funciones exponenciales

1. Fucionescuadranticas
Son funcionespolinómicasesde segundogrado,siendosugráficaunaparábola.
f(x) = ax²+ bx + c
Representacióngráficade laparábola
Podemosconstruirunaparábolaa partir de estospuntos:
1. Vértice
Vértice
Por el vértice pasael eje de simetríade laparábola.
La ecuacióndel eje de simetríaes:
eje
2. Puntosde corte con el eje OX
En el eje de abscisasla segundacoordenadaescero,porlo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendolaecuaciónpodemosobtener:

2. Dos puntosde corte: (x1,0) y (x2,0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte:(x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningúnpuntode corte si b² − 4ac < 0
3. Puntode corte con el eje OY
En el eje de ordenadaslaprimeracoordenadaescero,por loque tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Ejemplo
Representarlafunciónf(x) =x²− 4x + 3.
1. Vértice
xv= − (−4) /2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntosde corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0

3. ecuación
(3, 0) (1, 0)
3. Puntode corte con el eje OY
(0, 3)
Gráfica
La funciónexponencial esdel tipo:
función
Seaa unnúmeroreal positivo.Lafunciónque a cada númeroreal x le hace corresponderla
potenciaax se llamafunciónexponencial de base ayexponente x.

4. Ejemplos
función
grafica de funcionexponencial
x y = 2x
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
función
graph of exponential function
x y = (½)x
-3 8
-2 4
-1 2

5. 0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Propiedades de lafunciónexponencial
Dominio:R.
Recorrido:R +.
Es continua.
Los puntos(0, 1) y (1, a) pertenecenalagráfica.
Es inyectivatodaa≠ 1(ningunaimagentiene másde unoriginal).
Creciente si a>1.
Decreciente si a< 1.

6. Las curvas y = ax e y = (1/a)x sonsimétricasrespectodel ejeOY.
Gráfica
FUNCION CUADRATICA
Una funcióncuadráticaes aquellaque puede escribirse de laforma:
f(x) = ax2 + bx +c
Donde a, b y c son númerosrealescualesquieraya distintode cero.
Si representamos "todos"lospuntos(x,f(x)) de unafuncióncuadrática,obtenemossiempreuna
curva llamadaparábola.
Comoejemplo,ahítieneslarepresentacióngráficade dosfuncionescuadráticasmuysencillas:

7. f(x) = x2
f(x) = -x2
Obtención
El vértice de unaparábolaestásituadoenel eje de éstay, por tanto,su abscisaserá el punto
mediode lasabscisasde dos puntosde la parábolaque seansimétricos.
Comotoda funcióncuadráticapasa por el punto(0, c) y el simétricode éste tiene de abscisax = -
b/a,la del vértice seráXv= -b/2a.La ordenadaYvse calculasustituyendoel valorde Xvenla
ecuaciónde la función.
Intersecciónde laparábolaconlos ejes
Intersecciónconel eje OY:Comotodoslospuntosde este eje tienenlaabscisax = 0, el puntode
corte de la parábolacon el eje OYtendráde coordenadas(0,c)
Intersecciónconel eje OX:Comotodoslospuntosdel eje OXtienenlaordenaday= 0, para ver
estospuntosde corte se resuelve laecuaciónde segundogradoax2+ bx + c = 0.
Dependiendodel valordel discriminante (D) de laecuación,se puedenpresentartressituaciones
distintas:
Si D > 0, la ecuacióntiene dossolucionesrealesydistintasylaparábolacortará al eje OXen dos
puntos.

8. Si D = 0, la ecuacióntiene unasoluciónreal y,por tanto,laparábolacortará al eje OXenun punto
(que seráel vértice).
Si D < 0, la ecuaciónnotiene solucionesrealesylaparábolanocortará al eje OX.
Resumen
Toda funcióncuadráticaf(x) =ax2 + bx + c, representaunaparábolatal que:
Su formadepende exclusivamentedel coeficiente ade x2.
Los coeficientesbyc trasladanla parábolaa izquierda,derecha,arribaoabajo.
Si a > 0, lasramas van hacia arribay si a < 0, hacia abajo.
Cuantomás grande sea el valorabsolutode a,más cerrada es la parábola.
Existe unúnicopuntode corte con el eje OY,que es el (0,c)
Los cortescon el eje OXse obtienenresolviendolaecuaciónax2+ bx + c=0, pudiendoocurrirque
locorte endos puntos,enunoo en ninguno.
La primeracoordenadadel vértice esXv=-b/2ª
FUNCIÓN EXPONENCIAL

9. En la naturalezayen lavidasocial existennumerososfenómenosque se rigenporleyesde
crecimientoexponencial.Tal sucede,porejemplo,enel aumentode uncapital invertidoainterés
continuooen el crecimientode laspoblaciones.Ensentidoinverso,tambiénlassustancias
radiactivassiguenunaleyexponencial ensuritmode desintegraciónparaproducirotrostiposde
átomosy generarenergíay radiacionesionizantes.
Definición
Se llamafunciónexponencial de base aaquellacuyaformagenéricaesf (x) = ax,siendoa un
númeropositivodistintode 1.Porsu propiadefinición,todafunciónexponencial tiene por
dominiode definiciónel conjuntode losnúmerosrealesR.
La función exponencial puede considerarsecomolainversade lafunciónlogarítmica,porcuanto
se cumple que:
'Funcionesmatemáticas'
'Funcionesmatemáticas'
Representacióngráficade variasfuncionesexponenciales.
'Funcionesmatemáticas'
Funciónexponencial, segúnel valorde labase.
Propiedadesde lasfuncionesexponenciales

10. Para toda funciónexponencial de laformaf(x) =ax, se cumplenlassiguientespropiedades
generales:
La funciónaplicadaal valorceroessiempre igual a1:
f (0) = a0 = 1.
La funciónexponencial de 1essiempre igual ala base:
f (1) = a1 = a.
La funciónexponencial de unasumade valoresesigual al productode la aplicaciónde dicha
funciónaplicadaacada valorpor separado.
f (x + x?) = ax+x?= ax ð ax? = f (x) ðf (x?).
La funciónexponencial de unarestaesigual al cociente de suaplicaciónal minuendodivididapor
la funcióndel sustraendo:
f (x - x?) = ax-x?= ax/ax?= f (x)/f (x?).
La funciónex
Un caso particularmente interesante de funciónexponencial esf (x) =ex.El númeroe,de valor
2,7182818285..., se define matemáticamente comoel límite al que tiende laexpresión:

11. (1 + 1/n)n
Cuandoel valorde n crece hasta aproximarse al infinito.Este númeroeslabase elegidaparalos
logaritmosnaturalesoneperianos.
La funciónex presentaalgunasparticularidadesimportantesque refuerzansuinterésenlas
descripcionesfísicasymatemáticas.Unade ellasesque coincide consupropiaderivada.
Ecuacionesexponenciales
Se llamaecuaciónexponencial aaquella enlaque laincógnitaaparece comoexponente.Un
ejemplode ecuaciónexponencial seríaax = b.
Para resolverestasecuacionesse suelenutilizardosmétodosalternativos:
Igualaciónde labase:consiste enaplicarlaspropiedadesde laspotenciasparalograrque enlos
dos miembrosde laecuaciónaparezcaunamismabase elevadaadistintosexponentes:
Ax = Ay.
En talescondiciones,laresoluciónde laecuaciónproseguiríaapartir de la igualdadx = y.
Cambiode variable:consiste ensustituirtodas laspotenciasque figuranenlaecuaciónpor
potenciasde unanuevavariable,convirtiendolaecuaciónoriginalenotramás fácil de resolver.

12. 22x - 3 ð 2x - 4 = 0 'Funcionesmatemáticas'
t2 - 3t - 4 = 0
luegose ?deshace?el cambiode variable.
Por otra parte,un sistemade ecuacionesse denominaexponencial cuandoenalgunade sus
ecuacioneslaincógnitaaparece comoexponente.Paralaresoluciónde sistemasde ecuaciones
exponencialesse aplicantambién,segúnconvenga,losmétodosde igualaciónde la base yde
cambiode variable.
El ajedrezylosgranos de trigo
Una conocidaleyendaoriental ofrece unadescripciónmuyexactade unafunciónexponencial.
Cuentanque unrey quisopremiarlasdotesadivinatoriasdel sumosacerdoteque habíapredicho
una extraordinariavictoriaenunabatalla.El sacerdote pidió2granos de trigo por laprimera
casillade untablerode ajedrez,4 por lasegunda,8 por la tercera,y el doble cadavezpor cada
nuevacasilla.El reypareciócomplacidoporla modestiadel sacerdote...hastaque comprobóla
magnitudde supetición:264+ 263 + ... + 22 +
+ 2 granos de trigo,una cantidadinimaginable,que nose almacenabaentodoel reino.Los
sumandosde estaexpresiónresponderían,enlanotaciónmatemáticaactual,ala función2x,para
el dominio
x = 1, 2, 3, ...,64.
EL interéscontinúo

13. El capital obtenidode lainversiónde uncapital inicial C0a un interéscompuestorennperiodos
anualessigue lafórmula:
C = C0 (1 + r / n)nt,siendotel tiempotranscurridodesde el iniciode lainversión.
Se llamainteréscontinuoaunainversiónde este tipoenlaque se consideraque losintervalosde
tiemposoncada vezmás pequeños,hastaque laacumulaciónde interesesesinstantánea.La
fórmuladel interéscontinuoesde tipoexponencial:
C = C0 · ert.
Desintegraciónradiactiva
Las sustanciasradiactivasse desintegranpaulatinamente transformándose enotrasclasesde
átomosy emitiendoenergíayradiacionesionizantes.Laleyde desintegraciónradiactivaesde tipo
exponencial decreciente,de maneraque si R0es lacantidadinicial de sustanciayk la constante de
desintegraciónasociadaal elementoquímico,lacantidadremanente al cabode un tiempotserá:
R = R0 × e-kt.
Crecimientodemografico
Las curvas de crecimientovegetativode unapoblación,establecidocomoladiferenciaentre
nacimientosymuertesparaunintervalode tiempodado,siguenunaleyexponencial.siendoP0la
poblacióninicial e i el índice de crecimientoanual entantoporuno, y se consideraunatasa de
crecimientocontinuo,lapoblaciónseguirálaley
exponencial:P= P0 × eit.