ejercicio esfuerzos combinados

1. Universidad DE LAS FUERZAS ARMADAS
EXTENSIÓN LATACUNGA
DEPARTAMENTO DE ENERGÍA Y MECÁNICA
Diseño de elementos de maquina
NRC: 8418
Proyecto:
APLICACIÓN DE ANÁLISIS DE CARGA Y ESFUERZO
EN BASTIDOR DE MADERA
DOCENTE: ING. Mauricio cruz
INTEGRANTES:
QUIÑA ESTEBAN
Rea Jordano
TORRES MARLON
Periodo: 202050

2. 1. TEMA: Aplicación de análisis de carga y esfuerzo en bastidor de madera
2. OBJETIVOS:
 Determinar cómo cambia la inercia según el punto en el área transversal del
bastidor.
 Determinar cómo varía el estado de esfuerzo en los diferentes puntos.
 Verificar con software de apoyo para comprar los valores calculados con los
medidos
3. MARCO TEÓRICO
ESFUERZO AXIAL
 Tensiones normales:
Si se dispone una barra prismática con una carga P aplicada en dirección del eje de
ésta y perpendicular a la sección, se tendrá una tensión normal máxima. El
procedimiento para obtener la tensión se observa en la figura siguiente.
Fig. 1 Tensión axial
Tensión axil Cualquier punto de una sección, como se ha visto con anterioridad,
tiene asociado un vector tensión resultante que depende de la posición del punto
dentro de la sección y del plano respecto al que se calcula la tensión. En este caso
el plano rc se corresponde con la sección misma. A su vez, la suma de los vectores
tensión en cada punto multiplicada por el área ocupada por todos los puntos, debe
ser estáticamente equivalente a la fuerza aplicada P. Si se elimina una rebanada se
puede observar que el problema de la obtención de la tensión se resuelve dividiendo
la carga P aplicada entre el área entre la cual se quiere repartir.

3. Es decir:
𝜎 =
𝑃
𝐴
Por tanto, esta es la ecuación que define el comportamiento de una barra cargada
axialmente. Con ello se obtiene la tensión normal en cualquier sección
perpendicular al eje del elemento, siendo P el esfuerzo axil aplicado y A el área de
la sección. Las unidades de la tensión serán N/m2, Pa, kg/cm2, etc. Por ejemplo, en
una barra de sección constante y esfuerzo axil constante, todos y cada uno de los
puntos de la sección, y todas y cada una de las secciones (por tanto, todos los puntos
de la barra) tendrán la misma tensión, calculada según la ecuación anterior. No
ocurrirá esto cuando se tengan variaciones de sección o el esfuerzo axil varíe a
medida que se desplace por el eje del prisma como, por ejemplo, un cable colgado
que resiste la acción de su propio peso.
 Tensiones en secciones inclinadas
Si se sigue considerando el mismo elemento prismático sometido a la misma fuerza
exterior, pero se quiere calcular las tensiones que se producen respecto a una
sección que no sea perpendicular al eje de ésta, se encontrará que aquello que se
está buscando no es ni más ni menos que el cálculo del vector tensión respecto a
este plano, y la posterior descomposición de sus componentes intrínsecas. En este
caso las ecuaciones que rigen el problema son las siguientes:
Fig. 2 Cortante con ángulo
Siendo A el área de la sección recta del prisma. Lo que hay que entender es que
siempre que se hable de las tensiones a las que se ve sometido un punto, se tiene

4. que hacer respecto de un plano. Si este plano es inclinado aparecerán tensiones
tangenciales debido a la descomposición de esfuerzos, ya que en este caso el plano
no sólo está sometido a esfuerzo axil, sino que está sometido a un esfuerzo cortante
adicional.
DEFORMACIONES AXIALES
Para el estudio de las deformaciones de la barra prismática anterior se pueden utilizar las
relaciones anteriores obtenidas mediante la ley de Hooke, porque el resultado es igual al
del ensayo.
La deformación se puede obtener mediante la ecuación
𝜀 =
𝜎
𝐸
=
𝑁
𝐸𝐴
A su vez y debido a que la deformación se puede expresar como una variación del
desplazamiento longitudinal
𝜀 =
𝛿𝑢
𝛿𝑥
=
𝑁
𝐸𝐴
el campo de desplazamientos puede ser obtenido mediante la integración de las
infinitésimas deformaciones
𝑢 = ∫
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥
𝑥
0
y, por tanto, el incremento de longitud que experimenta toda barra sometida a esfuerzo axil
se calcula con la siguiente expresión:
∆𝐿 = ∫
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 =
𝐿
0
𝑁𝐿
𝐸𝐴
FLEXIÓN
Tipos de flexión
En la mayoría de los casos de carga cuando existen momentos flectores suelen
existir también esfuerzos cortantes. Estos esfuerzos producen unas tensiones y

5. deformaciones que en los problemas más comunes son mucho menores que las
producidas por los flectores. Por esto, aunque hay que conocer de su existencia
siempre, se han tratado de forma independiente el problema del flector y el
problema del cortante, porque cuando el uno adquiere importancia, el otro suele ser
de reducido tamaño. El primer paso necesario para analizar este problema reside en
estudiar los tipos de flexión y así realizar una clasificación de los distintos
problemas existentes. Si se aísla la sección de una viga, como se ha hecho
previamente, se puede demostrar que pueden aparecer los siguientes tipos de
esfuerzos:
N, axil
Mx= Mr, momento torsor
My Mz, Vr, Vz , momentos flectores y cortantes
 Si sólo existe momento en una dirección, por ejemplo, My, diremos
que se tiene un problema de Flexión Simple y Simétrica.
 Si se combina un momento con además la existencia de axil, por
ejemplo: My + N se dirá que se trabaja en un problema de Flexión
Compuesta.
 En el caso de que aparezcan momentos en dos direcciones: My y Mz
se estará trabajando en un problema de Flexión Esviada o Desviada
(según los autores).
Relación entre esfuerzo y distribución de cargas
fácil obtener en el sistema isostático los diagramas de momentos flectores y cortantes en
cada uno de los elementos. Sin embargo y dado un sistema mecánico sometido a un
problema de flexión, será interesante conocer la relación existente entre cargas exteriores
aplicadas qy(x) y los esfuerzos producidos Vy(x) y Mz(x). Si se toma una rebanada como
la de la figura y se impone el equilibrio:

6. Fig. 3 Rebanado diferencial con cargas trasversales
∑ 𝐹𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝑉 − (𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑞 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 = 0
∑ 𝑀𝑧 = 0; 𝑀 + 𝑑𝑀 − (𝑉 + 𝑑𝑉)𝑑𝑥 − 𝑀 + 𝑞 𝑦(𝑥)𝑑𝑥.
𝑑𝑥
2
= 0
Operado se tiene que
𝑞 𝑦(𝑥) =
𝑑𝑉
𝑑𝑥
Y que:
𝑉(𝑥) =
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑥
Se puede estudiar el ejemplo de una carga uniforme y constante q(x) aplicada sobre una
viga en voladizo como la de la figura, en la cual el diagrama de cortantes toma el valor:
𝑉 = 𝑞(𝑥). 𝑥
Y el diagrama de momentos
𝑀 = 𝑞(𝑥). 𝑥.
𝑥
2
con lo que se demuestra la relación entre los tres esfuerzos.
COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN

7. Cuando un elemento está sometido a cargas axiales y de flexión como se muestra en la
figura 4 Entonces se debe tratar como una combinación de las dos cargas.
Fig. 4 elementos sometidos a cargas axiales
En este caso se considera flexión con tensión o compresión directa, es decir se presenta
además de la flexión en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la sección
transversal, y el esfuerzo normal combinado se calcula como: Esfuerzo = Esfuerzo normal
+ Esfuerzo por flexión
Los esfuerzos combinados flexión-axial son calculados por la siguiente ecuación:
𝜎 = ±
𝑃
𝐴
±
𝑀𝑐
𝐼
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión
son negativos.
Esta convención de signos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El
termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general “y “a partir del eje
neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras extremas (externa)
VARIACIÓN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO.
La magnitud y el tipo de esfuerzo dependen de la orientación o inclinación del elemento a
considerar. Como se puede ver en la figura 5a, se tiene un sólido sometido a la acción de
fuerzas de equilibrio, en el cual se hacen pasar por el mismo punto dos secciones de
exploración a-a y b-b, donde a-a es perpendicular a la dirección de la resultante R de P1 y
P2, como se indica en la figura 5b, y b-b esta inclinada con respecto a la resultante R, como

8. se puede ver en la figura 5c. El elemento rayado de la figura 5b está sometido únicamente
a esfuerzo normal, pero el elemento en el mismo punto que está en la figura 5c, está
sometido a esfuerzos normal y cortante, producidos por N y T, respectivamente. Entonces
se puede observar que para un mismo punto de un sólido que está sometido a un estado de
esfuerzos (ubicados en la intersección de a-a y b-b), los esfuerzos varían según la dirección
u orientación del elemento diferencial que se considere en dicho punto.
Fig. 5 solido con dos secciones
En las secciones siguientes se estudia cómo varían los esfuerzos con la orientación del
elemento. Esto es muy importante y lo que se persigue es determinar en qué planos se
representan los esfuerzos máximos y calcular sus valores.
ESFUERZOS EN PLANOS DE CUALQUIER DIRECCIÓN
En forma general, se hace imposible hallar directamente los valores de los esfuerzos en un
plano que tenga una dirección cualquiera. Por ejemplo, en el caso de vigas, con la fórmula
de flexión se pueden determinar los valores del esfuerzo normal que aparecen en el plano
perpendicular al eje de la viga. También se puede calcular el esfuerzo cortante en estos dos
planos. En el caso de torsión, con su correspondiente formula se obtiene el valor del
esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Entonces cuando una barra
está sometida simultáneamente a flexión y a torsión, como se muestra en la figura 6, se
calculan los esfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzo, pero solamente si los
elementos están orientados como se puede ver en esta figura. Pero existirá una determinada
posición u orientación en donde el esfuerzo normal será máximo, como lo indica la figura
6. Existen dos métodos para determinar esta posición u orientación del elemento, y del

9. valor del esfuerzo normal cuando es máximo. Los cuales son: el analítico usando
expresiones matemáticas, y el otro método es el grafico utilizando el círculo de Mohr
Fig. 6 Barra sometida a flexión y torsión
ESFUERZO EN UN PUNTO
El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un
elemento diferencial de área. En la figura 7 se muestra el esfuerzo normal en la dirección
X que existe en un punto de coordenadas x,y,z, el cual es el esfuerzo uniforme que actúa
sobre el área diferencial dydz.
Fig. 7 Esfuerzo en un punto

10. Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias
direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan sobre un
elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerado. Por ejemplo 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦
los esfuerzos en un punto. En la figura 8 se muestra las componentes del esfuerzo presentes
en un elemento diferencial.
Fig. 8 Componentes de un esfuerzo
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO
Si se deriva la expresión con respecto a 𝜃, y se anula se obtienen los planos donde están
los esfuerzos normales máximo y mínimo.
𝑡𝑎𝑛2𝜃 = −
2𝜏 𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
Análogamente, los planos del esfuerzo cortante máximo quedan definido por:
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑠 =
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2𝜏 𝑥𝑦
La ecuación da dos valores de 2θ que difieren en 180°, por lo que los planos de esfuerzo
normal máximo y mínimo son perpendiculares entre sí. Lo mismo ocurre en la ecuación
con los planos de esfuerzo cortante máximo, que están a 90°. Los esfuerzos normales
máximo y mínimo se llaman esfuerzos principales.

11. 𝜎 𝑚𝑎𝑥, 𝜎 𝑚𝑖𝑛 =
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
± √[
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
] + (𝜏 𝑥𝑦)
2
𝜏 𝑚𝑎𝑥 = ±√[
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
] + (𝜏 𝑥𝑦)
2
TEORÍA DEL ESFUERZO CÓRTATE MÁXIMO
 Esta teoría también se conoce como la Teoría de Tresca.
 Esta teoría establece que la falla ocurre cuando el esfuerzo cortante máximo en una
pieza excede el esfuerzo cortante por fluencia en una muestra del misma material
sujeta a tensión ( la mitad de la resistencia de fluencia por tensión).
 Esta teoría es un predictor aceptable pero conservador de la falla, que se usa con
bastante frecuencia.
 Para un estado de esfuerzo general, pueden determinarse y ordenarse los tres
esfuerzos principales, de modo que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, Por lo tanto, para un estado de
esfuerzo plano, la teoría del ECM predice la fluencia cuando:
𝜏 𝑥𝑦 =
𝜎1 − 𝜎2
2
≥ 𝑆𝑠𝑦 𝜎1 − 𝜎2 ≥
𝑆 𝑦
𝐹𝑆
 Para el caso de esfuerzo plano donde σ1 ≥ σ2, existen tres casos a considerar:
 Caso 1: σ1 ≥ σ2 ≥ 0. La ecuación anterior se reduce a una condición de fluencia:
𝜎1 ≥
𝑆 𝑦
𝐹𝑆
 Caso 2: σ1 ≥ 0 ≥ σ2 . La ecuación se convierte en:
𝜎1 − 𝜎2 ≥
𝑆 𝑦
𝐹𝑆
 Caso 3: 0 ≥ σ1 ≥ σ2 . La ecuación se convierte en:
𝜎2 ≤
𝑆 𝑦
𝐹𝑆
 Estas ecuaciones se representan el la figura mediante las tres líneas indicadas en el
plano σ1 , σ2

12.  Fig. 9 Teoría del ECM
4. RESOLUCIÓN
El tambor de 20 𝑘𝑔 está suspendido de un gancho montado en el bastidor de madera. Determine el
estado de esfuerzo en el punto E sobre el área transversal del bastidor en la sección a-a y en el punto F
sobre el área transversal del bastidor en la sección b-b.
Fig. 9 Bastidor de madera tipo grúa.

13. Cálculos:
Para el punto E en la sección a-a:
Cargas internas
Para realizar en cálculo en la sección de interés es necesario seccionar el elemento:
𝐹
𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝑊
Reacciones en el soporte BC
Aplicando sumatoria de momentos en B:
+ ∑ 𝑀 𝐵 = 0
𝐹 ∗ sin(45°) (1𝑚) − 20𝑘𝑔 (
9.81𝑚
𝑠𝑔2
) (2𝑚) = 0
𝐹 = 554.94 𝑁
𝐹𝑦 = 𝐹 ∗ sin(45°) = 392.4
+ ∑ 𝐹𝑋 = 0
554.94𝑁 ∗ cos(45°) − 𝐵𝑥 = 0
𝐵𝑥 = 392.4𝑁
+ ∑ 𝐹𝑦 = 0
554.94𝑁 ∗ sin(45°) − 20𝑘𝑔 (
9.81𝑚
𝑠𝑔2
) − 𝐵𝑦 = 0
𝐵𝑦 = 196.2𝑁
Calculo de momentos por el método de
áreas:
𝑀 𝑚á𝑥 = 196.2𝑁 ∗ 1𝑚
𝑀 𝑚á𝑥 = 196.2 𝑁 ∗ 𝑚
𝐹𝑦
45°
𝑉
𝑁𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝐵 𝑃
𝑀

14. + ∑ 𝐹𝑋 = 0
𝑁 − 392.4 = 0
𝑁 = 392.4𝑁
+ ∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑉 − 196.2𝑁 = 0
𝑉 = 196.2𝑁
+ ∑ 𝑀 𝑃 = 0
196.2𝑁(0.5𝑚) − 𝑀 = 0
𝑀 = 98.1 𝑁 𝑚
Propiedades de la sección
𝐴 = 0.05𝑚 ∗ 0.075𝑚 = 3.75 ∗ 10−3
𝑚2
𝐼 =
1
12
∗ 0.05𝑚 ∗ 0.075𝑚3
= 1.7578 ∗ 10−6
𝑚4
𝑄 𝐸 = 𝑦−′
∗ 𝐴′
= 0.025𝑚 ∗ 0.025𝑚 ∗ 0.05𝑚 = 3.125 ∗ 10−6
𝑚3
Esfuerzo normal
𝜎 𝐸 =
𝑁
𝐴
+
𝑀𝑦
𝐼
𝜎 𝐸 =
392.4
3.75 ∗ 10−3
+
98.1 ∗ 0.0125
1.7578 ∗ 10−6
= 802 𝐾𝑃𝑎
Esfuerzo Cortante
𝜏 𝐸 =
𝑉𝑄 𝐸
𝐼𝑡
=
196.2 ∗ (31.25 ∗ 10−6
)
1.7578 ∗ 10−6 ∗ 0.05
𝑉
𝑁𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝐵 𝑃
𝑀

15. 𝜏 𝐸 = 69.8 𝐾𝑃𝑎
Para el punto F, sección b-b:
Diagrama Cuerpo libre Tramo BC:
69.8 𝐾𝑃𝑎
802 𝐾𝑃𝑎
30°
3𝑚
𝑊
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
𝐹𝐵𝐷

16. + ∑ 𝑀 𝐵 = 0
𝐹𝐵𝐷 ∗ sin(30°) (3𝑚) − 20𝑘𝑔 (9.81
𝑚
𝑠𝑔2
) (2𝑚) = 0
𝐹𝐵𝐷 = 261.6 𝑁
+ ∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐴𝑦 − 261.6𝑁 cos(30°) − 20𝑘𝑔 (9.81
𝑚
𝑠𝑔2
) = 0
𝐴𝑦 = 422.75𝑁
+ ∑ 𝐹𝑋 = 0
𝐴𝑥 − 261.6𝑁 sin(30°) = 0
𝐴𝑥 = 130.8 𝑁
Cargas internas
+ ∑ 𝐹𝑋 = 0
130.8 − 𝑉 = 0
𝑉 = 130.8𝑁
+ ∑ 𝐹𝑦 = 0
422.75𝑁 − 𝑁 = 0
𝑁 = 422.75 𝑁
𝑁𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝐵 𝑃
𝑀

17. + ∑ 𝑀 𝑃 = 0
130.8𝑁(1𝑚) − 𝑀 = 0
𝑀 = 130.8 𝑁 𝑚
Propiedades de la sección
𝐴 = 0.075 ∗ 0.075 = 5.625 ∗ 10−3
𝑚2
𝐼 =
1
12
∗ 0.075 ∗ 0.0753
= 2.6367 ∗ 10−6
𝑚4
𝑄 𝐸 = 𝑦−′
∗ 𝐴′
= 0.025 ∗ 0.025 ∗ 0.075 = 46.875 ∗ 10−6
𝑚3
Esfuerzo normal
𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑦
𝐼
𝐹, 𝑦 = 0.0375 − 0.025 = 0,0125 𝑚
𝜎 𝐹 =
−422.75
5.625 ∗ 10−3
−
130.8 ∗ 0.0125
2.6367 ∗ 10−6
= −695.24 𝐾𝑃𝑎 = 695.24 𝐾𝑃𝑎
𝜎 𝐹 = 695.24 𝐾𝑃𝑎
Esfuerzo cortante
𝜏 𝐹 =
𝑉𝑄 𝐴
𝐼𝑡
=
130.8 ∗ (46.875 ∗ 10−6
)
2.6367 ∗ 10−6 ∗ 0.075
𝜏 𝐹 = 31 𝐾𝑃𝑎
SELECCIÓN DE MATERIAL
Para el caso del elemento de armadura BC seleccione otro material plástico adecuado
calculado para la producción según la teoría de falla de esfuerzo cortante máximo con un
factor de seguridad de 2
𝜏 𝑚𝑎𝑥 =
𝑆 𝑦
2𝐹𝑆
Datos
𝐹𝑆 = 2
𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 69.8 𝐾𝑃𝑎
𝑆 𝑦 = 2𝐹𝑆. 𝜏 𝑚𝑎𝑥
𝑆 𝑦 = 2 ∗ 2 ∗ 69.8 𝐾𝑃𝑎
𝑆 𝑦 = 279.2 𝐾𝑃𝑎 → 0.2792𝑀𝑝𝑎

18. Tabla 1 propiedades típicas de plásticos
Según la resistencia a la flexión el material elegido es poliuretano elastómero 𝑆𝑦 = 5.5
5. SIMULACIÓN
Para un análisis más detallado del comportamiento de la estructura se genera un análisis
estructural con ayuda del software inventor.
Fig. 10 Boceto inicial para el análisis estructural.

19. Fig. 11 Crear un ensamble
Fig. 12 Importar el boceto dentro del ensamble.
Fig. 13 Asignar una estructura desde el centro de contenido.

20. En caso de no hallar una estructura indicada en el centro de contenido seleccionar una
similar y editar sus medidas:
Fig. 14 Editar estructura.
Fig. 15 Editar boceto
Fig. 16 Estructura finalizada.

21. Fig. 17 Análisis de estructura
Fig. 18 Crear Simulación

22. Fig. 19 Análisis estático
Fig. 20 Definir las fuerzas y apoyos.

23. Fig. 21 Resultados Obtenidos.
6. ANÁLISIS DE RESULTADOS
COMPARACIÓN ENTRE ANALÍTICA – SIMULACIÓN
Los resultados obtenidos mediante cálculos y software coinciden, como se puede observar
en el apartado de cálculos.

24. Cálculo de error relativo porcentual:
Valor Real Valor Calculado Error relativo
Porcentual
196 196,2 -0,102040816
196 196,2 -0,102040816
392 392,4 -0,102040816
130,67 130,8 -0,099487258
-0,101402427
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.1%
La estructura simulada se comporta como se esperaba, también se visualiza que ni el punto
E ni el punto F son puntos críticos del diseño, ya que la flexión no ocurre en ninguno de
ellos.
7. CONCLUSIONES
 No es posible resolver el ejercicio usando únicamente la simulación, para
aprovechar el software al máximo es necesario aplicar los conceptos básicos
aprendidos en clase.
 El error obtenido entre las simulaciones y el cálculo no es significativo. El uso de
simulador permite verificar con mayor precisión lo teórico con lo práctico y
aprovechar las nuevas Tecnologías.
 A pesar de no ser puntos críticos es necesario resolver este tipo de ejercicios para
razonar más y no acostumbrarnos únicamente a aplicar fórmulas o a manejar tablas.
8. BIBLIOGRAFÍA
(1) Romero García, M. y Museros Romero, P. (2002). Resistencia de materiales. Castelló
de la Plana, Universitat Jaume I. Servei de Comunicació i Publicacions. Recuperado de
https://elibro.net/es/ereader/espe/104103?page=244.
(2) Mott, R. L. (2009). Resistencia de materiales (5a. ed.). Pearson Educación.
https://elibro.net/es/ereader/espe/39532?page=556

25. (3)Yocias Ulacio, Carlos Suarez. (2012). Resistencia de materiales- Esfuerzos conbinados
. Venuezuela: U.N.E.F.M.