo a y b números reales y todo vector 𝑣 a. (b. 𝑣) = (a. b). 𝑣

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8
(P2): Para todo a número real y todo par de vectores 𝑣 𝑦 𝑢
⃗ , a. (𝑣 + 𝑢
⃗ ) = a . 𝑣 + a. 𝑢
⃗
(P3): Para todo vector 𝑣, 1. 𝑣 = 𝑣
(P4): Para todo a y b números reales y todo vector 𝑣, (a+ b). 𝑣 = a. 𝑣+ b. 𝑣
Importante:
1. Dos vectores destacados .....
Dado cualquier vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏)
lo podemos expresar como
𝑣 = (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏)
Además se tiene que
( ,0) .(1,0)
(0, ) .(01)
a a
b b


y
b
𝑣
→ = (a,b)
(0,b)
(0,1)
(a,0)
O (1,0) a x
y
b
𝑣
→ = (a,b)
(0,b)
(a,0)
O a x
Es inmediato que para 𝑣 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎. î + 𝑏. 𝑗
los números a y b que permiten escribir a 𝑣 son únicos y se los llama las coordenadas de
𝒗
⃗⃗⃗ respecto de la base {𝑖 , 𝑗 }.
Por lo que resulta que 𝑣 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎. (1,0) +
𝑏. (0,1)
A estos dos vectores tan especiales que nos
permiten escribir cualquier vector del plano
como combinación de ellos, los "bautizamos"
con
𝑖 = (1,0) 𝑗 = (0,1)
Decimos que son la base canónica de ℝ2

CAP. 5
9
2.5.1 EJEMPLO
Dado el vector 𝑣= (2, 5) se puede escribir como 𝑣 = (2,5) = 2. î + 5. 𝑗 , y para el vector
𝑢
⃗ = (4,7) = 4. î + 7. 𝑗.
Las coordenadas de 𝑣 respecto de la base
canónica son 2 y 5 y las de 𝑢
⃗ son 4 y 7.
Halle Ud. los vectores opuestos a 𝑣 y a 𝑢
⃗ y calcule la suma de los vectores 𝑣 y 𝑢
⃗ y en
todo
Caso sus coordenadas en la base canónica.
Qué puede decir !! Será en general lo que observa ?
2.5.2 EJERCICIO
Dados los vectores 𝑣 = (-1, 0), 𝑢
⃗ = (3, -5), 𝑤
⃗⃗ = (0, 4), 𝑟 = (5, -2)
a) Representarlos y escribirlos como combinación de la base canónica.
b) Hallar los vectores 3. 𝑣, -5. 𝑢
⃗ . Representarlos y escribirlos como combinación de la
base canónica. Observe la representación gráfica y saque conclusiones.
c) Hallar los vectores 4. 𝑤
⃗⃗ , -2. 𝑟. Representarlos y escribirlos como combinación de la
base canónica. Observe la representación gráfica y saque conclusiones.
d) Hallar los vectores: 2. 𝑣 - 3. 𝑢
⃗ y 4. 𝑤
⃗⃗ + 3. 𝑟. Representarlos y escribirlos como
combinación de la base canónica. Cuáles son las coordenadas en {𝑖 , 𝑗 }?
2.5.3 EJERCICIO
Dados los vectores 𝑣= -1 𝑖 − 3𝑗 , 𝑤
⃗⃗ = (0, 4), 𝑟 = 5. (5, -2)
a) Hallar el vector 𝑥
⃗⃗⃗ si sabe que 3. 𝑥 + 2. 𝑣 = 4. 𝑤
⃗⃗ - 𝑟
b) Hallar el vector opuesto a 𝑣 + 𝑤
⃗⃗ .
c) Hallar 𝑥 tal que 2. 𝑥 + 5. 𝑟
⃗⃗ = 15. 𝑤
⃗⃗
d) Hallar ½ 𝑥 que verifique que 7. 𝑥 - 9. 𝑟= 4. (𝑣 - 𝑤
⃗⃗ )
2.5.4 EJERCICIO
Hallar los módulos de los vectores del ejercicio anterior.

CAP. 5
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2. Sigamos con los vectores del espacio...
Ahora se tratarán las "flechas" que se encuentran en el espacio. Para referirnos a ellas se
hará un tratamiento similar al realizado anteriormente para los vectores del plano.
 Un sistema de referencia...
Para ubicar y determinar un punto del espacio usual respecto de otro punto se necesitan dar
tres valores de referencia: como difiere en "el ancho", en "el largo" y en "el alto". Por ello
es que ahora un sistema de referencia debe tener tres ejes coordenados, que se obtienen
como la intersección dos a dos de tres planos, llamados planos coordenados. Se verá el
caso en que estos planos al cortase forman ángulos rectos. Así se construye el sistema de
coordenadas cartesianas ortogonal.
Estas intersecciones dividen al espacio en 8 regiones, cada una de las cuales llamada
octante.
En el caso del plano las coordenadas se llaman habitualmente x e y. En el espacio las
coordenadas se llaman x, y y z.
Los planos coordenados se denominan plano xy, plano xz y plano yz. Los ejes se obtienen
como intersección de cada dos de ellos. Los tres se cortan en un punto, origen del sistema.
La recta intersección del plano xy con el plano xz, se llama eje x, la recta intersección del
plano xz con el plano yz, se llama eje y, y la recta intersección del plano yz con el plano xz,
se llama eje z.

CAP. 5
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Practique…
Trate de ubicar puntos en el espacio
2.6.2 EJERCICIO
eje z
P*(x, y,0)
eje x
Los ejes coordenados son similares a los del
plano. Son rectas graduadas.
Una forma de determinar las coordenadas de un
punto P, se proyecta el punto sobre el plano xy.
Asi se determina P*.
Las proyecciones de P* sobre los ejes x e y
(paralelamente al otro eje) dan los valores de x y
de y asociados a P*.
Para obtener el valor de z, se proyecta P sobre el
eje z paralelamente al plano xy, lo que resulta
paralelo al segmento OP*.
Algunos se
esconden
atrás de los
planos...
O
z
P(x,y,z)

CAP. 5
12
Dibujar en un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal para el espacio, los puntos de
coordenadas (1,1, 0) , ( 3, -1, 2) , (- 1, 0, 1) , (5, 5, 5) , (0, 0, 3) ,( 2, 0, 0), (0, -2, -3).
Camino a los vectores...
La motivación sigue siendo las "flechitas" de la Física, por ejemplo las fuerzas.
Un espacio en el que se ha introducido un sistema de coordenadas se designa por ℝ3
y en el
cual se definirán operaciones como se verá más adelante. Es decir
ℝ3
= {(𝑎, 𝑏, 𝑐): 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ }
este es el conjunto subyacente (que sirve de base o sustento) para la definición de
operaciones.
Otra forma de tratar los puntos de ℝ3
es considerarlos como los extremos de las "flechitas"
o vectores cuyo origen es el origen del sistema de coordenadas.
También por comodidad o abuso del lenguaje nos referiremos al vector, como
(a, b, c), 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ o 𝑣
Además se define para 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑢
⃗ = (𝑑, 𝑒, 𝑓) la igualdad y se anota
𝑣 = 𝑢
⃗ si y sólo si a = d, 𝑏 = 𝑒 𝑦 𝑐 = 𝑓
Como en el caso planario se pueden definir para ℝ3
las operaciones de suma y producto por
el escalar como sigue:
La suma + por : Si 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y 𝑢
⃗ = (𝑑, 𝑒, 𝑓) el vector suma está dado por:
𝑣 + 𝑢
⃗ = (𝑎 + 𝑑, 𝑏 + 𝑒, 𝑐 + 𝑓)
Así resulta una operación interna de : ℝ3
× ℝ3
→ ℝ3
, dados dos vectores por la definición
sumados es un vector.
El producto por un escalar como:
𝑟 ∈ ℝ 𝑦 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑟 𝑣 = (𝑟𝑎, 𝑟𝑏, 𝑟𝑐).

CAP. 5
13
Esta operación es externa, a un número real y a un vector le asocia un vector. Va de ℝ ×
ℝ3
→ ℝ3
y cumple las mismas propiedades enunciadas vara vectores de ℝ2
2.6.3. EJEMPLO:
Si 𝑣 = (2,-3, 3) y 𝑢
⃗ = (7, 9,5) entonces
𝑣+ 𝑢
⃗ = (2 + 7, -3 + 9, 3+5) = (9, 6, 8)
3.𝑣 + 5.𝑢
⃗ = (3.2 , 3.(-3) , 3.3) + (5.7 , 5.9 , 5.5) = (6, -9, 9) + (35, 45 , 25) = ( 41, 36, 34)
2.6.4. EJEMPLO:
 Si 𝑣 = (2,-3, 3) y 𝑜= (0, 0, 0) entonces 𝑣 + 𝑜 = (2 +0 , -3 + 0, 3+0) = (2, -3, 3),
qué opina de 𝑜 ?
 Si 𝑣 = (2,-3, 3) y 𝑢
⃗ = ( -2, 3, -3) entonces 𝑣 + 𝑢
⃗ = (2 + (-2), -3 + 3, 3+(-3) ) = (0, 0, 0)
Qué relación hay entre 𝑣 y 𝑢
⃗ ? Cómo los puede indicar???
 Si 𝑣 = (1, 8, 7) qué ocurre si lo multiplico por 0, por 1 y por -1?
0. 𝑣 = (0.1, 0.8, 0.7) = 𝑜 ; 1. 𝑣 = 1. (1, 8, 7) = 𝑣 y
-1. 𝑣 = -1. (1, 8, 7) = (-1.1, -1.8, - 1.7) = - 𝑣
También en ℝ3
generalice los resultados de estos ejemplos....
Se anota 𝑣 - 𝑢
⃗ = 𝑣 + ( - 𝑢
⃗ ) (como la resta de vectores en ℝ3
)

CAP. 5
14
De manera natural se generalizan los conceptos de segmentos dirigidos determinados por
puntos del espacio . Los puntos tienen en esta situación tres coordenadas.
La magnitud de un segmento PQ , es la magnitud o módulo del segmento dirigido o
vector 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑃𝑄| = |𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 siendo 1 1 1 2 2 2
( , , ) y Q( , , )
P x y z x y z .
Esto generaliza la noción de distancia entre dos puntos, para puntos de ℝ3
Cuál es el módulo de 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ si 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)?

CAP. 5
15
 Ahora son tres los vectores destacados .....
Dado cualquier vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
se puede expresar como
𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 0,0) + (0, 𝑏, 0) + (0,0, 𝑐)
Y se tiene que
( ,0,0) .(1,0,0)
(0, ,0) .(0,1,0)
(0,0, ) .(0,0,1)
a a
b b
c c



Luego resulta 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎. (1,0,0) +
𝑏. (0,1,0) + 𝑐. (0,0,1)
A estos tres vectores especiales que nos permiten
escribir cualquier vector del espacio como
combinación de ellos, los "bautizamos" con
𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) 𝑘
⃗ = (0,0,1)
Decimos que son la base canónica de ℝ3
.
(0,0,1)
(0,1,0)
(1,0,0)

CAP. 5
16
2.6.8 EJEMPLO
Dado el vector 𝑣= (2, 5, 4) se puede escribir como 𝑣 = (2,5,4) = 2. î + 5. 𝑗 + 4. 𝑘
⃗ , y para
el vector 𝑢
⃗ = (4,7, −3) = 4. î + 7. 𝑗 + (−3). 𝑘
⃗ .
Las coordenadas de 𝑣 respecto de la base canónica
son 2 , 5 y 4, y las de u son 4 , 7 y - 3
Halle Ud. los vectores opuestos a 𝑣 y a 𝑢
⃗ , y
calcule la suma de los vectores 𝑣 y 𝑢
⃗ y en todo
caso sus coordenadas en la base canónica.
Qué puede decir!!!!!
Será en general lo que observa ?
Llamamos base al conjunto {𝒊,
⃗
⃗ 𝒋,
⃗
⃗ 𝒌
⃗
⃗ }.
2.6.9 EJERCICIO
Dados los vectores 𝑣 = (-1, 0, 0), 𝑢
⃗ = (6, 3, -5), 𝑤
⃗⃗ = (0, 0, 4), 𝑟 = (5, -2, 2)
a) Representarlos y escribirlos como combinación de la base canónica. Hallar sus módulos
b) Hallar los vectores 3. 𝑣, -5. 𝑢
⃗ . Representarlos y escribirlos como combinación de la
base canónica. Qué observa en el gráfico?
c) Hallar los vectores 2. 𝑣 - 3. 𝑢
⃗ , 4. 𝑤
⃗⃗ + 3. 𝑟. Representarlos y escribirlos como
combinación de la base canónica. Cuáles son las coordenadas en {𝑖 , 𝑗 , 𝑘
⃗ }?
2.6.10 EJERCICIO
a) Represente en ℝ3
el vector de coordenadas 5, 6 y -9 en la base canónica.
b) Expresar como terna el vector 𝑣 = −1. î + 3. 𝑗 + 2. 𝑘
⃗ y representar.
c) Expresar como terna el vector 𝑢
⃗ = −2. î + 3. 𝑗 y representar.
d) Expresar como terna el vector 𝑤
⃗⃗ = −.1î − 3. 𝑘
⃗ y representar.
e) Hallar y representar el vector r si se verifica que 3. 𝑟 - 2. î + 3. 𝑗= −5. î + 3. 𝑗 + 𝑘
⃗
f) Para cada uno de los vectores dados halle el módulo.
Es inmediato que para 𝑣 =
(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎. î + 𝑏. 𝑗 + 𝑐. 𝑘
⃗ los
números a , b y c que permiten
escribir a 𝑣 son únicos y se los
llama las coordenadas de 𝒗
⃗
⃗
respecto de la base.

CAP. 5
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Producto escalar de vectores.
Vamos a estudiar un producto entre vectores, que dará un número real y permite hacer
algunas mediciones entre distintos aspectos de los vectores que intervienen en ese producto
Dados dos vectores 𝑣 y 𝑢
⃗ no nulos, se considera un punto O
y puntos P y Q de modos que 𝑣 y 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ son “equivalentes” y
𝑢
⃗ y 𝑂𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son “equivalentes” .
Aplicados ambos a un punto común O
El ángulo  determinado por los vectores fijos 𝑂𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗
no depende de la elección del punto O, sólo depende de los vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 .
Se denomina ángulo entre 𝒖
⃗⃗ y 𝒗
⃗
⃗ .
Este ángulo queda unívocamente determinado si se considera que debe cumplir que
0  
  .
Observar que las consideraciones anteriores y la definición de ángulo entre vectores es
independiente de que los vectores estén en el plano o el espacio.
Se define un concepto vectorial que permite calcular el ángulo entre dos vectores usando
las componentes de ellos.
Q
O

CAP. 5
18
Para cada par de vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 se asocia un número real llamado producto escalar o
producto interior, indicado por 𝑢
⃗ . 𝑣 que es determinado por
𝑢
⃗ . 𝑣 = . .cos
u v 
Por lo tanto si se considera O en el origen del sistema de coordenadas,
los puntos Q y P de respectivas coordenadas (a, b, c) y (d, e, f) se tiene que
|𝑢
⃗ | = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 y |𝑣| = √𝑑2 + 𝑒2 + 𝑓2.
Para el caso de vectores del plano se tiene que las coordenadas de los puntos Q y P son
pares ordenados como (a, b) y (c, d) y resulta que
|𝑢
⃗ | = √𝑎2 + 𝑏2 y |𝑣| = √𝑐2 + 𝑑2.
Claramente el producto interno entre 𝑢
⃗ y 𝑣 se anula si 𝑢
⃗ = 0
⃗ , 𝑣 = 0
⃗ ó cos 0
  .
Por ello dos vectores se dicen perpendiculares u ortogonales si el producto interno es 0.
|𝑢
⃗ | es el módulo de 𝑢
⃗ ,
|𝑣| es el modulo de 𝑣
 es el ángulo entre 𝑢
⃗ y 𝑣
los vectores son
perpendiculares cuando
el ángulo θ mide 90°
Qué da si
𝑢
⃗ = 𝑣 ?

CAP. 5
19
2.7.1EJEMPLO (Teorema)
La expresión del producto interno o escalar por medio de las componentes de los vectores
Para 𝑢
⃗ y 𝑣 del espacio dados por (a, b, c) y (d, e, f)
(1) 𝑢
⃗ . 𝑣 = a.d + b.e + c.f
para 𝑢
⃗ y 𝑣 del plano dados por (a, b) y (c, d)
(2) 𝑢
⃗ . 𝑣= a.c + b.d
Idea de la demostración:
Es claro que si alguno de los vectores es nulo ambos miembros de (1) ó (2) son 0.
Consideremos el caso que ambos vectores son no nulos.
Sin pérdida de generalidad,
se puede considerar que 𝑢
⃗ y 𝑣 están fijos en un origen O,
y considerar un triángulo como en la figura.
Usando el teorema del coseno (es un resultado de trigonometría
que generaliza el teorema de Pitágoras) y definición del
producto interno resulta:
|𝑢
⃗ − 𝑣|
⃗⃗⃗ 2
= |𝑢
⃗ |2
+ |𝑣|2
− 2. |𝑢
⃗⃗⃗ ||𝑣| cos 𝜃 = |𝑢
⃗ |2
+ |𝑣|2
− 2. 𝑢
⃗ . 𝑣
Si consideramos el caso de vectores del espacio, la fórmula de distancia y la definición de
módulo de vectores, se tiene:
|𝑢
⃗ − 𝑣|2
= |𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ |
2
= (𝑑 − 𝑎)2
+ (𝑒 − 𝑏)2
+ (𝑓 − 𝑐)2
= haga las cuentas!!! y conmute
convenientemente !!! = 2 2 2
a b c
  + 2 2 2
2 . 2 . 2 .
d e f a d be c f
    
Además |𝑢
⃗ |2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
y |𝑣|2
= 𝑑2
+ 𝑒2
+ 𝑓2
. Por lo que reemplazando
𝑢
⃗ − 𝑣
(0, 0, 0)
ó (0, 0)

CAP. 5
20
|𝑢
⃗ − 𝑣|2
= |𝑢
⃗ |2
+ |𝑣|2
− 2. (𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑒 + 𝑐. 𝑓)
Igualando las expresiones de y (hágalo!!!) se tiene lo enunciado.
Haga también el caso de vectores del plano.....(para practicar!!!)
2.7.2 EJEMLO
Hallar el producto escalar entre los vectores 𝑢
⃗ = (2, 1, 4) y 𝑣 = (0, 3, 5)
Por lo demostrado en el ejemplo anterior, 𝑢
⃗ . 𝑣 = 2. 0 + 1. 3 + 4. 5 = 0 + 3 + 20 = 23
Como el producto es no nulo los vectores no son ortogonales.
El coseno del ángulo entre 𝑢
⃗ y 𝑣 está dado por
. 23
cos
4 1 16. 0 9 25
.
u v
u v
  
   
y haciendo cuentas
23
cos
21. 34
  . Para hallar el ángulo  se calcula el arco coseno de
23
21. 34
.
Es así que  es aproximadamente igual a arco coseno de 0,86, luego  es
aproximadamente 30,68.
2.7.3 EJERCICIO
Cómo son los vectores de la base canónica del plano dos a dos? y del espacio dos a dos?
Compruébelo como aplicación del producto escalar.
Ya
va!!

CAP. 5
21
2.7.4 EJERCICIO
Para los vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 realizar la interpretación gráfica. Hallar el producto escalar entre
los vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 y el ángulo entre ellos.
a) 𝑢
⃗ = (-2, 3) y 𝑣 = (3, 2)
b) 𝑢
⃗ = (0, 3, 1) y 𝑣 = (2 , -3, 1)
c) 𝑢
⃗ = (2, 4) y 𝑣 = (6, 8)
d) 𝑢
⃗ = (1, - 2) y 𝑣 = (0, 2)
e) 𝑢
⃗ = (-2, 3, 8) y 𝑣 = (3, 2, -1)
f) 𝑢
⃗ = (1, 2, 3) y 𝑣 = (- 3, - 6, - 9
 Aplicaciones geométricas y propiedades
2.7.6 EJERCICIO
Sean P, Q, y R puntos con coordenadas (1, 3, 5), (2, 0, 4) y ( 2, 1, 0) respectivamente.
Representarlos. Hallar los ángulos interiores del triángulo determinado por ellos. (Es
posible que por la aproximación de los cálculos la suma no sea 180......)
2.7.10 EJERCICIO
Hallar el ángulo entre una arista y la diagonal de un cubo.
(Idea: haga coincidir un vértice con el origen del sistema de coordenadas cartesiano
ortogonal)
2.7.11 EJERCICIO
a) Probar que:
si 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎. î + 𝑏. 𝑗 + 𝑐. 𝑘
⃗ entonces
𝑎 = 𝑣.
⃗⃗⃗ 𝑖 𝑏 = 𝑣.
⃗⃗⃗ 𝑗 y 𝑐 = 𝑣.
⃗⃗⃗ 𝑘
⃗

CAP. 5
22
b) Calcular la expresión de los cosenos de los ángulos entre 𝑣 y los vectores de la base
canónica.
a) Hallar un vector unitario paralelo a 𝑣 y expresarlo usando b) y a).
3. Producto vectorial (de vectores)
Este producto está definido para pares de vectores del espacio y asocia otro vector del
espacio.
Para introducir este producto haremos una definición (que por sí sola tiene otras
aplicaciones que se verán más adelante). Es la del cálculo de determinante 3x3.
Dado un cuadro de valores de la forma:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
donde los elementos de cada fila por lo general son
números. Lo que se hace es a este cuadro asociar un número de una manera especial. Ese
valor se llama determinante (en este caso del cuadro dado).
Vamos a obtener ese número por el método que se denomina desarrollo por la fila 1 (que
puede probarse que daría igual resultado si se lo hiciera por cualquiera de las otras filas):
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
= 2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3
. . .
b c a c a b
a b c
b c a c a b
 
y para calcular los tres determinantes 2x2, se usa la siguiente regla:
1 1
1 2 2 1
2 2
. .
m n
m n m n
m n
  se hace el producto de los elementos de la diagonal que va
de la punta superior izquierda a la punta inferior derecha y se le resta el producto de los
elementos que están en la otra diagonal.
Por lo cual:

CAP. 5
23
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
= 2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3
. . .
b c a c a b
a b c
b c a c a b
  =
= 1 2 3 3 2
( . . )
a b c b c
 - 1 2 3 3 2
( . . )
b a c a c
 + 1 2 3 3 2
( . . )
c a b a b

2.8.1 EJEMPLO
Calcular
1 3 0
2 5 3 5 3 2
3 2 5 1. 3 0.
5 2 0 2 0 5
0 5 2
 
    = 1.(2.2-5.5) – 3.(-3.2 – 0.5)+ 0(-3.5 –
0.2)
y haciendo las cuentas indicadas se obtiene:
1.(4-25) – 3.(-6-0) + 0.(-15 – 0) = 1.(-19) – 3.(-6) + 0. (-15) = -19 + 18 + 0 = -1
2.8.2 EJERCICIO
Calcular los siguientes determinantes:
a)
2 3
1 4

b)
0 1 3
1 4 6
0 2 5


c)
3 1 7
2 4 2
0 3 5
 .

CAP. 5
24
Dados dos vectores del espacio 𝑢
⃗ y 𝑣 con componentes (a, b, c) y (d, e, f)
respectivamente, se define su producto vectorial de 𝑢
⃗ y de 𝑣 como el vector
𝑢
⃗ x 𝑣 = ( b. f - e. c, d. c - a . f, a. e - d. b)
PERO USE ESTO!!!!!:
Una manera práctica de encontrar y recordar el producto vectorial de 𝑢
⃗ y 𝑣 con
componentes (a, b, c) y (d, e, f) respectivamente es fabricar el siguiente cuadro y calcularlo
como un determinante 3x3 por la primera fila:
𝑢
⃗ × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
| = |
𝑏 𝑐
𝑒 𝑓
| 𝑖 − |
𝑎 𝑐
𝑑 𝑓| 𝑗 + |
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
| 𝑘
⃗
y cada
x y
z t
se calcula de la siguiente manera . .
x y
x t z y
z t
  ,
Úselo prácticamente con esta receta (será magistral???)
2.8.3 EJEMPLO
Hallar los productos vectoriales de los vectores de la base canónica tomados de a dos.
Los vectores son 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) 𝑘
⃗ = (0,0,1)
Hay varios productos a realizar:
𝑖 × 𝑗 = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
1 0 0
0 1 0
| = 𝑖. |
0 0
1 0
| − 𝑗 |
1 0
0 0
| + 𝑘
⃗ |
1 0
0 1
| =
= 𝑖. (0.0 − 1.0) − 𝑗(1.0 − 0.0) + 𝑘
⃗ (1.1 − 0.0) = 𝑘
⃗
𝑗 × 𝑖 = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
0 1 0
1 0 0
| = 𝑖. |
0 1
0 0
| − 𝑗 |
0 0
1 0
| +
𝑘
⃗ |
0 1
1 0
| =
= 𝑖. (0.0 − 0.1) − 𝑗(0.0 − 1.0) + 𝑘
⃗ (0.0 − 1.1) = −𝑘
⃗
Este ejemplo ya ilustra
que el producto vectorial
NO es conmutativo.

CAP. 5
25
𝑖 × 𝑘
⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
1 0 0
0 0 1
|=𝑖. |
0 0
0 1
| − 𝑗 |
1 0
0 1
| + 𝑘
⃗ |
1 0
0 0
| =
= 𝑖. (0.1 − 0.0) − 𝑗(1.1 − 0.0) + 𝑘
⃗ (1.0 − 0.0) = −𝑗
𝑘
⃗ × 𝑖 = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
0 0 1
1 0 0
| = 𝑖. |
0 1
0 0
| − 𝑗 |
0 1
1 0
| + 𝑘
⃗ |
0 0
1 0
| =
= 𝑖. (0.0 − 0.1) − 𝑗(0.0 − 1.1) + 𝑘
⃗ (0.0 − 1.0) = 𝑗
Resuelva los otros productos que faltan y compruebe que
𝑗 × 𝑘
⃗ = 𝑖 y que 𝑘
⃗ × 𝑗 = −𝑖
2.8.4. EJERCICIO
Hallar los productos vectoriales de para:
a) 𝑢
⃗ = (3, 4, 0) y 𝑣 = ( 2, -1, 3)
b) 𝑢
⃗ = (2, 4, -1) y 𝑣 = ( 1, 6, 0)
c) Comprobar que 𝒖
⃗⃗ x 𝒗
⃗
⃗ es perpendicular a 𝒖
⃗⃗ y a 𝒗
⃗
⃗ . (se acuerda del producto
escalar?)
Como ejemplo haremos el inciso a). hallaremos el vector producto vectorial de 𝑢
⃗ y 𝑣, en
ese orden: 𝑢
⃗ × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
3 4 0
2 −1 3
| = |
4 0
−1 3
| 𝑖 − |
3 0
2 3
| 𝑗 + |
3 4
2 −1
| 𝑘
⃗ = 12𝑖 - 9𝑗 - 11𝑘
⃗ =
=(12, -9, -11).
Ahora comprobaremos que el vector 𝑢
⃗ × 𝑣 que hallamos, es perpendicular tanto a 𝑢
⃗⃗⃗ como
a 𝑣. Para ello calcularemos el producto escalar entre 𝑢
⃗ × 𝑣 y 𝑢
⃗ y luego entre 𝑢
⃗ × 𝑣 y 𝑣:
(𝑢
⃗ × 𝑣). 𝑢
⃗ = (12, -9, -11). (3, 4, 0) = 12.3+(-9).4+(-11).0 = 36-36+0 = 0. Como el producto
escalar es cero, ambos vectores son perpendiculares. De la misma forma se comprueba que
𝑢
⃗ × 𝑣 y 𝑣 también son perpendiculares. Este hecho es de fácil comprobación en general.
 Por lo general ...
2.8.5 EJERCICIO
Demostrar que para cualquier par de vectores 𝒖
⃗⃗ y 𝒗
⃗
⃗ :
¿????

CAP. 5
26
a) 𝒖
⃗⃗ x 𝒗
⃗
⃗ = - 𝒗
⃗
⃗ x 𝒖
⃗⃗
b) u x 𝒗
⃗
⃗ . 𝒖
⃗⃗ = 0 y 𝒖
⃗⃗ x 𝒗
⃗
⃗ . 𝒗
⃗
⃗ = 0 (es decir perpendiculares.....)
c) Si 𝒖
⃗⃗ y 𝒗
⃗
⃗ son no nulos, 𝒖
⃗⃗ x 𝒗
⃗
⃗ = 𝒐
⃗
⃗ si y sólo si 𝒖
⃗⃗ y 𝒗
⃗
⃗ son paralelos.
 Algunas interpretaciones geométricas
2.8.6 EJEMPLO
Si los vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 tienen componentes (a, b, c) y (d, e, f) respectivamente y  es el
ángulo entre ellos, resulta que si se calcula el módulo al cuadrado de 𝑢
⃗ x 𝑣 , vale que
2 2 2 2
= ( . - . ) + ( . - . ) + ( . - . )
u v b f e c d c a f a e d b

Desarrollando los cuadrados, agrupando convenientemente y usando las definiciones de
módulo y la expresión del producto escalar en las componentes (hágalo!!!) se llega a:
2 2 2 2
= . - ( . )
u v u v u v

Si se reemplaza el producto escalar por su definición y
sacando raíz cuadrada (de bases positivas) se obtiene:
= . .
u v u v sen 

Es decir que esta última igualdad es el área de un
paralelogramo determinado por los vectores 𝑢
⃗ y v
que forman un ángulo  .
EJEMPLO Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores u = (3, 0, 4) y
v = ( 1, 2, 0).
Verifique que el u x v = (-8, 4, 6), por lo tanto el área del paralelogramo determinado por
u y v es = 64 16 36 116
u v
   
A
v
B u
O
.
AB v sen 


CAP. 5
27
Haga Ud. el dibujo de los vectores y del paralelogramo determinado por ellos.
2.8.8 EJERCICIO
Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores u = (3, 2, 2) y v = ( 0, 4, 5).
2.8.9 EJERCICIO
Cuál es el área del triángulo tal que dos de sus lados son los puntos de coordenadas
(0, 2, 3) y (1, -2, 3). Haga el dibujo y use el ejemplo....
2.8.10 EJERCICIO
Demostrar que el volumen V de un paralelepípedo determinado
por los vectores u , v y w es dado por
V = . . cos
u v w 

Siendo  el ángulo entre los vectores u x v y w .
(Idea: el volumen de un paralelepípedo está dado por el producto de la superficie de la base
y la altura. Use el ejercicio anterior y que el producto vectorial entre dos vectores es
perpendicular a c/u de los vectores del mismo)
2.8.11 EJERCICIO
Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por (1, 0, 3) , (2, 3, 3) y (3, 1, -2).
Dibuje.
w
v
O
u

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