Líneas de influencia en estructuras

Líneas de Influencia
Propiedadesde líneas de Influencia
Valor Máximo de las acciones
Aplicación a vigas y armadurasisostáticas
Líneasde influencia en estructuras hiperestáticas
Principio de Maller-Breslau
DEFINICIÓN
En la mayor parte de las estructuras las cargas exteriores actuantes tienen un único punto de
aplicación fijo. Sin embargo hay también muchos casos en los que el punto de aplicación de alguna
fuerza puede variar a lo largo de la estructura: por ejemplo un puente recorrido por un vehículo, o
una viga carril sobre la que apoya una grúa. En estos casos los esfuerzos y deformaciones en la
estructura dependen de la posición que ocupa la carga, y en particular el valor máximo de cada uno
de ellos se produce en una cierta posición, en principio desconocida, de la carga. Al ser las cargas
móviles se requiere por lo tanto un análisis más complejo que en el caso de cargas fijas, y para ello
se utilizan las líneas de influencia.
Se define la línea de influencia de un esfuerzo o de una deformación como la función que
proporciona la variación de dicho esfuerzo o deformación, para las distintas posiciones de la carga
móvil a lo largo de la estructura, y para un valor unitario de dicha carga. Por lo tanto hay una línea de
influencia para cada esfuerzo o deformación de la estructura, y para cada carga móvil distinta que
actúe sobre ella. Todas las líneas de influencia se expresan en función de algún parámetro que
define la posición de la carga móvil en su trayectoria.
Ejemplo. Considérese una viga biapoyada con una carga vertical móvil F.
El valor de la reacción en A, es R=F(L-Z)/L
La línea de influencia de la reacción en A es la función que define el valor de dicha reacción para un
valor unitario de la fuerza móvil. Representa, para una abscisa determinada, el valor de la reacción R
, al aplicar la carga unitaria en dicha abscisa.
LI(RAA)=1-Z/L
Por medio del estudio de las líneas de influencia se puede determinar cual es la posición más
desfavorable de la carga para el esfuerzo o la deformación estudiados, asícomo dicho valor
máximo.
Los primerosestudiossobrelíneasde influenciaparaesfuerzosse debena Winkler en 1868,quien
z
F
A B A B
LI(R )A
1

posteriormentelasaplicóal diseñodepuentesen1872. Al mismotiempo Mohrpresentóen1868el concepto
de líneade influenciadeunadeformación,como resultadodesusestudiossobrela deformadaelásticade
unaviga.
Los supuestosbásicosquese empleanparaestudiarlaslíneasde influenciason:
 Estructuraconmaterialelásticoylineal,conloquees aplicableelprincipiode superposición.
 Unasola fuerza móvilde módulounidad.Estesupuestose introducepara facilitarelestudioinicial,
peromás adelanteseestudianotros tipos de cargas.
 La cargaesmóvil sobreuna trayectoriaquese suponeenprincipiorecta,pero másadelanteseverá
quepuedeser de formacualquiera.
 La cargamóvilmantienesiemprelamismadirecciónysentidode aplicación,es decirquese traslada
paralelamenteasí mismayno gira. Másadelantese verá que esta condicióntampocoes
indispensable.
LÍNEASDE INFLUENCIAENVIGASISOSTÁTICAS
En las vigas estáticamente determinadas, es posible calcular cualquier esfuerzo interno de la misma,
utilizando nada más que las ecuaciones de equilibrio estático, por lo que éstas son suficientes para
hallar cualquier línea de influencia.
El proceso de cálculo suele consistir en determinar inicialmente las líneas de influencia de las
reacciones en los apoyos, y posteriormente las de los esfuerzos internos, que se calculan con más
facilidad cuando se conocen las reacciones.
Ejemplo. Sea una viga con dos apoyos y un voladizo, recorrida por una carga unitaria vertical, como
se indica en la figura.
 La línea de influencia de la reacción en A, supuesta positiva hacia
arriba, se obtiene tomando momentos respecto de B
z
2 m 10 m
A B
C
1

 La línea de influencia de la reacción en B, supuesta asimismo positiva hacia arriba, se
obtiene del equilibrio vertical del conjunto.
 Para hallar la línea de influencia del cortante en C se aísla el tramo izquierdo o derecho de
la viga, según interese.
Si la carga está a la
izquierda de C, se
aísla
Para el momento
flector en C se aplica la misma técnica

R
z
A

12
10
A
B
6/5 1
LI(R )A
R R z
B A
   1 2
10
A
B
-1/5
1
LI(R )B
tramo derecho de la viga.
Q R
z
zC B  

  
2
10
0 7
Si la carga está a la derecha de C, se aísla el
tramo izquierdo de la viga.
Q R
z
zC A   

  
12
10
7 12
A
B
-1/5
1/2
LI(Q )C
-1/2
C
Si la carga está a la izquierda de C, se aísla el
tramo derecho.
M R
z
zC B  

  5
2
2
0 7
Si la carga está a la derecha de C, se aísla el
tramo izquierdo.
MRL
z
zC A  

  
12
2
7 12
A
B
-1
5/2
LI(M )C
C

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN CELOSÍAS ISOSTÁTICAS
En este caso las líneas de influencia no son continuas, ya que las cargas sólo pueden estar situadas
en los nudos. Como las diversas barras están desconectadas a flexión unas de otras, y su
comportamiento es lineal, ocurre que la línea de influencia cuando la carga móvil está entre dos
nudos es también lineal. Por tanto es suficiente con hallar la línea de influencia para la carga
aplicada en los distintos nudos de su trayectoria, y unir los valores discretos obtenidos mediante
líneas rectas. De esta forma se obtiene una línea quebrada que es la línea de influencia buscada.
Ejemplo. En la celosía de la figura la carga unitaria se mueve en el cordón inferior.





Las líneas de influencia de las reacciones se calculan aplicando el equilibrio de todo el conjunto
Para determinar el esfuerzo en el tirante vertical BH se considera el equilibrio vertical del nudo H: el
elemento BH está sometido a un esfuerzo unidad cuando la fuerza está justo en H, y tiene un
esfuerzo nulo cuando la fuerza está en otros nudos.
Para la diagonal AB, el equilibrio vertical del nudo A indica que NR
NR AB=- √2
La línea de influencia del esfuerzo en AB es igual a la de la reacción en A pero cambiada de escala.
Sin embargo, hay que notar que cuando la carga está en A el esfuerzo en AB es nulo, por lo que la
línea de influencia en el tramo AH es distinta y llega a cero en el punto A.
A
BCD
EF
G
H
J K
L M
1z
6 L
L
R
z
L
R
z
L
A G   1
6 6
1
A H J K L M G
RA
5/6
4/6 3/6
2/6
1/6
1
A H J K L M G
RG
5/6
4/63/6
2/6
1/6
1
A HJ K L M G
N BH



Para el elemento AH, el equilibrio horizontal del nudo A indica que:
El esfuerzo en este elemento varía de la misma forma que la reacción en A. Pero, al igual que en el
caso anterior, si la carga está justo en A el esfuerzo en AH es nulo, por lo que su línea de influencia
cae hasta cero en el tramo AH.
Para ladiagonalCKes ventajoso usar el método
de lassecciones,efectuandouncorte comoseindicaenlafigurasiguiente.
Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derecha
Si la cargaestáentre K y G se aíslala parte izquierda
Si la carga está en el tramo JK,
La línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K. La figura siguiente muestra
el resultado.
Para el montante CJ se aplica el método de las secciones con un corte como el indicado en la figura
siguiente, y se aísla el trozo de estructura que interese en cada caso.
A H J KLM G
NAB
_¸ __ _
N N RAH AB A   / 2
A HJ K L M G
NAH
_¸ __ _
A
BCD E F
G
H J
K L M
1
N RCK G   2
N RCK A 2
A J
KLM G
NCK
_¸ __ _
_¸ __ _
H
¸_RA
_¸ _RG

Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda
Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y
K
Para el cordón inferior JK se aplica el método de las secciones con el mismo corte anterior, y se
toma momentos respecto al punto C, a fin de que aparezca sólo el esfuerzo en JK.
Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda
Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos
en J y K.
EMPLEO DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
El Principio de los Trabajos Virtuales brinda un método muy interesante para la determinación de
líneas de influencia en estructuras isostáticas. Si en una estructura isostática se elimina el esfuerzo
cuya línea de influencia se desea hallar, la estructura se convierte en un mecanismo, con lo cual
puede tener movimientos de sólido rígido, que se producen sin acumulación de energía elástica. De
acuerdo con el
Principio de los Trabajos Virtuales se cumple que el trabajo virtual de todas las fuerzas que actúan
sobre la estructura es nulo, al no acumularse energía elástica:
W=U=0 (1.1)
A
B C D E F
G
H J
K L M
1
N RCJ G
N RCJ A
A H J
KLM G
NCJ
3/6
2/6
N RJK G4
N RJK A2
A HJ K L M G
NJK
8/6

Sobre la estructura, transformada en mecanismo, actúan las siguientes fuerzas:
 la fuerza unitaria móvil,
 el esfuerzo cuya línea de influencia se desea hallar, llamado genéricamente E, y
 las reacciones en los apoyos,que no producen trabajo virtual.
Si se aplica sobre la estructura un desplazamiento virtual en la dirección delesfuerzo E cuya línea
de influencia se busca, la estructura adopta una configuración deformada como sólido rígido. En esta
configuración deformada se denomina E al desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo
buscado Y i al desplazamiento en la dirección de la fuerza unitaria móvil. El trabajo virtual producido
por ambas fuerzas es:
W=.E+.1 (2)
De donde se calcula el valor de la línea de influencia:
E=-I/E (3)
Si se elige el desplazamiento virtual de tal manera que valga la unidad (E=1) Se obtiene:
E=-I (4)
Esta expresión indica que la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera en una estructura
isostática es igual a la deformada - cambiada de signo - que adopta la trayectoria de la carga móvil,
cuando se aplica un desplazamiento virtual unitario en la dirección del esfuerzo.
Esta deducción es general, sea cual sea el tipo de esfuerzo.Para reacciones,el desplazamiento
virtual unitario se impone en la dirección supuesta para la reacción. Para esfuerzos internos, se debe
imponer un desplazamiento virtual unitario relativo entre las dos caras donde actúa el esfuerzo
interno. Además debe tenerse cuidado de que al imponerse esta deformación relativa unitaria se
mantengan constantes las demás deformaciones, de tal forma que los otros esfuerzos existentes en
la sección no produzcan trabajo virtual.
Es importante hacer notar que al haberse obtenido la línea de influencia como una deformada, el
signo del esfuerzo E debe interpretarse como positivo cuando la fuerza móvil actúa en la dirección
de la deformada y negativo cuando actúa en sentido contrario.
Aunque aquí se ha presentado como una mera utilización del Principio de los Trabajos Virtuales,
este método fue presentado por Müller-Breslau en 1887, conjuntamente con su método para el
cálculo de líneas de influencia en estructuras hiperestáticas, que se explica más adelante.
Ejemplo. En una viga simplemente apoyada, la línea de influencia de la reacción en A se obtiene
desplazando hacia arriba una unidad el apoyo A y calculando la deformada de la estructura, que gira
como un sólido rígido alrededor de B.
G
A
B

Para el esfuerzo cortante en C, punto medio de AB, se aplica un movimiento vertical relativo de valor
unidad entre ambas caras, manteniendo el mismo giro en ambas. Con ello el momento flector en C
no produce trabajo virtual.
.

Para el momento flector en C se impone un giro relativo unitario entre ambas caras, manteniendo la
flecha continua entre ellas, a fin de que el cortante no produzca trabajo virtual.
OTROS TIPOS DE CARGAS MÓVILES
El concepto de línea de influencia ha sido presentado como la variación de una magnitud cualquiera
de la estructura cuando una carga unitaria móvil se mueve sobre ella. En la realidad son muy pocos
los casos en los que la carga móvil es una única y de módulo unidad: lo habitual es que se trate de
conjuntos de cargas móviles situadas a distancias fijas unas de otras y con módulos diferentes (por
ejemplo las cargas debidas a un vehículo).
También puede ocurrir que sobre una viga muy larga actúen varias cargas puntuales situadas muy
próximas unas a otras, que se pueden representar como una carga distribuida (por ejemplo las
cargas debidas a un tren sobre un puente muy largo). Se hace por lo tanto necesario aplicar el
concepto de línea de influencia a estas otras situaciones.
Al haberse supuesto comportamiento lineal, se cumple que la línea de influencia debida a un sistema
de cargas cualquiera es igual a la suma de las líneas de influencia de cada una de las cargas. A su
vez cada una de éstas es igual a la línea de influencia debida a la carga unidad, multiplicada por el
valor real de la carga. Esta consideración general se puedeexpresardeformaanalíticadistintasegún
sea el tipo de carga.
Trenes de cargas puntuales
Sea un conjunto de N cargas puntuales p1 situadas a unas distancias d a la primera de ellas (con
d1=0) y sea LI(z) la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera E, calculada para una carga
unitaria, y que se denomina línea de influencia básica. Para situar el tren de cargas en la viga se
emplea la coordenada de posición de la primera carga z, por lo que las restantes cargas están
situadas en unas posiciones Z=Z-D I=N-1.
1/2Q =-G=1/2GCi
GCd=1/2
C I
A B
-1/2
1/2 rad1/2 rad
M =-C GI
A B1/2

El valor del esfuerzo E en una posición cualquiera del tren de carga es
Esta expresión indica que el valor delesfuerzo E debido al tren de cargas
se calcula sencillamente sumando el valor que tiene la línea de influencia z1
básica en la posición de cada carga, multiplicado por el valor de la carga z2
correspondiente, con su signo. Z3
La expresión analítica de la línea de influencia correspondiente al tren de cargas se obtiene
sumando, para cada carga, la línea de influencia básica, trasladada en la separación de dicha carga
respecto de la primera (z-d ) y multiplicada por el valor de la carga P .
En realidad la principal aplicación práctica de las líneas de influencia es la determinación de los
valores máximos de los esfuerzos,por lo que raras veces se recurre a obtener la expresión analítica
completa de la línea de influencia del tren de cargas. Para la determinación de los valores máximos
de los esfuerzos se parte de la línea de influencia básica para una carga unidad y se determinan, por
inspección, las posiciones críticas que puede adoptar el tren de cargas alrededor de cada punto
máximo de dicha línea de influencia básica, teniendo en cuenta el módulo y la dirección de las
cargas.
Cargas distribuida
El caso de una carga distribuida móvil es similar al de un tren de cargas puntuales, pero
considerando que las cargas están infinitamente próximas. Sea una carga distribuida móvil
de módulo q(x), actuando sobre una zona de la viga de longitud d. La posición de esta carga en la
viga se define mediante la coordenada z de su extremo izquierdo.
El valor del esfuerzo E, en una posición
Cualquiera z de la carga móvil es:
E=∫zi+d
zi q(x) LI (x) dx
Es decir que el valor del esfuerzo E, para una posición determinada de la carga móvil, es igual al
área situada bajo la curva que se obtiene al multiplicar la línea de influencia básica por la carga
distribuida. Al igual que para el caso de fuerzas puntuales, lo habitual es utilizar este resultado para
el cálculo de los valores máximos de los esfuerzos,determinando por inspección la situación pésima
de la carga móvil.
PPE P LI z P LI z di i
i N
i i
i N

  
  ( ) ( )
, , 1 1
P
LI(z)
LI(z)
zi
q
d

TEOREMADEMÜLLER-BRESLAU
Se considera una estructura elástica lineal cualquiera sobre la que actúa una fuerza unitaria
móvil Sea I un punto cualquiera de aplicación de dicha fuerza móvil dentro de su trayectoria. Se
quiere calcular la línea de influencia de la reacción en uno de los apoyos y en una determinada
dirección, que se denomina R
 Se aplica el método de flexibilidad,de la forma siguiente:
 Se considera la reacción RB como incógnita hiperestática.
 Se elimina la restricción originada por la reacción RB. Se obtiene asíuna estructura que es
hiperestática de grado h-1, sobre la que actúa la fuerza unitaria móvil. Esta estructura se
denomina caso I .Se calcula la deformación que aparece en este caso en la dirección de la
reacción:
Se aplica sobre la estructura una fuerza unitaria en la dirección de la reacción RB , con lo que se
genera un caso denominado B en el que se calculan las siguientes deformaciones:
 Deformación en el punto B en la dirección de la reacción, debida al valor unitario de la propia
reacción R :B ΔBB
 Deformación en el punto I en la dirección de la carga móvil, debida al valor unitariode R
:BΔI
B
 Se aplicala ecuaciónde compatibilidadde deformaciones:
B 1
I
B RB
B
I
.
I
B ' B
,
1Caso I
.
I
' B
B
' I
RB=1
Caso B
B


B B B B
I B
+R =0

Que permite calcular la reacción:
RB= -ΔB
I/ΔB
B
Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple ΔBI= ΔBI, por lo
Que el valor de la reacción buscada es:
RB=-ΔB
I
/ΔB
B
(1)
El numerador de esta expresión representa la deformación del punto I, donde está la carga móvil, en
la dirección de dicha carga, al aplicarse una fuerza unitaria RB=1 denominador es la deformación del
propio punto B al aplicar la RB=1
Esta expresión es válida para cualquier punto I, por lo tanto, pensando que Ies un punto cualquiera
de la trayectoria, representa la línea de influencia del esfuerzo buscado R.
La ecuación (1) representa el Teorema de Müller-Breslau, que puede enunciarse en la forma
siguiente:
La línea de influencia de la reacción en un apoyo de una estructura elástica lineal es igual al
cociente, cambiado de signo, de la deformación en la dirección de la fuerza móvil, dividida por la
deformación en el punto de aplicación de la reacción, ambas obtenidas para un valor unitario de la
reacción.
Es importante recordar que el numerador no es la deformación absoluta del punto I, sino su
deformación medida (es decir proyectada) según la dirección de la carga móvil.
Normalmente ambas direcciones no coincidirán. Si la trayectoria de la carga móvil pasa por B, es
decir que en alguna posición el punto Icoincide con el B, y la dirección de la carga móvil coincide
con la de R , ocurre que:
RB= -ΔBB/ ΔBB=-1 (2)
Esto quiere decir que en este caso toda la fuerza móvil es absorbida por la reacción, y el resto de la
estructura está descargada.
Si en la ecuación (1) se sustituye ΔBB=1 Se obtiene
RB=-ΔI ΔB-1 (3)
Lo cual permite enunciar el teorema de Müller-Breslau de otra forma distinta:
La línea de influencia de una reacción es igual a la deformación, cambiada de signo, de los puntos
de aplicación de la carga móvil en la dirección de dicha carga móvil, cuando se impone una
deformación unidad en la dirección de la reacción.
I
' B
B
R =B
Caso Real
_' I
B
1
I
' B
B
' I
1
Caso B
B
Figura 10.6

El teorema de Müller-Breslau es una manera muy elegante de plantear el cálculo de líneas de
influencia, pues transforma el cálculo de un esfuerzo en un cálculo de deformaciones.
Resulta por lo tanto de gran interés cuando se dispone de un método que facilita el cálculo de
deformaciones, como por ejemplo el método de rigidez.
Aplicación a momentos flectores
El teorema de Müller-Breslau está enunciado para reacciones, pero puede aplicarse a cualquier otro
tipo de esfuerzo. Para el caso de un momento flector el proceso es el siguiente:
 Se considera el momento flector M B como incógnita hiperestática. Se elimina de la
estructura introduciendo una articulación en su lugar, y se obtiene asíuna estructura
hiperestática de grado h-1, sobre la que sólo actúa la fuerza unitaria móvil. Esta estructura
se denomina caso I(figura 10.7).
Se calculan los giros que aparecen en el caso I, en el punto B por la izquierda y por la derecha, en la
dirección de las dos componentes del momento flector:θBI
I
θI
BD








Se aplicasobrelaestructuraun momentoflectorunitarioenelpuntoB (figura 10.8), conloque se generaun
casodenominadoB,en el quese calculanlas deformacionessiguientes:
Girosen B por la izquierday la derecha,enla direccióndelasdoscomponentes
delmomentoflector:
Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:ΔIB
Se aplica la ecuación de compatibilidad de deformaciones en el punto B,
ΘBI=-θBD
ΘI
BD+MBθIB
B = -θI
BD-MBθB
BD
ITBi
,
1Caso I
TBd
,
Figura 10.7
  Bi
B
Bd
B
.
I
BCaso B
M =1B
TBi
B
TBd
B
' ,
Figura 10.8

Que permite calcular el momento flector:
MB= -(θI
BI+θI
BD)/θB
BI+θB
BD
Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell generalizado se cumple que
ΘiBI +ΘDdiΔBi
El valordel momentoflectorbuscadoes:
MB=-ΔI
B
/θBI
B
+θBD
B
El numeradorde estaexpresiónrepresentaladeformacióndel puntoIdonde estálacarga móvil,y
el denominadoreslasumade losdos girosenla direcciónde lasdoscomponentes del momento,
todosellosobtenidosal aplicarse unmomentounitarioMB=1
Se obtiene de estamaneraunaexpresiónmuysimilaralaobtenidaparalas reacciones,con la
únicadiferenciade que enel denominadoraparece lasumade losdos giros enla direcciónde las
dos componentesdelmomento.
Aplicación a esfuerzoscortantes
Siguiendounprocesosimilaral de losmomentosflectoresse llegaala siguienteexpresión de la
líneade influenciaparaun esfuerzocortante (figura10.9):
siendo:
DesplazamientosenBporla izquierdayladerecha,enla direcciónde lasdos componentesdel
esfuerzocortante:

DeformaciónenIen la direcciónde lacarga unitariamóvil:
Aplicación a esfuerzosaxiales
Siguiendounprocesosimilaral de losmomentosflectoresse llegaa la siguienteexpresión de la
líneade influenciaparaunesfuerzoaxial (figura10.10):
QB
I
B
Bi
B
Bd
B



  
(10.17)
.
B

I
.
I
Caso B
Q =1B
' Bd
B
' ,
' Bi
B
B
Figura 10.9
  Bi
B
Bd
B

siendo:
Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos
componentes del esfuerzo axial:
Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:
Generalización
En ninguna de las deducciones anteriores se ha empleado la suposición inicial de que la
trayectoria es recta, ni que la carga móvil tiene dirección y sentido fijos, como se había
supuesto inicialmente. Por lo tanto todo lo deducido hasta ahora es válido sea cual sea la trayectoria
en la que se mueve la carga, y sea cual sea su dirección y sentido. Las expresiones de las líneas de
influencia obtenidas son por lo tanto válidas para cualquier trayectoria, incluso curva, así como para
fuerzas de orientación cambiante.
Las expresiones anteriores son también válidas cuando la carga móvil no es una fuerza sino un
momento unitario. En este caso la deformación ΔBI se debe considerar como el giro según la
dirección del momento móvil θBILas expresiones del denominador son las mismas.
Todas las deducciones anteriores pueden englobarse en una descripción más general del teorema
de Müller-Breslau: si se aplica en la dirección del esfuerzo cuya línea de influencia se busca, una
fuerza tal que la deformación en dicha dirección valga la unidad
(ΔB
BI+ΔB
BD), ocurre que:
La deformada Δ B i de la estructura que se obtiene,cambiada de signo, representa todas las líneas
de influencia de dicho esfuerzo para cargas aplicadas en cualquier punto y dirección.
Si se toma un punto cualquiera (el punto I), y se determina su posición deformada, la proyección de
esta deformación sobre una dirección cualquiera es el valor de la línea de influencia para una carga
unitaria que actúa según dicha dirección.
DISCUSIÓNSOBREEL TEOREMADEMÜLLER-BRESLAU
Se consideraunaestructura con grado de hiperestaticidadh,sometidaalafuerzaunitaria móvil y
se planteael cálculode la líneade influenciade unesfuerzointeriorcualquiera.Se
NB
I
B
Bi
B
Bd
B




  
(10.18)
  Bi
B
Bd
B
.
I
B
.
' ,
I
B
Caso B
NB=1
' Bd
B
' Bi
B
Figura 10.10

Emplea paraelloelmétodode flexibilidadensuformageneral,considerandolasenergías deesfuerzo axialy
de flexión.Se eligecomoúnicaincógnitahiperestáticaelesfuerzocuya líneade influenciase busca:X . Se
obtieneasí una estructuradegradoh-1, y en ellase planteandoscasos.
CasoI
CasoII
 Caso II
Que es la expresión de la línea de influencia buscada. Nótese que sólo el numerador es función de z
(a través de los esfuerzos del caso I) y que el denominador es constante.
En él sólo actúa la fuerza unitaria móvil
(figura 10.11). Los esfuerzos que aparecen
son función de la posición de la carga z y se
denominan: Nz M z
I I
( ), ( ) z 1
I
Figura 10.11
Se aplica un valor unitario del esfuerzo
buscado (figura 10.12). Los esfuerzos que
a p a r e ce n se d e n o min a n : N M ,
1
Figura 10.12
Por el principio de superposición los esfuerzos reales son:
N z N z N XI B
( ) ( )  1 M z M z M XI B
( ) ( )  1 (10.19)
La condición de compatibilidad para la incógnita elegida es:
N N M M dx
B B
     
I 0 (10.20)
Sustituyendo los esfuerzos y despejando se obtiene
X
N N MMdx
N N MMdx
B I B I
B B B B1   



I
I
 
 
(10.21)
Discusión del resultado
El numerador de la expresión de la línea de influencia corresponde a la deformación del
punto I en el caso B
Para demostrarlo, se considera que en el caso B, los esfuerzos reales son NM, luego la
deformación del punto Ies:
I
BBV B V
N N M M dx
I  (10.22)
En esta expresión los esfuerzos N y M son los esfuerzos que aparecen en el caso B cuando
se carga con una fuerza virtual unitaria en el punto I (figura 10.13).
B B
V V

A
n
á
l
i
s
i
s
e
s
t
r
u
c
t
u
r
a
l
z
I
V=1
Caso V
I
B
Figura 10.13
Pero este caso virtual es en realidad igual que el caso I(figura 10.11), pues éste sólo tiene
una fuerza unitaria aplicada en I. Por lo tanto los esfuerzos en el caso V son:
N N M MV I V I  (10.23)
y la deformación buscada Δib vale:
I
BBI B I
N N M M dx
I  (10.24)
que coincide con el numerador de la expresión (10.21) de la línea de influencia.
El denominador de la línea de influencia es la suma de las deformaciones en los dos puntos donde
se ha eliminado la incógnita hiperestática, en el caso B.
Se definen las dos deformaciones por la izquierda y por la derecha en el punto de corte de la
incógnita hiperestática, en el caso B, como Bi
B
y Bd
B
.
Para hallarBi
B
se aplica una fuerza virtual unitaria en su dirección, y se obtiene un
caso virtual, denominado Bi (figura 10.14), cuyos esfuerzos son NM,. Como
BiBi
los esfuerzos reales en el caso B son NM, la deformación es:
B
B
Bi
BBBi B Bi
N N MMdx
I
 (10.25)
Para hallarΔBd
B
se aplica una fuerza virtual unitaria en su dirección, y se obtiene un
caso virtual denominado Bd (figura 10.15), cuyos esfuerzos son NM,.LaB d Bd
deformación es:
Bd
BBBd B Bd
N N M M dx
I  (10.26)
V=1
Bi
Caso Bi
V=1
Bd
Caso Bd
Figura 10.14 Figura 10.15
La suma de las dos deformaciones es:
  Bi
B
Bd
B B Bi Bd B Bi Bd
NN N M M M dx     
I ( ) ( ) (10.27)

Que coincide con la expresión obtenida para las líneas de influencia de los esfuerzos
internos en la estructura (ecuaciones (10.16), (10.17) y (10.18)). La expresión anterior constituye una
generalización del principio de Müller-Breslau para cualquier tipo de esfuerzo interno y cualquier
grado de hiperestaticidad. La situación se resume en la figura 10.16: ha desaparecido la fuerza
unitaria móvil, que se sustituye por un valor unitario de la incógnita hiperestática, en una estructura
h-1. La expresión de la línea de influencia requiere el cálculo de la deformación del punto de
aplicación de la carga móvil I, y de la deformación relativa en la sección de corte.
LÍNEAS DE INFLUENCIA DE DEFORMACIONES
La línea de influencia de una deformación en una estructura elástica lineal es aquella función que
proporciona la variación de dicha deformación, cuando una carga unitaria móvil recorre una
determinada trayectoria a lo largo de la estructura. El cálculo de la línea de influencia de una
deformación es inmediato empleando el teorema de reciprocidad de Maxwell. Sea la estructura
cargada con la fuerza móvil en el punto I de la trayectoria, y supongamos que se desea calcular la
línea de influencia de la deformación en el punto y la dirección B:ΔIB
En virtud del teorema de reciprocidad de Maxwell se cumple que:
Se deduce porlo tanto que lalíneade influenciade unadeformaciónesigual ala deformadade la
trayectoriade la carga móvil,cuandolaestructurase carga únicamente con
Pero el caso Bi más el caso Bd es igual al caso B, por lo que:
NN N M M M
Bi Bd B Bi Bd B
     (10.28)
Por lo tanto la suma de las deformaciones queda:
  Bi
B
Bd
BBB B B
N N MMdx   
I  (10.29)
Que coincide con el denominador de la expresión (10.21) de la línea de influencia.
En consecuencia, la línea de influencia se puede poner como:
X I
B
Bi
B
Bd
B1
  


  
(10.30)
1
(B)
BdB
BiB
I
B
Figura 10.16
  B
I
I
B
 (10.31)

una carga unidad,enla direcciónde ladeformacióncuyalíneade influenciase busca,como se
muestraenla figura10.17
.

' I' B= ' I
Caso B
I' B
I
B1 BICaso I
1
z
Figura 10.17

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