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Cap´ıtulo 1
Superficies
1 Superficies de revoluci´on
Definici´on 1.1. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema
de coordenadas (x,y,z). Una superficie de revoluci ´on en este espacio es una
superficie generada al rotar una curva plana C alrededor de alg´un eje que est´a
en el plano de la curva.
Un caso particular es cuando el eje de rotaci´on es alguno de los ejes coordenados y
la curva C est´a sobre alguno de los planos coordenados.
Ejemplo 1.1. Si el eje de rotaci´on es el eje z y la curva plana C est´a sobre el plano
xz con ecuaci´on:
z = f(x) (1)
tal que f es una funci´on biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´on de
la superficie Σ de rotaci´on tendr´a ecuaci´on:
z = f( x2 +y2) (2)
Para deducir la ecuaci´on anterior, tomemos dos puntos A y B sobre la superficie Σ
y un tercer punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la superficie.
Consideremos la circunferencia α que contiene al punto A, tiene centro en el punto
M y est´a sobre el plano z = z1. Esta circunferencia corta el plano xz en el punto
B. Por lo tanto las coordenadas de los puntos son: A(x,y,z1), B(x,0,z1), C(0,0,z1).
Pero el punto B pertenece a la generatrizC, por lo tanto sus coordenadas las podemos
escribir como B(f −1(z1),0,z1). Ahora la distancia entre A y M es la misma que entre
B y M pues son dos radios de la circunferencia.
1
2



A(x,y,z1)
B(f−1(z1),0,z1)
M(0,0,z1)



=⇒ |AM| = |BM| =⇒
x2
+y2
= [f−1
(z1)]2
=⇒ z1 = f x2 +y2 (3)
Pero A es arbitrario, por lo tanto z1 = z. Observemos que en la deducci´on de la
f´ormula anterior las variables x, y e z se colocan cuando esto se puede en t´ermino de
la variable fijada z1, que es la que define el plano z = z1 donde est´a la circunferencia
α.
Ejemplo 1.2. Si el eje de rotaci´on es el eje x y la curva plana C est´a sobre el plano
xz con ecuaci´on:
z = f(x) (4)
tal que f es una funci´on biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´on de
la superficie Σ de rotaci´on tendr´a ecuaci´on:
[f(x)]2
= y2
+z2
(5)
Similarmente como en el ejemplo 1.1, tomamos el plano x = x1, perpendicular al
eje de rotaci´on x, y tres puntos sobre este plano que pertenecen a la circunferencia
α con centro en M(x1,0,0) y que contiene los puntos A(x1,y,z) y B(x1,0,z). Dado
que B pertenece a la curva generatriz C, sus ordenadas son B(x1,0, f(x1)).



A(x1,y,z)
B(x1,0, f(x1))
M(x1,0,0)



=⇒ |AM| = |BM| =⇒
y2
+z2
= [f(x1)]2
(6)
La hip´otesis que A es arbitrario, completa la demostraci´on.
El CATENOIDE es una superficie de revoluci´on obtenida al rotar sobre el eje x
la curva z = coshx, y la ecuaci´on que la representa es: y2 +z2 = cosh2
x. Una para-
metrizaci´on usada para graficarla con el software Maple es: x = u, y = coshucosv,
z = coshusinv, con valores de los par´ametros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π. Los ejes
coordenados est´an colocados en forma est´andar. (Ver: C.9.3).
3
El CATENOIDE, superficie de revoluci´on obteni-
da al girar la curva catenaria z = coshx, sobre el
plano xz, alrededor del eje x. -3.6
-3.6
-1.6
-20.4
0.4
0
2
2.4
Figura 1 Catenoide
Ejemplo 1.3. Encuentre la ecuaci´on de la superficie al rotar la recta x = 3y alrededor
del eje x.
SOLUCI ´ON.
Debido a la rotaci´on sobre el eje x las trazas sobre el plano xy (intersecciones de la
superficie que debemos hallar con el plano xy (z = 0)), deben ser el par de rectas
y = ±3x. Este par de ecuaciones se pueden escribir como una sola ecuaci´on y 2 =
1
3
x
2
. Lo cual es equivalente a decir
Trazas sobre el planoxy =⇒ y2
−
1
3
x
2
= 0 (7)
Esto mismo debe ocurrir sobre el plano xz. Por lo tanto,
Trazas sobre el planoxz =⇒ z2
−
1
3
x
2
= 0 (8)
Las trazas sobre los planos paralelos al plano yz, es decir intersecciones de la super-
ficie con el plano x = a = const., deben ser circunferencias con radio y = f(a) = 3a.
Por lo tanto, la superficie es un cono cuya ecuaci´on es:
y2
+z2
−
1
3
x
2
= 0 =⇒ 9y2
+9z2
= x2
(9)
R/: 9y2
+9z2
= x2
4
2 Superficies Cil´ındricas
Definici´on 1.2. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema
de coordenadas (x,y,z). Dada una recta y una curva plana C, una superficie
cil´ındrica en este espacio es una superficie generada por una familia de rectas
paralelas a y que tienen un punto en C.
Un caso particular es cuando la recta es alguno de los ejes coordenados y la curva
C est´a sobre alguno de los planos coordenados.
Ejemplo 1.4. Consideremos como recta generatriz cualquier recta paralela al eje z y
que pasa por la curva f(x,y) = k, k = const. en el plano xy. El cilindro obtenido
no necesariamente es una superficie de revoluci´on, por ejemplo si la curva C es la
elipse
x2
4
+
y2
9
= 1.
La ecuaci´on de la superficie cil´ındrica en R3 en este caso es:
f(x,y) = k (10)
Un CILINDRO EL´IPTICO RECTO, es una superfi-
cie cil´ındrica generada por una familia de rectas
paralelas a una recta (en este caso eje z) y que
pasan por una curva plana C (en este caso la elip-
se
x2
4
+
y2
9
= 1), ubicada sobre un plano xy. La
ecuaci´on que define esta superficie cil´ındrica es :
x2
4
+
y2
9
= 1. Observemos que no aparece la va-
riable z, precisamente es el eje paralelo a la recta
generatriz.
-2-3
-1 -2
0
1 0
2
3 2
Figura 2 Superficie cil´ındrica
Ejemplo 1.5. Consideremos la curva C sobre el plano xz, z = sinx. La superficie
cil´ındrica generada por la familia de recta paralelas al eje y tiene como ecuaci´on que
la representa:
z = sinx (11)
5
Nota 1.1. Si la familia de rectas que generan una superficie cil´ındrica son paralelas
a uno de los ejes coordenados y la curva plana C est´a sobre el plano coordenado
perpendicular a la familia de rectas, entonces la ecuaci´on de la superficie cil´ındrica
no tiene la variable del eje. Esto no significa que en general las ecuaciones de las su-
perficies cil´ındricas no tengan una o dos variables. Un plano podr´ıa ser considerado
como una superficie cil´ındrica.
Un CILINDRO SINUSOIDAL, es una superficie
cil´ındrica generada por una familia de rectas pa-
ralelas a una recta (en este caso eje y) y que pa-
san por una curva plana C (en este caso la elipse
z = sinx), ubicada sobre un plano xz. La ecuaci´on
que define esta superficie cil´ındrica es : z = sinx.
Observemos que no aparece la variable x, preci-
samente es el eje paralelo a la recta generatriz.
-1.8-13
-10
10
Figura 3 Superficie cil´ındrica
3 Superficies Cu´adricas
Definici´on 1.3. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema
de coordenadas (x,y,z). Una superficie cu ´adrica en este espacio es una su-
perficie asociada a una ecuaci´on de segundo grado en las variables x, y, y z,
es decir una superficie cu´adrica tiene como ecuaci´on que la representa una
ecuaci´on del tipo:
Ax2
+By2
+Cz2
+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J = 0 (12)
Las formas can´onicas de las cu´adricas es la simplificaci´on al m´aximo de la ecuaci´on
12 usando rotaciones y traslaciones apropiadas para llevarlas a uno de los siguientes
seis tipos:
6
Un paraboloide el´ıptico es una superficie cuya
ecuaci´on en forma can´onica es:
z
c
=
x2
a2
+
y2
b2
(13)
donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce-
ro. En el caso que a = b se llama un paraboloide
circular y es adem´as una superficie de revoluci´on.
La orientaci´on del paraboloide el´ıptico depende
del valor de c, si c > 0 es orientada hacia arriba,
y si c < 0 hacia abajo.
-1
0
1 -1.3
-0.3
0.7
0
1
2
Figura 4 Paraboloide el´ıptico
a = b, c = 1
Un paraboloide hiperb´olico, o com´unmente lla-
mada una silla de montar, es una superficie cuya
ecuaci´on en forma can´onica es:
z
c
=
x2
a2
−
y2
b2
(14)
donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce-
ro.
-2
-1
0
1
2-2
-10
1-4
2
-2
0
2
4
Figura 5 Paraboloide hiperb´olico
a = b,c = 1
7
Un hiperboloide el´ıptico de un solo manto, o
com´unmente llamada un hiperboloide de una ho-
ja, es una superficie cuya ecuaci´on en forma
can´onica es:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1 (15)
donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce-
ro.
-3.4
-4
-2
-2.2
0.6
0
-0.2
2
4
1.8
Figura 6 Hiperboloide el´ıptico de un
manto
Un hiperboloide el´ıptico de dos mantos, o
com´unmente llamada un hiperboloide de dos ho-
jas, es una superficie cuya ecuaci´on en forma
can´onica es:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= −1 (16)
donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce-
ro.
-6
-6.0-6
-3.5
-1
-1.0
-1
1.5
4.0
44
Figura 7 Hiperboloide el´ıptico de dos
mantos
8
Un elipsoide, es una superficie cuya ecuaci´on en
forma can´onica es:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (17)
donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce-
ro. En el caso que a = b es una superficie de re-
voluci´on y si a = b = c = R, entonces tendremos
una esfera de radio R.
-1.5
-2
-1
-1
0.5
0
0
1
1
2
Figura 8 Elipsoide
Un cono, es una superficie cuya ecuaci´on en for-
ma can´onica es:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 0 (18)
donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce-
ro. En el caso que a = b es una superficie de re-
voluci´on.
-1.5
-1.5-1.4 -0.5
-0.5
-0.4
0.5
0.5
0.6
1.5
1.5
Figura 9 Cono
4 Planos
Definici´on 1.4. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema
de coordenadas (x,y,z). Un plano en este espacio es una superficie asociada a
9
una ecuaci´on de primer grado en las variables x, y, y z, es decir un plano tiene
como ecuaci´on que lo representa una ecuaci´on del tipo:
Ax+By+Cz+D = 0 (19)
donde A,B y C son n´umeros reales no simult´aneamente iguales a cero.
Nota 1.2. Un vector normal al plano (19) es n = Ai+Bj+Ck.
Expresiones equivalentes
La ecuaci´on dada en la definici´on 4 se le conoce con el nombre de ecuaci´on lineal
del plano. Otra expresi´on para un plano llamada ecuaci´on vectorial. Necesitamos
solamente un punto P(x1,y1,z1) por donde pasa el plano α y un vector normal (per-
pendicular) al plano n = Ai + Bj +Ck. Si tomamos cualquier otro punto M(x,y,z)
sobre el plano α se satisface la siguiente ecuaci´on vectorial:
PM·n = 0 =⇒ (x−x1,y−y1,z−z1)·(A,B,C) = 0 (20)
Haciendo las operaciones indicadas en esta ecuaci´on y simplificando tenemos,
Ax+By+Cz−(Ax1 +By1 +Cz1) = 0 (21)
Pero P ∈ α, es decir Ax1 +By1 +Cz1 = −D, lo cual muestra, bajo la hip´otesis que
n = Ai + Bj +Ck es un vector normal, que las expresiones dadas en la ecuaci´on
lineal (19) y la ecuaci´on vectorial (20) son equivalentes.
Ejemplo 1.6. Graficar en el primer octante (Ver (A.2.1) en la p´agina 8) el plano cuya
ecuaci´on es,
x+y+z = 1 (22)
Encuentre tres puntos no colineales sobre ´el y muestre que efectivamente el vector
n = (1,1,1) es un vector normal al plano dado.
10
Dada una ecuaci´on lineal en tres variables, te-
nemos dos grados de libertad, por lo tanto en-
contrar tres puntos no colineales es dar valores
por ejemplo a x e y y encontrar z que satis-
fagan la ecuaci´on. Luego verificar que los dos
vectores formados con estos tres puntos no son
uno m´ultiplo del otro. Por ejemplo P1(0,0,1),
P2(0,1,0), P3(1,0,0). Ahora el producto vecto-
rial
P3P1 ×P3P2 = (−1,−1,−1) (23)
Efectivamente n y P3P1 × P3P2 son paralelos y
por tanto n es un vector normal.
0.0
0.0
0.0
0.25
0.5
0.5
0.5 u
0.75
v
1.0
1.01.0
Figura 10 Plano x+y+z = 1
Ejemplo 1.7. Dados los puntos A(−1,2,0), B(6,0,1) yC(0,3,1). Encuentre la ecua-
ci´on del plano α que los contiene.
SOLUCI ´ON.
u = AB = (7,−2,1);v = AC = (1,1,1) (24)
n = u×v = (−3,−6,9) =⇒ x+2y−3z = 3 (25)
R/: x+2y−3z = 3
5 Parametrizaci´on
Definici´on 1.5. Una superficie en el espacio tridimensional R3 dotado de un
sistema coordenado ortogonal es un objeto geom´etrico de dos dimensiones.
Dar una parametrizaci´on a una superficie Σ es definir una funci´on Φ que la
represente. En otras palabras es expresar las variables x, y y z que definen cada
punto sobre la superficie en t´erminos de dos nuevas variables u y v llamadas
par´ametros.
La funci´on Φ tiene como dominio alg´un subconjunto A del plano y su
imagen estar´a en el espacio tridimensional.
Φ : A ⊂ R2 −→ R3
(u,v) → (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) (26)
11
Tambi´en se pueden dar las expresiones de las funciones coordenadas de la
funci´on Φ sin necesidad de expresar ´esta, es decir,



x = x(u,v)
y = y(u,v)
z = z(u,v)
(27)
Existen superficies para las cuales es f´acil encontrar una parametrizaci´on, mientras
que hay otras para las cuales esta tarea m´as trabajo. Daremos algunas pautas y algu-
nos ejemplos que pueden seguirse para parametrizar una superficie.
Parametrizaci´on de Monge
Si de antemano conocemos la ecuaci´on cartesiana de la superficie y est´a est´a dada
en forma expl´ıcita por,
z = f(x,y) (28)
podemos definir la siguiente parametrizaci´on conocida como parametrizaci ´on de
Monge mediante la siguiente funci´on,
Φ(u,v) = (u,v, f(u,v)), es decir,



x = u
y = v
z = f(u,v)
(29)
Ejemplo 1.8. Consideremos el paraboloide el´ıptico definido por
z = x2
+y2
(30)
El paraboloide el´ıptico dado que a su vez es una superficie cu´adrica y una superficie
de revoluci´on se puede parametrizar, usando la parametrizaci´on de Monge por,
Φ(u,v) = (u,v,u2
+v2
) (31)
Otra parametrizaci´on, la cual ya no es de tipo Monge, es



x = vcosu
y = vsinu
z = v2
(u,v) ∈ R2
(32)
Por qu´e las ecuaciones (32) son tambi´en una parametrizaci´on de la superficie (30)?.
12
Las ecuaciones param´etricas (32) son tres mientras que la ecuaci´on cartesiana
(30) es solo una. Las ecuaciones param´etricas y la ecuaci´on cartesiana que defi-
nen una misma superficie est´an relacionadas de la siguiente manera: Al sustituir las
ecuaciones param´etricas (32)(funciones x y y z en t´erminos de los par´ametros) en la
ecuaci´on cartesiana (30) y simplificar la expresi´on obtenida se deben eliminar los
dos par´ametros u y v.
Ejemplo 1.9. Consideremos ahora el hemisferio superior de una esfera de radio 2
con centro en el origen. La ecuaci´on cartesiana que la define es:
x2
+y2
+z2
= 4, z ≥ 0 (33)
Demos dos parametrizaciones diferentes de esta superficie.
1. Usando parametrizaciones tipo Monge, podemos parametrizarlo como,



x = u
y = v
z =
√
4−u2 −v2 (u,v) ∈ A
(34)
El dominio de la parametrizaci´on, el cual no podemos olvidar, se puede definir
como,
A = (u,v) ∈ R2
| −2 ≤ u ≤ 2,−
√
4−u2 ≤ v
√
4−u2 (35)
A = (u,v) ∈ R2 | u2 +v2 ≤ 4 (36)
2. Usando coordenadas es esf´ericas (Ver Ap´endice A.2.3, p´agina 11)



x = ρ sinϕ cosθ
y = ρ sinϕ sinθ
z = ρ cosϕ
(37)
podemos parametrizar una esfera de radio 2 como,



x = 2sinvcosu
y = 2sinvsinu
z = 2cosv
(38)
Donde hemos sustituido la variable ρ de las coordenadas esf´ericas por el radio
de la esfera, el cual es constante ρ = 2. La variable θ la hemos tomado como
el par´ametro u. La variable ϕ la hemos tomado como el otro par´ametro ϕ = v.
Si u es constante y v variable, la l´ınea sobre la esfera ser´a un “meridiano”. , y
representar´a la “longitud”. Si ϕ = v es constante y u es variable, la l´ınea sobre
la esfera representar´a la “latitud”. El conjunto A, dominio de la parametrizaci´on,
es,
13
A = (u,v) ∈ R2
| 0 ≤ u ≤ 2π,0 ≤ v ≤
π
2
(39)
Nota 1.3. 1. En general una parametrizaci´on no es m´as que una deformaci´on de
una parte del plano, del dominio A, en el espacio tridimensional. La superficie
es el resultado de esta deformaci´on. En el ejemplo (1.9) el primer caso tenemos
que la parametrizaci´on (34) es una deformaci´on del disco (35) en el plano en el
hemisferio y en el segundo caso la parametrizaci´on (38) es la deformaci´on del
rect´angulo (39) en el mismo hemisferio norte de la esfera.
2. Las superficies en general se pueden clasificar dependiendo de alguna restric-
ci´on que coloquemos, seg´un lo que queremos estudiar. Las parametrizaciones
nos sirva para encontrar objetos geom´etricos propios de la superficie tales co-
mo su vector normal, vectores tangentes, planos tangentes, curvatura etc., que
definiremos m´as adelante.
3. Existen casos en los cuales una superficie a pesar que satisface las condiciones
para serlo no lo es. En tal caso diremos que la superficie es una superficie de-
generada. Por ejemplo, la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar una
recta al rededor de ella misma no es na superficie como tal, es la misma recta.
La superficie cu´adrica cuya ecuaci´on es x2 +y2 +z2 = 0 es el punto situado en el
origen del sistema. La superficie cu´adrica cuya ecuaci´on es x2 +y2 +z2 +1 = 0
no tiene representaci´on real. Como estos hay otros m´as.
4. Finalmente para graficar una superficie debemos tener m´as herramientas que las
tratadas en este cap´ıtulo. Podemos recordar las superficies tratadas aqu´ı y en
caso de ser necesario y tener el software Maple disponible se puede consultar el
ap´endice C de la p´agina 21.
6 Ejercicios Cap´ıtulo 1
1.1. Halle la ecuaci´on que representa la super-
ficie que se obtiene al rotar z = x2, en el primer
cuadrante del plano xz, alrededor del eje z.
1.2. Halle la ecuaci´on que representa la super-
ficie que se obtiene al rotar z = y + 1, en el se-
gundo octante del plano yz, alrededor el eje z.
1.3. Halle la ecuaci´on que representa la super-
ficie que se obtiene al rotar z = 1−x2, en el ter-
cer octante del plano xz, alrededor el eje x.
1.4. Halle la ecuaci´on que representa la super-
ficie que se obtiene al rotar z = sinhy, en el se-
gundo octante del plano yz, alrededor el eje y.
1.5. La circunferencia (x − 3)2 + y2 = 1 sobre
el plano xy, gira alrededor del eje z. Halle la
ecuaci´on que representa la superficie de revo-
luci´on resultante y haga un bosquejo del dibujo.
1.6. Considere el prisma on v´ertices en los pun-
tos A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), y D(1,1,3).
Halle
1. La ecuaci´on del plano que contiene los pun-
tos A, B, y D.
2. El ´area del tri´angulo ABD.
3. La distancia del punto C al plano que con-
tiene los puntos A, B, y D.
4. El volumen del prisma usando el triple pro-
ducto mixto.
5. El volumen del prisma usando la f´ormula de
volumen de un prisma.
1.7. Considere un tetraedro regular (figura de 4
caras, cada una de ellas un tri´angulo equil´atero)
con su centro en el origen, inscrito en la esfera
x2 + y2 + z2 = 1, con uno de sus v´ertices sobre
el eje x y con un lado sobre el plano xy (primer
cuadrante). Halle:
14
1. La ecuaci´on del plano que contiene la cara
ubicada en el primer octante.
2. El ´angulo entre dos de su lados consecutivos
con v´ertice com´un.
3. El ´area de una de sus caras.
4. El volumen.
5. El volumen fuera del prisma que est´a dentro
de la esfera.
1.8. Considere la par´abola y = 4 − x2 sobre el
plano xy y la recta tangente a ella en el punto
cuya abscisa es x = 1. Halle:
1. La ecuaci´on del paraboloide al girar la
par´abola alrededor del eje y.
2. La ecuaci´on del cono al girar la recta alre-
dedor del eje y.
3. El volumen acotado por el cono y el plano
xy en el primer octante.
1.9. Para cada una de las seis superfices
cu´adricas en su forma est´andar encuentre una
parametrizaci´on. No olvide el dominio de la pa-
rametrizaci´on.
1.10. Muestre que el paraboloide hiperb´olico
z = x2 −y2 se puede escribir como z = axy. Es-
criba todos los detalles de su demostraci´on y ha-
lle el valor se a.
1.11. Hallar la ecuaci´on cartesiana del plano
generado por u = 3i−j+k, y v = 3j +4k
1.12. En la figura dada el c´ırculo est´a fijo y tie-
ne radio a, y para cada θ, el punto P es el punto
medio del segmento QR, 0 < θ < π. Hallar las
ecuaciones param´etricas de la curva.
2a
O
R
a
Q
P
2a
O
R
a
Q
P
Figura 11 Bruja de Agnesi
1.13. La par´abola z = 4y2, se rota alrededor del
eje z. Escribir la ecuaci´on de la superficie resul-
tante en coordenadas cil´ındricas.
1.14. Describir la superficie que en coordena-
das esf´ericas est´a dada por ρ = cos(2θ).

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  • 1. Cap´ıtulo 1 Superficies 1 Superficies de revoluci´on Definici´on 1.1. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema de coordenadas (x,y,z). Una superficie de revoluci ´on en este espacio es una superficie generada al rotar una curva plana C alrededor de alg´un eje que est´a en el plano de la curva. Un caso particular es cuando el eje de rotaci´on es alguno de los ejes coordenados y la curva C est´a sobre alguno de los planos coordenados. Ejemplo 1.1. Si el eje de rotaci´on es el eje z y la curva plana C est´a sobre el plano xz con ecuaci´on: z = f(x) (1) tal que f es una funci´on biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´on de la superficie Σ de rotaci´on tendr´a ecuaci´on: z = f( x2 +y2) (2) Para deducir la ecuaci´on anterior, tomemos dos puntos A y B sobre la superficie Σ y un tercer punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la superficie. Consideremos la circunferencia α que contiene al punto A, tiene centro en el punto M y est´a sobre el plano z = z1. Esta circunferencia corta el plano xz en el punto B. Por lo tanto las coordenadas de los puntos son: A(x,y,z1), B(x,0,z1), C(0,0,z1). Pero el punto B pertenece a la generatrizC, por lo tanto sus coordenadas las podemos escribir como B(f −1(z1),0,z1). Ahora la distancia entre A y M es la misma que entre B y M pues son dos radios de la circunferencia. 1
  • 2. 2    A(x,y,z1) B(f−1(z1),0,z1) M(0,0,z1)    =⇒ |AM| = |BM| =⇒ x2 +y2 = [f−1 (z1)]2 =⇒ z1 = f x2 +y2 (3) Pero A es arbitrario, por lo tanto z1 = z. Observemos que en la deducci´on de la f´ormula anterior las variables x, y e z se colocan cuando esto se puede en t´ermino de la variable fijada z1, que es la que define el plano z = z1 donde est´a la circunferencia α. Ejemplo 1.2. Si el eje de rotaci´on es el eje x y la curva plana C est´a sobre el plano xz con ecuaci´on: z = f(x) (4) tal que f es una funci´on biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuaci´on de la superficie Σ de rotaci´on tendr´a ecuaci´on: [f(x)]2 = y2 +z2 (5) Similarmente como en el ejemplo 1.1, tomamos el plano x = x1, perpendicular al eje de rotaci´on x, y tres puntos sobre este plano que pertenecen a la circunferencia α con centro en M(x1,0,0) y que contiene los puntos A(x1,y,z) y B(x1,0,z). Dado que B pertenece a la curva generatriz C, sus ordenadas son B(x1,0, f(x1)).    A(x1,y,z) B(x1,0, f(x1)) M(x1,0,0)    =⇒ |AM| = |BM| =⇒ y2 +z2 = [f(x1)]2 (6) La hip´otesis que A es arbitrario, completa la demostraci´on. El CATENOIDE es una superficie de revoluci´on obtenida al rotar sobre el eje x la curva z = coshx, y la ecuaci´on que la representa es: y2 +z2 = cosh2 x. Una para- metrizaci´on usada para graficarla con el software Maple es: x = u, y = coshucosv, z = coshusinv, con valores de los par´ametros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π. Los ejes coordenados est´an colocados en forma est´andar. (Ver: C.9.3).
  • 3. 3 El CATENOIDE, superficie de revoluci´on obteni- da al girar la curva catenaria z = coshx, sobre el plano xz, alrededor del eje x. -3.6 -3.6 -1.6 -20.4 0.4 0 2 2.4 Figura 1 Catenoide Ejemplo 1.3. Encuentre la ecuaci´on de la superficie al rotar la recta x = 3y alrededor del eje x. SOLUCI ´ON. Debido a la rotaci´on sobre el eje x las trazas sobre el plano xy (intersecciones de la superficie que debemos hallar con el plano xy (z = 0)), deben ser el par de rectas y = ±3x. Este par de ecuaciones se pueden escribir como una sola ecuaci´on y 2 = 1 3 x 2 . Lo cual es equivalente a decir Trazas sobre el planoxy =⇒ y2 − 1 3 x 2 = 0 (7) Esto mismo debe ocurrir sobre el plano xz. Por lo tanto, Trazas sobre el planoxz =⇒ z2 − 1 3 x 2 = 0 (8) Las trazas sobre los planos paralelos al plano yz, es decir intersecciones de la super- ficie con el plano x = a = const., deben ser circunferencias con radio y = f(a) = 3a. Por lo tanto, la superficie es un cono cuya ecuaci´on es: y2 +z2 − 1 3 x 2 = 0 =⇒ 9y2 +9z2 = x2 (9) R/: 9y2 +9z2 = x2
  • 4. 4 2 Superficies Cil´ındricas Definici´on 1.2. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema de coordenadas (x,y,z). Dada una recta y una curva plana C, una superficie cil´ındrica en este espacio es una superficie generada por una familia de rectas paralelas a y que tienen un punto en C. Un caso particular es cuando la recta es alguno de los ejes coordenados y la curva C est´a sobre alguno de los planos coordenados. Ejemplo 1.4. Consideremos como recta generatriz cualquier recta paralela al eje z y que pasa por la curva f(x,y) = k, k = const. en el plano xy. El cilindro obtenido no necesariamente es una superficie de revoluci´on, por ejemplo si la curva C es la elipse x2 4 + y2 9 = 1. La ecuaci´on de la superficie cil´ındrica en R3 en este caso es: f(x,y) = k (10) Un CILINDRO EL´IPTICO RECTO, es una superfi- cie cil´ındrica generada por una familia de rectas paralelas a una recta (en este caso eje z) y que pasan por una curva plana C (en este caso la elip- se x2 4 + y2 9 = 1), ubicada sobre un plano xy. La ecuaci´on que define esta superficie cil´ındrica es : x2 4 + y2 9 = 1. Observemos que no aparece la va- riable z, precisamente es el eje paralelo a la recta generatriz. -2-3 -1 -2 0 1 0 2 3 2 Figura 2 Superficie cil´ındrica Ejemplo 1.5. Consideremos la curva C sobre el plano xz, z = sinx. La superficie cil´ındrica generada por la familia de recta paralelas al eje y tiene como ecuaci´on que la representa: z = sinx (11)
  • 5. 5 Nota 1.1. Si la familia de rectas que generan una superficie cil´ındrica son paralelas a uno de los ejes coordenados y la curva plana C est´a sobre el plano coordenado perpendicular a la familia de rectas, entonces la ecuaci´on de la superficie cil´ındrica no tiene la variable del eje. Esto no significa que en general las ecuaciones de las su- perficies cil´ındricas no tengan una o dos variables. Un plano podr´ıa ser considerado como una superficie cil´ındrica. Un CILINDRO SINUSOIDAL, es una superficie cil´ındrica generada por una familia de rectas pa- ralelas a una recta (en este caso eje y) y que pa- san por una curva plana C (en este caso la elipse z = sinx), ubicada sobre un plano xz. La ecuaci´on que define esta superficie cil´ındrica es : z = sinx. Observemos que no aparece la variable x, preci- samente es el eje paralelo a la recta generatriz. -1.8-13 -10 10 Figura 3 Superficie cil´ındrica 3 Superficies Cu´adricas Definici´on 1.3. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema de coordenadas (x,y,z). Una superficie cu ´adrica en este espacio es una su- perficie asociada a una ecuaci´on de segundo grado en las variables x, y, y z, es decir una superficie cu´adrica tiene como ecuaci´on que la representa una ecuaci´on del tipo: Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J = 0 (12) Las formas can´onicas de las cu´adricas es la simplificaci´on al m´aximo de la ecuaci´on 12 usando rotaciones y traslaciones apropiadas para llevarlas a uno de los siguientes seis tipos:
  • 6. 6 Un paraboloide el´ıptico es una superficie cuya ecuaci´on en forma can´onica es: z c = x2 a2 + y2 b2 (13) donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce- ro. En el caso que a = b se llama un paraboloide circular y es adem´as una superficie de revoluci´on. La orientaci´on del paraboloide el´ıptico depende del valor de c, si c > 0 es orientada hacia arriba, y si c < 0 hacia abajo. -1 0 1 -1.3 -0.3 0.7 0 1 2 Figura 4 Paraboloide el´ıptico a = b, c = 1 Un paraboloide hiperb´olico, o com´unmente lla- mada una silla de montar, es una superficie cuya ecuaci´on en forma can´onica es: z c = x2 a2 − y2 b2 (14) donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce- ro. -2 -1 0 1 2-2 -10 1-4 2 -2 0 2 4 Figura 5 Paraboloide hiperb´olico a = b,c = 1
  • 7. 7 Un hiperboloide el´ıptico de un solo manto, o com´unmente llamada un hiperboloide de una ho- ja, es una superficie cuya ecuaci´on en forma can´onica es: x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 (15) donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce- ro. -3.4 -4 -2 -2.2 0.6 0 -0.2 2 4 1.8 Figura 6 Hiperboloide el´ıptico de un manto Un hiperboloide el´ıptico de dos mantos, o com´unmente llamada un hiperboloide de dos ho- jas, es una superficie cuya ecuaci´on en forma can´onica es: x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = −1 (16) donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce- ro. -6 -6.0-6 -3.5 -1 -1.0 -1 1.5 4.0 44 Figura 7 Hiperboloide el´ıptico de dos mantos
  • 8. 8 Un elipsoide, es una superficie cuya ecuaci´on en forma can´onica es: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (17) donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce- ro. En el caso que a = b es una superficie de re- voluci´on y si a = b = c = R, entonces tendremos una esfera de radio R. -1.5 -2 -1 -1 0.5 0 0 1 1 2 Figura 8 Elipsoide Un cono, es una superficie cuya ecuaci´on en for- ma can´onica es: x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 0 (18) donde a,b,c son n´umeros reales diferentes de ce- ro. En el caso que a = b es una superficie de re- voluci´on. -1.5 -1.5-1.4 -0.5 -0.5 -0.4 0.5 0.5 0.6 1.5 1.5 Figura 9 Cono 4 Planos Definici´on 1.4. Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema de coordenadas (x,y,z). Un plano en este espacio es una superficie asociada a
  • 9. 9 una ecuaci´on de primer grado en las variables x, y, y z, es decir un plano tiene como ecuaci´on que lo representa una ecuaci´on del tipo: Ax+By+Cz+D = 0 (19) donde A,B y C son n´umeros reales no simult´aneamente iguales a cero. Nota 1.2. Un vector normal al plano (19) es n = Ai+Bj+Ck. Expresiones equivalentes La ecuaci´on dada en la definici´on 4 se le conoce con el nombre de ecuaci´on lineal del plano. Otra expresi´on para un plano llamada ecuaci´on vectorial. Necesitamos solamente un punto P(x1,y1,z1) por donde pasa el plano α y un vector normal (per- pendicular) al plano n = Ai + Bj +Ck. Si tomamos cualquier otro punto M(x,y,z) sobre el plano α se satisface la siguiente ecuaci´on vectorial: PM·n = 0 =⇒ (x−x1,y−y1,z−z1)·(A,B,C) = 0 (20) Haciendo las operaciones indicadas en esta ecuaci´on y simplificando tenemos, Ax+By+Cz−(Ax1 +By1 +Cz1) = 0 (21) Pero P ∈ α, es decir Ax1 +By1 +Cz1 = −D, lo cual muestra, bajo la hip´otesis que n = Ai + Bj +Ck es un vector normal, que las expresiones dadas en la ecuaci´on lineal (19) y la ecuaci´on vectorial (20) son equivalentes. Ejemplo 1.6. Graficar en el primer octante (Ver (A.2.1) en la p´agina 8) el plano cuya ecuaci´on es, x+y+z = 1 (22) Encuentre tres puntos no colineales sobre ´el y muestre que efectivamente el vector n = (1,1,1) es un vector normal al plano dado.
  • 10. 10 Dada una ecuaci´on lineal en tres variables, te- nemos dos grados de libertad, por lo tanto en- contrar tres puntos no colineales es dar valores por ejemplo a x e y y encontrar z que satis- fagan la ecuaci´on. Luego verificar que los dos vectores formados con estos tres puntos no son uno m´ultiplo del otro. Por ejemplo P1(0,0,1), P2(0,1,0), P3(1,0,0). Ahora el producto vecto- rial P3P1 ×P3P2 = (−1,−1,−1) (23) Efectivamente n y P3P1 × P3P2 son paralelos y por tanto n es un vector normal. 0.0 0.0 0.0 0.25 0.5 0.5 0.5 u 0.75 v 1.0 1.01.0 Figura 10 Plano x+y+z = 1 Ejemplo 1.7. Dados los puntos A(−1,2,0), B(6,0,1) yC(0,3,1). Encuentre la ecua- ci´on del plano α que los contiene. SOLUCI ´ON. u = AB = (7,−2,1);v = AC = (1,1,1) (24) n = u×v = (−3,−6,9) =⇒ x+2y−3z = 3 (25) R/: x+2y−3z = 3 5 Parametrizaci´on Definici´on 1.5. Una superficie en el espacio tridimensional R3 dotado de un sistema coordenado ortogonal es un objeto geom´etrico de dos dimensiones. Dar una parametrizaci´on a una superficie Σ es definir una funci´on Φ que la represente. En otras palabras es expresar las variables x, y y z que definen cada punto sobre la superficie en t´erminos de dos nuevas variables u y v llamadas par´ametros. La funci´on Φ tiene como dominio alg´un subconjunto A del plano y su imagen estar´a en el espacio tridimensional. Φ : A ⊂ R2 −→ R3 (u,v) → (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) (26)
  • 11. 11 Tambi´en se pueden dar las expresiones de las funciones coordenadas de la funci´on Φ sin necesidad de expresar ´esta, es decir,    x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) (27) Existen superficies para las cuales es f´acil encontrar una parametrizaci´on, mientras que hay otras para las cuales esta tarea m´as trabajo. Daremos algunas pautas y algu- nos ejemplos que pueden seguirse para parametrizar una superficie. Parametrizaci´on de Monge Si de antemano conocemos la ecuaci´on cartesiana de la superficie y est´a est´a dada en forma expl´ıcita por, z = f(x,y) (28) podemos definir la siguiente parametrizaci´on conocida como parametrizaci ´on de Monge mediante la siguiente funci´on, Φ(u,v) = (u,v, f(u,v)), es decir,    x = u y = v z = f(u,v) (29) Ejemplo 1.8. Consideremos el paraboloide el´ıptico definido por z = x2 +y2 (30) El paraboloide el´ıptico dado que a su vez es una superficie cu´adrica y una superficie de revoluci´on se puede parametrizar, usando la parametrizaci´on de Monge por, Φ(u,v) = (u,v,u2 +v2 ) (31) Otra parametrizaci´on, la cual ya no es de tipo Monge, es    x = vcosu y = vsinu z = v2 (u,v) ∈ R2 (32) Por qu´e las ecuaciones (32) son tambi´en una parametrizaci´on de la superficie (30)?.
  • 12. 12 Las ecuaciones param´etricas (32) son tres mientras que la ecuaci´on cartesiana (30) es solo una. Las ecuaciones param´etricas y la ecuaci´on cartesiana que defi- nen una misma superficie est´an relacionadas de la siguiente manera: Al sustituir las ecuaciones param´etricas (32)(funciones x y y z en t´erminos de los par´ametros) en la ecuaci´on cartesiana (30) y simplificar la expresi´on obtenida se deben eliminar los dos par´ametros u y v. Ejemplo 1.9. Consideremos ahora el hemisferio superior de una esfera de radio 2 con centro en el origen. La ecuaci´on cartesiana que la define es: x2 +y2 +z2 = 4, z ≥ 0 (33) Demos dos parametrizaciones diferentes de esta superficie. 1. Usando parametrizaciones tipo Monge, podemos parametrizarlo como,    x = u y = v z = √ 4−u2 −v2 (u,v) ∈ A (34) El dominio de la parametrizaci´on, el cual no podemos olvidar, se puede definir como, A = (u,v) ∈ R2 | −2 ≤ u ≤ 2,− √ 4−u2 ≤ v √ 4−u2 (35) A = (u,v) ∈ R2 | u2 +v2 ≤ 4 (36) 2. Usando coordenadas es esf´ericas (Ver Ap´endice A.2.3, p´agina 11)    x = ρ sinϕ cosθ y = ρ sinϕ sinθ z = ρ cosϕ (37) podemos parametrizar una esfera de radio 2 como,    x = 2sinvcosu y = 2sinvsinu z = 2cosv (38) Donde hemos sustituido la variable ρ de las coordenadas esf´ericas por el radio de la esfera, el cual es constante ρ = 2. La variable θ la hemos tomado como el par´ametro u. La variable ϕ la hemos tomado como el otro par´ametro ϕ = v. Si u es constante y v variable, la l´ınea sobre la esfera ser´a un “meridiano”. , y representar´a la “longitud”. Si ϕ = v es constante y u es variable, la l´ınea sobre la esfera representar´a la “latitud”. El conjunto A, dominio de la parametrizaci´on, es,
  • 13. 13 A = (u,v) ∈ R2 | 0 ≤ u ≤ 2π,0 ≤ v ≤ π 2 (39) Nota 1.3. 1. En general una parametrizaci´on no es m´as que una deformaci´on de una parte del plano, del dominio A, en el espacio tridimensional. La superficie es el resultado de esta deformaci´on. En el ejemplo (1.9) el primer caso tenemos que la parametrizaci´on (34) es una deformaci´on del disco (35) en el plano en el hemisferio y en el segundo caso la parametrizaci´on (38) es la deformaci´on del rect´angulo (39) en el mismo hemisferio norte de la esfera. 2. Las superficies en general se pueden clasificar dependiendo de alguna restric- ci´on que coloquemos, seg´un lo que queremos estudiar. Las parametrizaciones nos sirva para encontrar objetos geom´etricos propios de la superficie tales co- mo su vector normal, vectores tangentes, planos tangentes, curvatura etc., que definiremos m´as adelante. 3. Existen casos en los cuales una superficie a pesar que satisface las condiciones para serlo no lo es. En tal caso diremos que la superficie es una superficie de- generada. Por ejemplo, la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar una recta al rededor de ella misma no es na superficie como tal, es la misma recta. La superficie cu´adrica cuya ecuaci´on es x2 +y2 +z2 = 0 es el punto situado en el origen del sistema. La superficie cu´adrica cuya ecuaci´on es x2 +y2 +z2 +1 = 0 no tiene representaci´on real. Como estos hay otros m´as. 4. Finalmente para graficar una superficie debemos tener m´as herramientas que las tratadas en este cap´ıtulo. Podemos recordar las superficies tratadas aqu´ı y en caso de ser necesario y tener el software Maple disponible se puede consultar el ap´endice C de la p´agina 21. 6 Ejercicios Cap´ıtulo 1 1.1. Halle la ecuaci´on que representa la super- ficie que se obtiene al rotar z = x2, en el primer cuadrante del plano xz, alrededor del eje z. 1.2. Halle la ecuaci´on que representa la super- ficie que se obtiene al rotar z = y + 1, en el se- gundo octante del plano yz, alrededor el eje z. 1.3. Halle la ecuaci´on que representa la super- ficie que se obtiene al rotar z = 1−x2, en el ter- cer octante del plano xz, alrededor el eje x. 1.4. Halle la ecuaci´on que representa la super- ficie que se obtiene al rotar z = sinhy, en el se- gundo octante del plano yz, alrededor el eje y. 1.5. La circunferencia (x − 3)2 + y2 = 1 sobre el plano xy, gira alrededor del eje z. Halle la ecuaci´on que representa la superficie de revo- luci´on resultante y haga un bosquejo del dibujo. 1.6. Considere el prisma on v´ertices en los pun- tos A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), y D(1,1,3). Halle 1. La ecuaci´on del plano que contiene los pun- tos A, B, y D. 2. El ´area del tri´angulo ABD. 3. La distancia del punto C al plano que con- tiene los puntos A, B, y D. 4. El volumen del prisma usando el triple pro- ducto mixto. 5. El volumen del prisma usando la f´ormula de volumen de un prisma. 1.7. Considere un tetraedro regular (figura de 4 caras, cada una de ellas un tri´angulo equil´atero) con su centro en el origen, inscrito en la esfera x2 + y2 + z2 = 1, con uno de sus v´ertices sobre el eje x y con un lado sobre el plano xy (primer cuadrante). Halle:
  • 14. 14 1. La ecuaci´on del plano que contiene la cara ubicada en el primer octante. 2. El ´angulo entre dos de su lados consecutivos con v´ertice com´un. 3. El ´area de una de sus caras. 4. El volumen. 5. El volumen fuera del prisma que est´a dentro de la esfera. 1.8. Considere la par´abola y = 4 − x2 sobre el plano xy y la recta tangente a ella en el punto cuya abscisa es x = 1. Halle: 1. La ecuaci´on del paraboloide al girar la par´abola alrededor del eje y. 2. La ecuaci´on del cono al girar la recta alre- dedor del eje y. 3. El volumen acotado por el cono y el plano xy en el primer octante. 1.9. Para cada una de las seis superfices cu´adricas en su forma est´andar encuentre una parametrizaci´on. No olvide el dominio de la pa- rametrizaci´on. 1.10. Muestre que el paraboloide hiperb´olico z = x2 −y2 se puede escribir como z = axy. Es- criba todos los detalles de su demostraci´on y ha- lle el valor se a. 1.11. Hallar la ecuaci´on cartesiana del plano generado por u = 3i−j+k, y v = 3j +4k 1.12. En la figura dada el c´ırculo est´a fijo y tie- ne radio a, y para cada θ, el punto P es el punto medio del segmento QR, 0 < θ < π. Hallar las ecuaciones param´etricas de la curva. 2a O R a Q P 2a O R a Q P Figura 11 Bruja de Agnesi 1.13. La par´abola z = 4y2, se rota alrededor del eje z. Escribir la ecuaci´on de la superficie resul- tante en coordenadas cil´ındricas. 1.14. Describir la superficie que en coordena- das esf´ericas est´a dada por ρ = cos(2θ).