1. 3 MEDIDAS DESCRIPTIVAS
3.1 INTRODUCCIÓN
Se presentaron los métodos tabulares y gráficos más usuales para destacar las
particularidades más importantes de un conjunto de datos. Sin embargo, tales métodos no
son suficientes para caracterizarlos en forma resumida. Por ejemplo, si deseamos
comparar dos conjuntos de datos, resulta difícil confrontarlos por simple inspección de sus
gráficos o de sus distribuciones de frecuencia: En tal caso, resulta conveniente obtener
medidas numéricas que describan resumidamente los conjuntos de datos.
Existen fundamentalmente dos tipos de medidas de interés para cualquier conjunto de
datos. Las de tendencia central y las de dispersión. Medidas que serán estudiadas en la
presente unidad.
3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central resumen los datos en un valor central alrededor del cual
se distribuyen todos los datos del conjunto. Entre tales valores están la media aritmética,
la mediana, la moda y la media ponderada entre otras.

2. 3.2.1 MEDIA ARITMÉTICA
LA MEDIA ARITMÉTICA, MEDIA O PROMEDIO DE UN CONJUNTO DE N OBSERVACIONES X1 , X2 ,...,
XN
SE REPRESENTA POR X Y SE DEFINE COMO :

3. La media es la más importante de las medidas de tendencia central.
Su interpretación
corresponde geométricamente al punto de equilibrio de los datos.
Posee propiedades
teóricas excelentes para su empleo en la inferencia estadística. La
desventaja que tiene
es que es muy sensible a los valores extremos cuando éstos no
están equilibrados entre
sí.
3.2.2 Propiedades de la media aritmética
La media aritmética posee las siguientes dos propiedades.
I.- La suma de las desviaciones con respecto a la media es igual a
cero, esto es

5. II.-LA SUMA DE LAS DESVIACIONES AL CUADRADO CON RESPECTO A LA MEDIA ES MÍNIMA QUE
CON RESPECTO A CUALQUIER OTRO VALOR, ESTO ES

6. 3.2.3 Mediana
La mediana de un conjunto de n observaciones se representa por Md y se define como el
valor central de los datos, previamente ordenados creciente o decrecientemente.
Otra forma de definir la mediana es la siguiente: es el valor a partir del cual el 50% de los
datos están por debajo y el otro 50% por arriba.
En un conjunto de datos originales la mediana puede determinarse aplicando uno de los
siguientes casos.
I.- Si n es impar, la mediana será el valor central del conjunto de datos ordenados.
II.-Si n es par, la mediana será el promedio de los dos valores centrales, previo
ordenamiento de los datos.
3.2.4 Moda
La moda de un conjunto de n observaciones se representa por Mo y es el valor de la
observación que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
La moda es una medida de tendencia central poco usual, las razones se deben a que
puede ocurrir que en un conjunto de datos no exista moda, como también puede suceder
que la moda no se un valor único; esto es, que este compartida por dos o más
observaciones.
3.2.5 Comparación de la media, mediana y moda
En secciones precedentes se hizo notar que la media es el punto de equilibrio de un
conjunto de datos. Que la mediana, divide al grupo de datos en dos partes iguales de tal
modo que la mitad de los datos quedan por debajo de ella y la otra mitad por arriba.
Finalmente, que la moda representa el valor de la observación que se presenta con mayor
frecuencia con el conjunto de datos. Estas medidas, son las medidas de tendencia central
más usuales por su fácil comprensión y su enorme utilidad. Sin embargo, de estas tres
medidas, la media es la más usual para representar la tendencia central de un conjunto
de datos. Esto se debe a que generalmente proporciona una mejor estimación de parámetro.

7. Además, la media posee propiedades teóricas excelentes que no tienen la mediana y la
moda, y que originan que la media sea ampliamente utilizada en la inferencia estadística.
No obstante, pueden presentarse también algunas situaciones en las que se opta por el
empleo de la mediana en lugar de la media para representar la tendencia central de un
conjunto de datos. Estas situaciones se presentan en aquellos grupos de observaciones
que contienen valores extremos que no están equilibrados en ambos lados del colectivo y
que a causa de la sensibilidad de la media, ésta proporciona una estimación errónea de la
tendencia central. En estas circunstancias, la mediana resulta ser la medida apropiada
para representar la tendencia central de un conjunto de datos. Por otro lado, la moda es
una medida adecuada siempre que se desee una estimación aproximada rápida de la
tendencia central, o cuando sólo estamos interesados en la ocurrencia del valor
característico.
La Figura 3.1 muestra las posiciones de la media, la mediana y la moda. Si la distribución
es simétrica, como se aprecia en a), las tres mediadas de tendencia central coinciden, es
decir, se verificará la igualdad x=Md=Mo . Si la distribución es asimétrica positiva,
como se observa en b), las tres medidas de tendencia central divergen, de tal forma que
se cumple la relación x>Md >Mo . Finalmente, si la distribución es asimétrica negativa,
como se aprecia en c) las tres medidas de tendencia central divergen, verificandose en tal
caso la relación x<Md <Mo . Al respecto cabe mencionar, que si una distribución
presenta dos o más modas, la dirección de ésta se determina comparando únicamente la
media y la mediana.
Figura 3.1 Posición de la media, la mediana y la moda.

8. FIGURA 3.1 POSICIÓN DE LA MEDIA, LA
MEDIANA Y LA MODA.

9. 3.3 MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición sirven para describir la localización de un dato específico en la
relación con el resto de la muestra. Dos de las medidas de posición más populares son
los llamados cuartiles y los centiles.
3.3.1 Cuartiles
Los cuartiles son números que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes
iguales. Estos se representan habitualmente por Q1, Q2, y Q3. El primer cuartil, Q1, es el
valor que tiene por debajo la cuarta parte de los datos. El segundo cuartil, Q2, tiene por
debajo la mitad de los datos. Nótese que Q2 tiene la misma ubicación que la mediana. El
tercer cuartil Q3, tiene por debajo las tres cuartas partes de los datos. En términos de
porcentaje, Q1 tiene por debajo el 25% de los datos, Q2 el 50% y Q3 el 75%.
El rango intercuartílico (R.I) mide aproximadamente la distancia de la mediana que
debemos recorrer en ambos lados antes de poder incluir una mitad de los valores del
conjunto de datos. R.I.=Q3-Q1
.
3.3.2 Centiles
Los centiles (o percentiles) son números que dividen al conjunto de datos ordenados en
100 partes iguales. Estos se representan por p1 , p2 ,..., p100. El centil ochenta, p80,
tiene por debajo el 80% de los datos. El centil cuarenta y cinco p45 tiene por debajo el
45% de los datos.

10. La Figura 3.2 muestra que una medida de tendencia central no es suficiente para
caracterizar dos conjuntos de datos, puesto que, es posible tener dos o más
distribuciones con la misma medida de tendencia central y pertenecer a
distribuciones
muy diferentes. Por ejemplo, hay que apreciar en la Figura 2, la diferencia en la
interpretación de la observación 80. En a) se observa que la distribución tiene
menor
dispersión, es decir, las observaciones están estrechamente distribuidas alrededor
de la
media, tanto así, que la observación de 80 está situada casi en el extremo de la
distribución y puede por lo tanto considerarse como una observación muy alta. En
b), por
el contrario, las observaciones están más dispersas alrededor de la media. En este
caso,
la observación de 80 no se localiza tan al extremo de la distribución puesto que,
tiene
encima de ella un buen número de observaciones, tal como lo indica el área
situada a la

11.  3.4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
 En unidades anteriores se presentaron las medidas de tendencia
central más comunes
 para caracterizar conjuntos de datos. Sin embargo, tales medidas
no son suficientes para
 realizar de manera completa la caracterización de éstos, puesto
que otro aspecto que se
 debe considerar es la dispersión o variabilidad de los datos. Una
dispersión pequeña,
 denota gran homogeneidad de los datos. Por el contrario, una
dispersión grande indica
 heterogeneidad de los datos. La ausencia de dispersión significa
que todos los datos
 del conjunto son iguales.

12.  La Figura 3.2 muestra que una medida de tendencia central no es suficiente
para
 caracterizar dos conjuntos de datos, puesto que, es posible tener dos o más
 distribuciones con la misma medida de tendencia central y pertenecer a
distribuciones
 muy diferentes. Por ejemplo, hay que apreciar en la Figura 2, la diferencia en la
 interpretación de la observación 80. En a) se observa que la distribución tiene
menor
 dispersión, es decir, las observaciones están estrechamente distribuidas
alrededor de la
 media, tanto así, que la observación de 80 está situada casi en el extremo de la
 distribución y puede por lo tanto considerarse como una observación muy alta.
En b), por
 el contrario, las observaciones están más dispersas alrededor de la media. En
este caso,
 la observación de 80 no se localiza tan al extremo de la distribución puesto que,
tiene
 encima de ella un buen número de observaciones, tal como lo indica el área
situada a la derecha de 80.

13. FIGURA 3.2 DOS DISTRIBUCIONES CON LA MISMA MEDIDA DE
TENDENCIA CENTRAL PERO CON
DIFERENTE DISPERSIÓN.

14.  La dispersión de un conjunto de datos normalmente se expresa
cuantitativamente. De
 esta manera, con el propósito de medir la dispersión de un conjunto de datos,
se estudian
 en la presente sección las medidas siguientes: amplitud, varianza, desviación
estándar y
 coeficiente de variación.
 3.4.1 Amplitud o Rango
 La amplitud (A) de un conjunto de datos es la diferencia entre las observaciones
de mayor
 y menor valor numérico en el mismo. La amplitud es poco usual por su evidente
 inestabilidad. Esto se debe a que únicamente considera para su cálculo, los
valores
 extremos del conjunto de datos.
 3.4.2 Varianza
 La varianza de un conjunto de n observaciones x1, x2,..., xn; se representa por
S2 y se
 define como la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a su
media,
 dividida por el número de observaciones menos uno, simbólicamente

16.  La varianza es una medida de dispersión de gran
importancia en la estadística, debido a
 que constituye la base de algunas distribuciones que
se estudian en la inferencia
 estadística.
 3.4.3 Desviación Estándar
 La desviación estándar se representa por S y se define
como la raíz cuadrada de la
 varianza esto es

18. Debido a las propiedades teóricas que posee la desviación estándar
es la más importante
y la más usual de las medidas de dispersión. Se opta por el uso de
la desviación estándar
en la relación con la varianza, porque la varianza expresa las
unidades al cuadrado,
mientras que la desviación estándar presenta las unidades de su
forma original.
3.4.4 Coeficiente de Variación
El coeficiente de variación se representa por C.V., y se define como
la medida de
dispersión relativa de un conjunto de datos, que se obtiene
dividiendo la desviación
estándar del conjunto entre su media, esto es

20. LA FORMA MÁS USUAL DEL COEFICIENTE DE
VARIACIÓN ES COMO SE INDICA A CONTINUACIÓN

21. Se multiplica por l00 con el propósito de expresar la dispersión de un conjunto de datos en
términos de porcentaje.
El coeficiente de variación cobra mayor importancia cuando se desea comparar la
dispersión de dos o más conjuntos de datos que tienen diferente unidad de medida. Esto
se debe a que la unidad de medida utilizada en los grupos que se comparan se elimina, y
la dispersión de los datos, se da en términos de porcentaje.
3.4.5 Comparación de las medidas de dispersión
Por la rapidez y facilidad con que se obtiene, la amplitud se considera simplemente como
un índice preliminar o aproximado de la variación existente entre las observaciones de un
conjunto de datos. Como medida de dispersión debe emplearse con precaución, puesto
que su valor depende únicamente de los dos valores extremos del conjunto.
La varianza resulta ser una medida razonablemente buena de la dispersión debido a que
si las desviaciones son grandes entonces el valor de la varianza será grande, por el
contrario, si éstos son pequeños entonces el valor de la varianza será pequeño. La
varianza puede sufrir un cambio bastante desproporcionado, aun más que la media, por la
existencia de valores extremos en el conjunto. La varianza es una medida de dispersión
en la que los resultados que se obtienen representan unidades al cuadrado, para superar
éste inconveniente de la varianza y disponer de otra medida de dispersión que exprese
las unidades en su forma original como fueron obtenidos, se extrae la raíz cuadrada de la
varianza, obteniéndose, lo que se conoce como desviación estándar.

22. La desviación estándar es la más utilizada e importante de las medidas de dispersión,
esto se debe a las propiedades teóricas que posee, razón por la cual, se constituye en la
base de los métodos inferenciales.
El coeficiente de variación es una medida de dispersión independiente de la unidad de
medida, puesto que la dispersión de un conjunto de datos se obtiene en términos de
porcentaje.
3.4.6 Significado de la desviación estándar
El resultado obtenido al calcular la desviación estándar de un conjunto de datos, nos lleva
a preguntar ¿Qué significa realmente ese número?. El significado completo de la
desviación estándar se comprende cuando se estudia la distribución normal puesto que el
significado depende del entendimiento de la relación que existe entre la desviación
estándar y la distribución normal. Sin embargo, a manera de ilustrar el significado de la
desviación estándar consideremos el aspecto que se presenta a continuación.
Supóngase que se desea medir la distancia que hay entre las plantas de un jardín. Se
podría efectuar la medición de éstos, ya sea en metros o en centímetros. Por ejemplo,
que el rosal esta a una distancia de 3 metros del tulipán o que la gardenia esta a 95
centímetros de la noche buena. Pero, ¿cómo medir la anchura del eje horizontal de un
polígono de frecuencias?. Del mismo modo en que se midieron las plantas del jardín en
metros o en centímetros, se puede medir también el eje horizontal de un polígono de
frecuencias en unidades de desviación estándar. Desde este punto de vista, la desviación
estándar se constituye en una especie de "vara de medir", que nos permite comparar
datos de dos o más conjuntos.

23.  Con el propósito de ilustrar lo anterior considérese la distribución de frecuencias
que se
 presento en la Tabla 2.5, perteneciente al peso de 60 alumnos elegidos al azar
de una
 escuela. Tal característica tiene un peso promedio igual a x = 67.63 kg. y una
desviación
 estándar igual a S = l l.02. Se podría sumar la desviación estándar al valor de la
media
 para determinar el peso de un alumno que esta situada a una desviación
estándar por
 encima de la media, o bien, restar la desviación estándar al valor de la media y
encontrar
 el alumno que esta ubicado a la misma distancia pero por debajo de la media.
Si se
 realiza lo antes indicado se obtiene que el peso aproximado de ambos alumnos
es 78.65
 y 56.61 kg. respectivamente. La Figura 3.3 muestra el peso de los alumnos que
están
 situados a una y dos desviaciones estándar por encima y por abajo de la media.

24. FIGURA 3.3 MEDICIÓN DE OBSERVACIONES EN UN POLÍGONO DE
FRECUENCIAS EN UNIDADES DE
DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

25. en unidades de desviación estándar, es en muchos aspectos, similar al medir en metros o
en centímetros las plantas de un jardín. Sin embargo, la similitud se divide en por lo
menos un aspecto importante: mientras que los metros o los centímetros son de
dimensión constante, es decir, un metro siempre tendrá 100 centímetros y un centímetro
iempre será la centésima parte de un metro, el valor de la desviación estándar variará de
una distribución a otra. Por tal razón, se debe de calcular la desviación estándar de
cualquier grupo de datos con el que se esté trabajando para efectuar las mediciones
correspondientes.
3.5 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS
En este apartado se estudian dos medidas que proporcionan información útil con respecto
a la forma de la distribución de un conjunto de datos.
3.5.1 Coeficiente de asimetría
El coeficiente de asimetría (ax) se utiliza para conocer si la distribución de un conjunto de
datos es asimétrica o no. Este se calcula utilizando la expresión

27.  Para las distribuciones que presentan un solo pico, si a x < 0, se dice que la
distribución
 es asimétrica negativa; si a x > 0, la distribución es asimétrica positiva; y si a x
=0, la
 distribución recibe el nombre de simétrica, los tres tipos de distribución se
ilustran en la
 Figura 3.4.

28. FIGURA 3.4 SIMETRÍA Y ASIMETRÍA DE UN CONJUNTO DE DATOS A)
ASIMÉTRICA NEGATIVA, B)
SIMÉTRICA C)ASIMÉTRICA POSITIVA.

29.  3.5.2 Curtosis
 La curtosis es una medida que indica qué
tan puntiaguda es la distribución de un
conjunto
 de datos. Esta se calcula utilizando la
expresión

31.  Para las distribuciones que presentan un solo
pico, si a * x > 3, la distribución de los datos
 presenta un solo pico relativamente alto y
recibe el nombre de leptocúrtica; si a * x < 3, la
 distribución es relativamente plana y recibe el
nombre de platicúrtica; y si a * x = 3 la
 distribución presenta un pico ni muy alto ni muy
bajo y recibe el nombre de mesocúrtica.
 Los tres tipos de distribuciones se ilustra en la
Figura 3.5

32. FIGURA 3.5 DIFERENTES TIPOS DE DISTRIBUCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS. A)
LEPTOCÚRTICA B)PLATICÚRTICA, C) MESOCÚRTICA

33.  Es importante anotar que en la mayoría de
paquetes estadísticos para determinar la
 curtosis no se realiza el corte en 3, s por
facilidad se utiliza el cero, es decir:
 Si a * x < 0 entonces se dice que la curva es
platicúrtica.
 Si a * x =0 entonces se dice que la curva es
mesocúrtica.
 Si a * x > 0 entonces se dice que la curva es
leptocúrtica.