Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Estructuras II

1. 1
DIAGRAMAS O LINEAS DE INFLUENCIA
CONCEPTO
Es una representación gráfica del valor de una fuerza interna o desplazamiento en un punto
específico de una estructura debido a una carga unitaria localizada en cualquier punto de
una estructura. Estos diagramas se utilizan para determinar la posición o combinación de
acciones externas que produzcan respuestas máximas en las estructuras, así como para el
cálculo de fuerzas a partir de ellos.
LINEAS DE INFLUIENCIA EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
Por ejemplo se desea saber los valores de las reacciones de una viga isostática sometida a
una carga unitaria a una distancia x del extremo izquierdo:
LINEAS DE INFLUIENCIA EN ESTRUCTURAS MEDIANTE EL TRABAJO
VIRTUAL
Considerando el mismo ejemplo anterior, para obtener la línea de influencia de RA se libera
la restricción del desplazamiento en su dirección, vertical, y se le da un desplazamiento
unitario resultando:
Esta ecuación lo que expresa es que la reacción en A producida por una carga unitaria es
igual al desplazamiento virtual y bajo la carga.
El procedimiento general para obtener la línea de influencia para cualquier carga interna y
cualquier sistema determinado o indeterminado, será el siguiente:
1) Identificar la acción que se requiere el diagrama de influencia.
2) Liberar la restricción del desplazamiento en la dirección de esa acción y permitirle
un desplazamiento unitario. Para esto se toma una acción unitaria (Valor uno) se
determina el desplazamiento donde esta aplicada y se divide por si misma para que
resulte igual a la unidad en ese punto y así mismo toda la deformada se divide por
dicho valor.
1Kg
x
L
RA=
L
x

1 Por
Estática
A B
RB =
L
x
RA=1-
L
x
Reacción en A debido
a carga unitaria en esta
ubicación
B
A
RA
RB
1
Utilizando la expresión del trabajo virtual
realizado se obtiene:
Texterno =Tinterno.
1RA-1y = o No hay esfuerzos internos
porque el sistema se transforma en un
mecanismo conforme se permite el
desplazamiento vertical.
y
x
1Kg

2. 2
3) La deformada de la estructura es la línea de influencia para la acción seleccionada.
LINEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO
En el mismo ejemplo para el momento a una distancia d del apoyo A. Se elimina la
restricción que equivale a colocar una articulación en ese punto:
Md
d Equivale a un mecanismo:
LINEA DE INFLUENCIA DE LA FUERZA CORTANTE
Para el mismo ejemplo para la fuerza cortante a una distancia d del apoyo A, se elimina la
restricción que equivale a colocar un empotramiento móvil:
DIAGRAMAS DE INFLUENCIA CUALITATIVOS PARA VIGAS
INDETERMINADAS
En muchas ocasiones es necesario conocer cuales son las posiciones de las cargas que
produzcan respuestas máximas dentro de la estructura, por lo que determinando la forma de
la línea de influencia sin saber sus valores podemos ubicar las posiciones críticas de las
cargas. Veamos unos ejemplos de líneas de influencia o deformada para la fuerza requerida:
Δ
ΘA θB
ΘA+θB=1
De la geometría de la figura y como son
deformaciones muy pequeñas:
Δ=θA d Δ=(L-d)θB
Por lo tanto:
Δ = d(L-d)/L
V V
d Equivale a un mecanismo:
Δ1= d θ Δ2 = (L-d)θ
d θ + θ (L-d) =1
θ = 1/L
Δ1 = d/L Δ2 = (L-d)/L
Paralelas
Δ1 (Δ1+Δ2=1)
θ
Δ2 θ

3. 3

A B C D E F
1

Línea de
Influencia para:
MD
1
Línea de
Influencia para:
VB
1
Línea de
Influencia para:
RE
A B C D E F G H
Línea de
Influencia para:
Momento
positivo MD
Patrón de Cargas para obtener máximo momento positivo en D, tramos alternantes
Línea de
Influencia para
Momento
negativo ME
Patrón de Cargas para provocar máximo momento negativo en E
1
1
Línea de
Influencia para:
RE
1
1
Línea de
Influencia para:
VE Izquierda

4. 4
Diagrama de influencia para
Momento positivo en tramo AB
y patrón de Carga, que es
posición de las cargas en tramos
alternantes
A B
+
V V
N N
M M
Convención de Signos

5. 5
EJEMPLO DE ESTRUCTURA INDETERMINADA
Dada la siguiente viga determinar la línea de influencia de la reacción en el apoyo B:
OBTENCION DE LA DEFORMADA:
1) Se resuelve la estructura para la restricción liberada colocando una carga unitaria en
la dirección de la acción que se requiere la línea de influencia, Encontrando las
reacciones en los apoyos y las expresiones de las fuerzas internas: Fuerza axial (N),
fuerza de corte (V) y momento flexionante (M), fundamentalmente con la expresión
de momento se obtiene por doble integración o viga conjugada las expresiones de la
deformada. Hoy en día se utilizan programas para resolver estructuras con el
computador para aligerar los cálculos:
Por viga conjugada, su carga q es el momento real dividido por EI::
1T
A
0,5
B
0,5
0,5
+ 0,5
V(T)
- 1 M(T-m)
N=0 Unidades seleccionadas:
Ton (T) y mts(m)
)
2
(
5
,
0
.......
5
,
0 4
2
2
0 x
M
x
M x
x 





 =
M2
4
= 0,5x - 2
x
  
 
m
m
m
T
m
T
EI
M 1
4
2










EI
1
Por simetría:
EI
x
x
EI
1
2
1
2
1
 EI
1
A B C EI = Constante
2 m RA 2m
1) Identificar La Acción RB.
1
2) Libere la restricción y Permitir un
desplazamiento unitario.
3) Obtener la deformada.

6. 6
El corte de la viga conjugada es la rotación θ en la real, y el momento en la conjugada es la
deformada de la viga real:


 qdx
VCJ 
EI
Para
C
EI
x
C
dx
x
EI
V x
CJ
1
..
........
4
)
5
,
0
0
2
2
0
2
0













 
 

Por lo que
EI
C
1
 








EI
x
VCJ
1
)
4
1
(
2
2
0
2
0

0
..
........
2
4
)
2
5
,
0
(
2
2
4
2
4
2










 

 
 x
CJ Para
C
EI
x
EI
x
C
dx
EI
x
V 

Por lo que: C
EI
EI



4
4
4
0 De donde
EI
C
3

Resulta que:
EI
EI
x
EI
x
VCJ
3
2
4
2
4
2
4
2



 
Por lo que la expresión para la deformada será:


 Vdx
y
MCJ
0
..
....
1
12
)
4
1
( 0
3
2
2
0
2
0






















 

 x
x
Cj y
M
Para
C
EI
x
x
C
EI
dx
x
y
M
Por lo que C = 0 Como para x = 2 y = (2- 8/12)(1/EI) = 4/(3EI) y como para esta
línea de influencia para x=2 y debe valer 1, entonces hay que multiplicar por el inverso
anterior es decir por 3EI/4, por lo que la expresión para el diagrama de influencia es:
2
0
)
( B
R
LI = 3EI(x-x3
/12)1/(4EI)= (3x -
4
3
x
)/4 De igual manera que para la expresión que
se obtenga de y entre 2 y 4 se multiplicará por 3EI/4 para obtener la línea de influencia en
ese tramo.