Este documento presenta 19 ejercicios relacionados con la aplicación del teorema de Gauss y Stokes para calcular flujos y circulaciones de campos vectoriales a través de varias superficies y curvas. Los ejercicios involucran campos vectoriales dados y superficies y curvas definidas por ecuaciones o parametrizaciones, y piden calcular flujos y circulaciones, justificando la aplicación de los teoremas correspondientes.

1. UNGS - C´alculo en Varias Variables
Segundo Semestre de 2018
PR´ACTICA 9
Teorema de Gauss
1. Verificar el teorema de Gauss en el caso en que F(x, y, z) = (xy, z, y) y V es el s´olido del
primer octante definido por x + y + z ≤ 18.
2. Calcular el flujo del campo F(x, y, z) = (y + z, x − z, y + x) a trav´es de la superficie frontera
del cubo [−1, 1]×[−1, 1]×[−1, 1] orientado con sus vectores normales apuntado hacia afuera.
3. Calcular el flujo de F(x, y, z) = (2x2, x2z, cos x − sen y) a trav´es de la superficie frontera del
cuerpo definido por x + y + z ≤ 2, 0 ≤ z ≤ y, y ≤ x en el primer octante, orientada por el
campo de vectores normales exterior.
4. Calcular el flujo de F(x, y, z) = (xy, x8z5, cos(ysen (x))) a trav´es de la superficie frontera de
cuerpo definido por x2 + z2 ≤ 2, z ≤ x, y ≤ 3 en el primer octante, orientada con un campo
de vectores normales tal que N(1/2, 3, 1/2) = (0, −1, 0).
5. Calcular el flujo de U a trav´es de la frontera del cuerpo limitado por z ≤ 4, z ≥ x + y en el
primer octante, con vector normal unitario saliente, cuando U(x, y, z) = xy − z2 + 2xz.
6. Calcular el flujo de F(x, y, z) = (x + zy, zx − ln z, 4z) a trav´es del trozo de esfera de ecuaci´on
x2 + y2 + z2 = 5, con z ≥ 1, orientada de manera tal que el vector normal tiene tercera
coordenada positiva, mediante una conveniente aplicaci´on del teorema de Gauss.
(Sug:¿La superficie es cerrada? Entonces . . .)
7. Usando el teorema de Gauss, calcular el flujo de F(x, y, z) = (ey2
z2, yz, xy2z) a trav´es de la
superficie x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 4 orientada seg´un el campo de vectores normales que apunta
hacia el eje z.
8. Sea S la frontera del s´olido definido por x2 + y2 + z2 ≤ 1 y F el campo
F(x, y, z) =

 x
(x2 + y2 + z2)3
,
y
(x2 + y2 + z2)3
,
z
(x2 + y2 + z2)3


Calcular el flujo de F a trav´es de S, con S orientado con el campo normal exterior ¿Es posible
calcular este flujo aplicando el teorema de Gauss? Justificar.
9. Sea S la frontera del s´olido definido por (x − 2)2 + y2 + z2 ≤ 1 y F el mismo campo del
ejercicio anterior. Calcular el flujo de F a trav´es de S, con S orientado con el campo normal
exterior ¿Es posible calcular este flujo aplicando el teorema de Gauss? Justificar.
10. Calcular el flujo de F(x, y, z) = (y3z, xy, 3 sin(πy)) a trav´es de la superficie definida por
x2 + z2 = y, 0 ≤ y ≤ 9 orientada con el campo normal que verifica N(0, 0, 0) = (0, 1, 0)
11. Calcular el flujo de F(x, y, z) = (−2x, −3y, z) hacia el exterior de la superficie de la parte
superior derecha (z ≥ 0, y ≥ 0) de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 intersectada con z ≥
√
x2 + y2.
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2. Teorema de Stokes
12. Comprobar que se verifica el teorema de Stokes en el caso F(x, y, z) = (3y, −xz, yz2) y S la
superficie z = (x2 +y2)/2, z ≤ 2. Indicar en un gr´afico claramente como orienta a la superficie
S y a su borde.
13. Mediante una aplicaci´on conveniente del teorema de Stokes, calcular la circulaci´on de los
siguientes campos a lo largo de las curvas indicadas. En cada caso, justificar la aplicabilidad
del teorema e indicar claramente la orientaci´on elegida tanto en la curva como en la superficie.
(a) Sean F(x, y, z) = (y+z, z+x, x+y) y C la circunferencia intersecci´on de x2 +y2 +z2 = 2
y con el plano x+y +z = 0 orientada en el con el sentido (1, 0, −1), (0, 1, −1), (−1, 0, 1).
Calcular la circulaci´on del F campo F a lo largo de C.
(b) Calcular la circulaci´on de F(x, y, z) = (ln(1 + x2), x − y, z − y) a lo largo de la curva
borde de la superficie z = x2, y ≤ x, z ≤ 4 en el primer octante orientada en el sentido
(2, 0, 4), (0, 0, 0), (2, 2, 4).
(c) Sea C la curva definida por la trayectoria α(t) =
(t, t2, 0) si t ∈ [0, 1]
(2 − t, 2 − t, 0) si t ∈ [1, 2]
i. ¿α es una parametrizaci´on de C?
ii. Consideremos a C orientada por α, ¿cu´anto vale la circulaci´on de F a lo largo de C
si F es un campo vectorial C1 que verifica rotF(x, y, z) = (−x, 0, z − x), para todo
(x, y, z) ∈ R3?
(d) ¿Cu´al es la circulaci´on del campo F a lo largo de la curva C si rotF(x, y, z) = (−x2, y, 2xz−
z) y C es la curva intersecci´on de las superficies z = 4 − x2 − y2 y z = x2 + y2 + 2 si C
esta orientada en el sentido (1, 0, 3), (0, −1, 3), (−1, 0, 3)?
(e) Calcular la circulaci´on de F(x, y, z) = (z + ex2
, x − ln(1 + y2), 0) a lo largo de la curva
intersecci´on de las superficies x2 + y2 = 2, y =
√
x2 + 2z2 orientada en sentido horario
visto desde el origen del sistema de coordenadas.
(f) Calcular la circulaci´on de F(x, y, z) = (y3 + sen x, cos5 y, arctgz + x3) a lo largo de la
curva C parametrizada y orientada por α(t) = (cos t, sen t, 7 − cos t − sen t), 0 ≤ t ≤ 2π.
14. Sea F un campo C2 en R3 y S una superficie cerrada. Demostrar que el flujo de rotF a
trav´es de S es nulo.
15. Determinar si es posible aplicar el teorema de Stokes para calcular la circulaci´on del campo
F(x, y, z) = −
y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
, z a lo largo de los bordes de las superficies:
(a) S la regi´on del plano z = 0 que verifica x2 + y2 ≤ 1 y x + y ≥ 1.
(b) S el c´ırculo x2 + y2 ≤ 1 en el plano z = 0
En cada caso, determinar la circulaci´on de F a lo largo de las curvas indicadas y el flujo de
rotF a trav´es de las superficies dadas (indicar en cada caso todas las orientaciones involucradas
en los c´alculos).
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3. 16. Mediante una aplicaci´on conveniente del teorema de Stokes, calcular la circulaci´on del sigu-
iente campo a lo largo de la curva indicada. En cada caso, justificar la aplicabilidad del
teorema e indicar claramente la orientaci´on elegida tanto en la curva como en la superfi-
cie: F(x, y, z) = (2y, xz, xy) a lo largo de la curva C imagen de α(t) = (2 cos t, 3, 2sen t),
0 ≤ t ≤ 2π.
17. F(x, y, z) = (xy, zx, zy) a lo largo de la curva frontera de x + y + z = 2, en el primer octante
con z ≥ x + y recorrida positivamente si se la observa desde el eje positivo z.
18. F(x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) donde C es la elipse x2 + y2 = 1, x + z = 1 recorrida
negativamente si se la observa desde el eje positivo x.
19. Sea F(x, y, z) = (xyz +ln(x4 +1), yz +y5, sen (z2)) y S la superficie que resulta de intersectar
el s´olido 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y2 y el plano y = 1. Si C es la curva frontera de S recorrida en el
sentido (
√
3, 1, 0), (0, 1, 3), (−
√
3, 1, 0), calcular C F · ds.
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