Este documento presenta un resumen sobre la integral de línea de un campo vectorial. Explica que la integral de línea evalúa una función sobre una curva, y que en cálculo vectorial existen tres teoremas importantes relacionados con integrales de línea y superficies. Luego, proporciona definiciones sobre integrales de línea, campos vectoriales y curvas regulares, y ofrece ejemplos para calcular el trabajo realizado por un campo vectorial al mover un objeto a lo largo de una curva.

1. 0
2015
CURSO: Calculo III.
TEMA:
INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO VECTORIAL
ALUMNO:
Barboza Navarro, Alexis.

2. 1
Índice
I. INTRODUCCIÓN:.......................................................................................................................... 2
II. RESUMEN:...................................................................................................................................2
III. OBJETIVOS:.............................................................................................................................. 3
III.1. OBJETIVO GENERAL.............................................................................................................. 3
III.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. ......................................................................................................3
IV. MARCO TEÓRICO:.................................................................................................................... 3
V. CONCLUSIONES:........................................................................................................................ 21
VI. RECOMENDACIONES:............................................................................................................. 21
VII. BIBLIOGRAFÍA:....................................................................................................................... 21

3. 2
I. INTRODUCCIÓN:
Tanto en la matemática como en el cálculo, un integral de línea o curvilínea es aquella
integral cuya función es evaluada sobre un curva. En el caso de un curva cerrada en
dos dimisiones o del plano complejo. En el cálculo vectorial existen tres teoremas
importantes que reciben sus nombres a tres matemáticos: El teorema de Green, el
cual es el tema principal de la sección; el teorema de la divergencia de Gauss y el
teorema de Stokes que trata sobre las integrales sobre las superficies. Las
aplicaciones de estos tres teoremas en física, química e ingeniería se estudian en los
cursos de estas disciplinas.
Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de
hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas,
entre otras.
II. RESUMEN:
En el presente informe se va a desarrollar ejercicios de integración lineal en campos
vectoriales, para lo cual hemos tenido conveniente investigar tanto las definiciones
básicas relacionadas con el tema anteriormente mencionado así como también
poder aplicarlas en problemas que pueden presentarse en la vida cotidiana como
también en las diversas ramas de la matemática como la física.
ABSTRAC
This report is to develop exercises linear integration vector fields, for which we have
been advisable to investigate both the basic definitions related to the topic above
mentioned as well as to apply them to problems that may arise in everyday life as
well as in the various branches of mathematics and physics.

4. 3
III. OBJETIVOS:
III.1. OBJETIVO GENERAL.
Explicar que es la integral de línea de campos vectoriales.
III.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Analizar algunos ejercicios.
Dar a conocer la importancia de la integral de línea de campos vectoriales dentro
de nuestras carreras y el curso de Calculo III.
CAPITULO I
IV. MARCO TEÓRICO:
INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL
Definición:
Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por
r(t), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. La integral de línea de F sobre C está dada por
∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹. 𝑇𝑑𝑠 = ∫ 𝐹(𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧( 𝑡)). 𝑟′( 𝑡) 𝑑𝑡.
𝑏
𝑎𝑐𝑐
INTEGRALES DE LÍNEA
Definición:
Es similar a la integral simple, pero con la diferencia de que en lugar de integrar en el
intervalo (a, b) se integra en la curva C. estas integrales se llaman integrales de línea o
integrales curvilíneas, estas fueron inventadas para solucionar problemas relacionados
con el flujo de fluidos electricidad y magnetismo, así mismo nos sirve para calcular la
longitud de una curva en el espacio.

5. 4

6. 5
CAMPO VECTORIAL.
Definición:
Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud
vectorial.
Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las
coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente
lineal. , en donde representa el espacio vectorial que hace las veces de
dominio y el espacio vectorial que actúa como rango.
El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la
función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres
variables independientes.
Sea F: IR3→ IR3 un campo vectorial continuo definido sobre los puntos de una curva C de
IR3 acotada y regular. Definimos la integral de línea del campo vectorial F a largo de la
curva C como la integral e línea sobre C del campo escalar F.T siendo T el vector tangente
unitario en cada punto C.
∫𝐹. 𝑇 𝑑𝒔
𝑐
Si la curva C viene parametrizada en la forma
C: (t0, t1)→IR3
T → r (t)= (x (t), y (t), z (t)
Tendremos las notaciones habituales:
∫ 𝐹. 𝑑𝒓 = ∫𝐹. 𝑇𝑑𝑠 = ∫ 𝐹(𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧( 𝑡)). 𝑟´( 𝑡) 𝑑𝑡.
𝑏
𝑎
𝑐𝑐

7. 6
CURVA REGULAR:
Definición:
Se denomina representación paramétrica regular de clase Cm (m ≥1) de una curva C a
toda aplicación suprayectiva
tal que r Є Cm(I) y r'(t) ≠ 0 para todo t Є I
Nota

8. 7
La condición r'(t) ≠ 0 equivale geométricamente al hecho de que exista la recta tangente
a la curva en el punto r(t0) que vendrá definida como
Cálculo de trabajo:
Para nuestro estudio, vamos a considerar la integral de línea de campos vectoriales,
y una de sus aplicaciones, que es el cálculo de trabajo. Primero vamos a definir la
integral de línea para un campo vectorial en R2, y luego se generalizará para R3.
Supóngase que F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j, representa un campo de fuerzas en R2
(en R3 este campo podría ser el campo gravitacional, o un campo electromagnético),
y sea C una curva suave definida por : r(t) = x(t)i +y(t)j para a  t  b.
Queremos calcular el trabajo que realiza el campo F, para mover un objeto sobre la
curva C, desde un punto a, hasta un punto b.
Vamos a dividir la curva c en pequeños segmentos, quedando determinados n
subintervalo.
Dentro del subintervalo [tk; tk+1] escogemos un punto interior ck (o punto muestra)
Figura 1:
Sobre la curva, el punto Pk es el
extremo del vector posición ktr y
Pk+1 es el extremo del vector
posición 1ktr .
ks es la longitud del segmento
de curva Pk Pk+1

9. 8
Rrecordemos que el trabajo está dado por W= F d si la fuerza está dirigida a lo largo
de la línea de movimiento del objeto. Si la fuerza es un vector que apunta en alguna
otra dirección debemos considerar W = F. D siendo D el vector desplazamiento.
El trabajo se define como el producto de la componente de la fuerza en la dirección
de D, por la distancia recorrida.
W = cosDF
El trabajo realizado por F para mover un objeto a lo largo del segmento de curva Pk
Pk+1 es: Wk = Fk . Tk sk
El trabajo realizado a lo largo de la curva (desde a hasta b) es aproximadamente:
W  
 
n
k
kkk sTF
1
Si consideramos un número mayor de segmentos en la partición, obtendremos una
mejor aproximación. Si el número de segmentos tiende a infinito o la norma de la
partición (longitud de sk) tiende a cero, las sumas se aproximan a la integral de línea,
el trabajo es:
W =  



n
k c
kkk
s
TdsFsTF
k
1
0
lim integral de línea sobre la curva c.
t = a
t =
b
Figura 2:
Fk es el vector de campo correspondiente a
un tiempo t = ck
Tk es el vector tangente unitario a la curva en
el punto ck.,
El producto escalar Fk Tk nos da la
componente del vector de campo en la
dirección del vector tangente enel punto t= ck.

10. 9
Forma de cálculo:
a) Forma vectorial:
La integral de línea, la resolvemos como una integral definida. Para ello debemos
parametrizar la curva c, para poder determinar los extremos de integración.
En el integrando tenemos un producto escalar donde F(x,y) = M(x,y) i+ N(x,y)j y el
vector tangente unitario sabemos que es: T = r(t) /  r(t) , en función vectorial vimos
también que:
r(t) = v(t) ,  r(t) =  v(t) (rapidez) como ds es un escalar, ds =  v(t) dt, en términos
del vector posición: ds =  r(t) dt
A las componentes del vector de campo las ponemos en función del parámetro t, es
decir:
x = x(t) e y = y(t) con lo que F es ahora F( rt )
Reemplazando: F T ds = dtrrFdtr
r
r
rF ttt
t
t
t )()()(
)(
)(
')('
'
)(   donde r(t) dt = dr
Para a  t  b nos queda:
    
c c
b
a
t dtrFdrFTdsF )(' “Forma vectorial de la integral de línea”
Ejemplo:
Calcular el trabajo que realiza el campo F (x, y) = x2 i + xy j para mover una partícula
desde el punto (0,0) al punto (1,1) sobre la curva c dada por r(t) = ti + t2j
De vector posición, obtenemos x e y en función de t:
Si r(t) = ti + t2j tenemos que: x(t) = t e y(t) = t2 reemplazando en F (x, y) nos
queda:

11. 10
F (x, y) = t2 i + t t2 j = t2i + t3j
Calculamos r(t) = i +2tj
Reemplazamos en la integral:
     
c
tt
dtttdttjijtitdrF
1
0
1
0
1
0
53
4232
15
11
5
2
3
2)2()(
Podemos cambiar la parametrización de la curva c, y el valor de la integral de línea
no cambia. No ocurre lo mismo si consideramos otra curva que una los puntos (0,0)
y (1,1)
Ejemplo: Si observamos la curva c, y = x2 dado que x = t e y = t2. Si queremos
hacer x = t si mantenemos la relación anterior sería r(t) = t i + t j
La curva que une los puntos sigue siendo y = x2.
Para esta nueva parametrización: F(x,y) = ti + t3/2j ; r(t) = ji
t

2
1
  15
11
5
2
3
1
2
1
2
1
1
0
2/52/3
1
0
2/32/1
1
0
2/3
  











 
c
ttdtttdtj
it
jttidrF
Para otra curva que una los mismos puntos el valor de la integral cambia.
Si unimos los puntos (0,0) y (1,1) con la curva dada por r(t) = ti + tj, y resolvemos el
ejemplo anterior, se puede comprobar que el valor de la integral de línea cambia y es
I = 2/3
b) Forma diferencial:
Otra forma de resolver la integral de línea es expresando el integrando en términos
de las variables x e y.
Hemos visto en función vectorial que r(t) = x(t)i + y(t)j, multiplicamos miembro a
miembro por dt:

12. 11
r(t) dt = x(t) dt i + y(t) dt j en forma diferencial nos queda: dr = dx i + dy j si
reemplazamos en la integral:
     
c c c c
NdyMdxdyjdxiNjMidrFTdsF )()( “Forma diferencial de la
integral”

13. 12
EJERCICIOS:
Ejercicio 1:
Evaluar ∫ 𝑭. 𝒅𝒓𝑪
, donde F (x, y, z) = (y, 2x, y), y la trayectoria C está
Definida por h :[0,1]→R3 / h(t ) = (t,t2 ,t3 ) .
Ilustración 1Trayectoria descrita de la curva C.
Solución
Al escribir la integral de línea en la forma cartesiana que definida como de la siguiente
manera ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝐶𝐶
, como ya se conoce una parametrización de la
curva C, dada por la función vectorial h: [0,1] →ℜ3 / h (t) = (t, t2, t3), que la sustituirla en
la integral de línea queda la integral definida en términos del parámetro t como se
muestra a continuación.
𝐼 = ∫ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧). 𝑑𝑟
𝐶
= ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧
𝐶
= ∫ [𝑡2(1) + 2𝑡(2𝑡) + 𝑡2
(3𝑡2
)]𝑑𝑡
1
0
= ∫ [𝑡2
+ 4𝑡2
+ 3𝑡4
]𝑑𝑡
1
0
= [
1
3
𝑡3
+
4
3
𝑡3
+
3
5
𝑡5
] /0 − 1
=
34
15

14. 13
Ejercicio 2:
Sea F (x, y, z) = ( y3 + 2xy, x2 ) , determine la integral de F a lo largo del perímetro del
cuadrado unidad con vértices en los puntos (−1,−1), (1,−1) (1,1) y (−1,1) , recorrida en
sentido positivo.
Ilustración 2curva C.
Solución.
En este caso se tiene una trayectoria cerrada, por lo que al aplicar las propiedades de
la integral de línea se obtiene la siguiente expresión.
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝐶
∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐1
+ ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐2
+ ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐3
+ ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐4
En donde las curvas C1, C2, C3 y C4, son las rectas.
Una parametrización para cada una de las curvas.
PARA C1:
g1: [-1,1] →R2 / g (t)= (1, t).
PARA C2:
g1: [1,-1] →R2 / g (t)= (1, t).
PARA C3:
g1: [1,-1] →R2 / g (t)= (-1,t).

15. 14
PARA C4:
g1: [-1,1] →R2 / g (t)= (t,-1).
De donde la integral de línea de la curva C vendria dada por.
∮ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝐶
∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐1
+ ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐2
+ ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐3
+ ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑐4
= ∫ 𝐹1𝑑𝑥 + 𝐹2𝑑𝑦
𝑐1
+ ∫ 𝐹1𝑑𝑥 + 𝐹2𝑑𝑦
𝑐2
+ ∫ 𝐹1𝑑𝑥 + 𝐹2𝑑𝑦
𝑐3
+ ∫ 𝐹1𝑑𝑥 +
𝑐4
𝐹2𝑑𝑦
= ∫ 𝑥2
𝑑𝑦
𝑐1
+ ∫ (𝑦3
+ 2𝑥𝑦)𝑑𝑥
𝑐2
+ ∫ 𝑥2
𝑑𝑦
𝑐3
+ ∫ (𝑦3
+ 2𝑥𝑦)𝑑𝑥
𝑐4
= ∫ (1)2
(1)𝑑𝑡
1
−1
+ ∫ ((1)3
+ 2𝑡(1))(1)𝑑𝑡
−1
1
+ ∫ (−1)2
(1)𝑑𝑡
−1
1
+ ∫ ((1)3
+ 2𝑡(1))(1)𝑑𝑡
1
−1
= 0
Ejercicio 3:
Si F(x,y, z)
1
2
𝑥𝑖 − 𝑦2
𝑗 +
𝑧
4
𝑘 determine el trabajo realizado por el campo de fuerzas al
mover un objeto a lo largo de la trayectoria helicoidal r(t) = cos ti + sentj + tk, con t
E(0,π).
Por definición y concepto físico de trabajo tenemos:
W=∫ 𝑓. 𝑑𝑟 = ∫( 𝑓. 𝑟)( 𝑡). 𝑟"( 𝑡) 𝑑𝑡
∫
1
2
π
0
cos( 𝑡) , −𝑠𝑒𝑛2 ( 𝑡),
𝑡
4
).(−𝑠𝑒𝑛( 𝑡), cos( 𝑡) ,1)𝑑𝑡
Haciendo el producto escalar nos quedaría así:
∫ −(
1
2
π
0
cos( 𝑡) 𝑠𝑒𝑛2( 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛2( 𝑡) cos( 𝑡) +
𝑡
4
)𝑑𝑡
Ahora multiplico por 2 y divido por 2:
∫ −(
1
4
π
0
sen(2𝑡) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝑡)
π
0
𝑑𝑠𝑒𝑛( 𝑡)) + ∫
𝑡
4
π
0
𝑑𝑡

16. 15
=
𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
8
𝑑𝑒 0 𝑎 𝜋 −
𝑠𝑒𝑛3
3
(t) de 0 a 𝜋+
𝑡2
8
𝑑𝑒 0 𝑎 𝜋
=
1
8
(cos(2𝜋) − cos(0) −
1
3
𝑠𝑒𝑛3( 𝜋) − 𝑠𝑒𝑛3 (0))+
1
8
(𝜋2
− (0)
=
1
8
(1-1)-
1
3
(0-0) +
𝜋2
8
Por lo tanto la respuesta es:
𝜋2
8
Ejercicio 4:
Evaluar la integral de línea de ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 +
𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 (2,0,0) 𝑎 (3,4,5) 𝑦 𝑝𝑜𝑟 (3,4,5) 𝑎 (3,4,0)
r(t) = (1-t) r0 +t r1 0≤t≤1
r(t)= (1-t) (2,0,0)+ 𝑡(3,4,5)
(2-t,4t,5t)
∫(4𝑡) 𝑑𝑡 + (5𝑡)4𝑑𝑡 + (2 + 𝑡)5𝑑𝑡
∫ 4𝑡 + 20𝑡 + 10 + 5𝑡 =
1
0
∫ (29𝑡 + 10)𝑑𝑡
1
0
=
29𝑡2
2
+ 10𝑡 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑦 1
=
29
2
+ 10 = 24.5
 Para la segunda parte:
 r(t)= (1-t) (3,4,5)+ 𝑡(3,4,0)
Representación paramétrica para x,y,z.
(3, 4,5-5t)
∫(4.0 + 5 − 5𝑡)0 + (3)(−5𝑑𝑡)
∫ 15𝑑𝑡 = −15𝑡 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑦 1
1
0
=-15
Ahora debemos sumarlo:

17. 16
=24.5-15=9.5

18. 17
Ejercicio 5:
Calcule la integral del campo vectorial F (x, y) = (x2 − 2xy)i + (y2 − 2xy) j,a lo largo
de la parábola y = x2 desde (−1, 1) a (1, 1).
La integral curvilínea del campo F a lo largo de la parábola es
Siendo α una parametrización de dicha parábola. Hacemos x = t, y = t2 para
obtener la parametrización:

19. 18
Ejercicio 6:
La fuerza en un punto (x,y,z) esta dad por F(x,y,z) = (y,z,x). Calcule el trabajo realizado
por F(x,y,z) sobre una partícula que describe la trayectoria dada por la curva C [0,2] →
𝑅3
𝑓( 𝑡) = (𝑡, 𝑡2
, 𝑡3
).
El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral de línea ∫ 𝐹
6
𝐶
. 𝑑𝑟, como ya
se conoce la parametrizacion de la curva C, que describe la trayectoria de la partícula,
se obtiene
Ejercicio 7:
Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = −
1
2
𝑖 −
1
2
𝑗 +
1
4
𝑘 sobre una
partícula que se mueve por la hélice de ecuación 𝑟( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘 desde el
punto (1,0,0) hasta el punto (−1,0,3𝜋).
1° necesitamos ver el parámetro de variación. Como podemos ver t en la componente z
está sola entonces los parámetro que podemos obtener son de 0 a 3𝜋.
0 ≤ 𝑡 ≤ 3𝜋
Como necesitamos calcular ∫ 𝑓 . 𝑑𝑟 necesitamos calcular 𝑑𝑟 para saber esto
necesitamos saber quién es 𝑟̇ y para esto derivamos:
𝑟 ( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘
Con respecto a t.

20. 19
𝑟⃑(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛( 𝑡) 𝑖 + cos( 𝑡) 𝑗 + 𝑘
Luego necesitamos aplicarle al campo de fuerza la ecuación vectorial.
𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = −
1
2
𝑖 −
1
2
𝑗 +
1
4
𝑘
𝑟( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘
Reemplazando quedaría.
𝐹⃑(𝑟( 𝑡)) = −
1
2
cos( 𝑡) 𝑖 −
1
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑡) 𝑗 +
1
4
𝑘
Ahora tenemos que aplicar el producto punto de:
(𝐹⃑(𝑟( 𝑡)) = −
1
2
cos( 𝑡) 𝑖 −
1
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑡) 𝑗 +
1
4
𝑘) . 𝑟⃑(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛( 𝑡) 𝑖 + cos( 𝑡) 𝑗 + 𝑘
Lo cual nos quedaría:
𝐹⃑(𝑟( 𝑡)). 𝑟⃑( 𝑡) =
1
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑡) cos( 𝑡) −
1
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑡)cos( 𝑡) +
1
4
Haciendo esto ya podemos elaborar la integral la cual seria.
∫
1
4
3𝜋
0
𝑑𝑡
= ∫
1
4
3𝜋
0
𝑡
=
3𝜋
4
Ejercicio 8:
Dado el campo vectorial 𝐹( 𝑥, 𝑦) = (3𝑋2
+ 2𝑦 − 𝑦2
𝑒 𝑥) 𝑖 + (2𝑥 − 2𝑦𝑒 𝑥) 𝑗. Es posible afirmar
que ∫ 𝐹. 𝑑𝑟𝑐
es nula si C, definida por R(t) es una curva simple cerrada

21. 20
Ejercicio 9:
Sea F(x,y,x) = yz(2x+y)i + xz (x + 2y)j + xy(x + y)kDemuestre que F es un
campo conservativo
Ejercicio 10:

22. 21
Sea f= f(x,y,z) un campo escalar y 𝐹⃗ es un campo vectorial dado por 𝐹⃗ = 𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑖 +
𝑞( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑗 + 𝑟( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘. Suponga que existen las derivadas parciales y que estas son
continuas. Demuestre que: 𝑑𝑖𝑣(𝑓𝐹⃗) = 𝑓𝑑𝑖𝑣 𝐹⃗ + ∇𝑓 𝑓⃗
𝐹⃗ = 𝑝( 𝑥, 𝑦, 𝑥) 𝑖 + 𝑞( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑗 + 𝑅( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑘; 𝑓 = 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑑𝑖𝑣 (𝑓𝐹⃗) = 𝑑𝑖𝑣(𝑓𝑃𝑖 + 𝑓𝑄𝑗 + 𝑓𝑅𝑘
𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑑𝑖𝑣(𝑓𝐹⃗) =
𝑑(𝑓𝑃)
𝑑𝑥
+
𝑑(𝑓𝑄)
𝑑𝑦
+
𝑑(𝑓𝑅)
𝑑𝑧
V. CONCLUSIONES:
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la
parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el
sentido del recorrido de la curva.
En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios,
las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos
y signos contrarios.
VI. RECOMENDACIONES:
Se recomienda tener en cuenta que para desarrollar problemas de integración de
línea en un capo vectorial es necesario saber las definiciones de que es una
integral de línea sobre campos vectoriales así como también saber las
definiciones de campo vectorial e integración lineal para que el desarrollo de
problemas sean resueltos con mayor facilidad y evitar contratiempos.
VII. BIBLIOGRAFÍA:

23. 22
Bautista, C. (20 de Julio de 2007). www.ing.uc.edu.ve. Obtenido de
www.ing.uc.edu.ve:
http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_lin_intlincv.pdf
Hosteilon, L. (2009). calculo. Mexico: libreria-universitaria.blogspot.
Paredes, M. (20 de enero de 2008). wikipedia. Obtenido de wipipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea
Stewart, J. (2008). Calculo. Colombia: club universitario.