Suma resta y valor numérico de expresiones algebraicas. Multiplicación y división de expresiones algebraicas. Productos notables de expresiones algebraicas. Factorización por productos notables.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo – Lara
Expresiones Algebraicas
Estudiante:
Eritson Barradas
Sección: 0112
CI: 31544511

2. Suma y Restas de Expresiones Algebraica: En la suma o resta de expresiones algebraicas
solo se reducen los términos semejantes, es decir, los términos con la misma base y el
mismo exponente solo se suman o se restan sus coeficientes.
También se pueden acomodar en forma de columna para ver de manera más clara los
términos semejantes que se tienen que sumar o restar:
Ejemplos de Suma y Resta de Expresiones Algebraicas:

3. Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas: Para multiplicar y dividir
expresiones algebraicas se utilizan las leyes de los signos para todas las multiplicaciones y
divisiones, las leyes de los exponentes para las multiplicaciones y divisiones con la misma
base, y las propiedades de los exponentes para las operaciones con bases distintas.
Leyes de los Signos,
-Signos iguales el resultado es positivo
-Signos diferentes el resultado es negativo
Leyes y Propiedades de los Exponentes,

4. Monomio por Monomio, Se multiplica cada elemento del monomio por su par del otro
monomio, es decir; Coeficiente x coeficiente, misma base por misma base.
Monomio por Polinomio, Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio.
Ejemplos:
Polinomio por Polinomio, Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por
cada uno de los términos del segundo polinomio.
Ejemplos:

5. Monomio entre Monomio, Se divide cada uno de los elementos del primer monomio
entre cada uno de los elementos del segundo monomio
Polinomio entre Polinomio, Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el
monomio.
Ejemplos:
Productos notables de Expresiones Algebraicas: Los productos notables son operaciones
algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas
tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las
mismas.
Los polinomios son multiplicados entres si, por lo tanto es posible que tengan una gran cantidad
de términos y variables. Para hacer más corto el proceso, se usan las reglas de los productos
notables, que permiten hacer las multiplicaciones sin tener que ir término por término.
Productos notables y ejemplos: Cada producto notable es una fórmula que resulta de una
factorización, compuesta por polinomios de varios términos como por ejemplo binomios o
trinomios, llamados factores.

6. Los factores son la base de una potencia y tienen un exponente. Cuando se multiplican los
factores, los exponentes deben ser sumados.
Existen varias fórmulas de producto notable, unas son más usadas que otras, dependiendo de los
polinomios, y son las siguientes:
Binomio al cuadrado, Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de
potencia, donde los términos son sumados o restados:
A. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del
producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente
manera: (a + b)2 = (a + b) * (a + b).
En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla
mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1
(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5)² = x² + 10x+ 25.
Ejemplo 2
(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
B. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que
en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

7. Ejemplo 1
(2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62
(2x – 6)2 = 4x2 – 2 (12x) + 36
(2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36.
Producto de binomios conjugados, Dos binomios son conjugados cuando los segundos
términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del
segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se
restan. Su fórmula es la siguiente:
(a + b) * (a – b)
En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se
observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.
Ejemplo 1
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2.
Producto de dos binomios con un término común, Es uno de los productos notables más
complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que
tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:
 El cuadrado del término común.
 Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el
término común.
 Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

8. Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y es desarrollada como se muestra en la
imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.
Ejemplo 1
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su
fórmula es la siguiente: (x + a) * (x – b).
Ejemplo 2
(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)* 7x – 8
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8.

9. También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula
será: (x – a) * (x – b).
Ejemplo 3
(3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6 – 5)* (3b) + (-6 * -5)
(3b – 6) * (3b – 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b – 6) * (3b – 5) = 9b2 – 33b + 30.
Polinomio al cuadrado, En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo,
cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un
término con otro; su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio
al cuadrado.
Ejemplo 1
3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

10. (3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy +24xz + 16yz.
Binomio al cubo, Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el
binomio por su cuadrado, de la siguiente manera:
 Para el binomio al cubo de una suma:
 El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término
por el segundo.
 Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
 Más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2
(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ejemplo 1
(a + 3)3 = a3 + 3(a)2*(3) + 3(a)*(3)2 + (3)3
(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3(a)*(9) + 27
(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
B. Para el binomio al cubo de una resta:
 El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término
por el segundo.
 Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
 Menos el cubo del segundo término.
(a – b)3 = (a – b) * (a – b)2
(a – b)3 = (a – b) * (a2 – 2ab + b2)

11. (a – b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – ba2 + 2ab2 – b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Ejemplo 2
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(-5)2 + (-5)3
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(25) -125
(b – 5)3 = b3 – 15b2 +75b – 125.
Cubo de un trinomio, Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto
notable muy extenso porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada
término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el
producto de los tres términos. Visto de una mejor forma:
(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2
(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Ejemplo 1
Ejercicios resueltos de productos notables
Ejercicio 1
Desarrollar el siguiente binomio al cubo: (4x – 6)3.

12. Solución
Recordando que un binomio al cubo es igual al primer término elevado al cubo, menos el
triple del cuadrado del primer término por el segundo; más el triple del primer término,
por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo término.
(4x – 6)3 = (4x)3 – 3(4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 – (6)2
(4x – 6)3 = 64x3 – 3(16x2) (6) + 3 (4x)* (36) – 36
(4x – 6)3 = 64x3 – 288x2 + 432x – 36.
Ejercicio 2
Desarrollar el siguiente binomio: (x + 3)(x+8).
Solución
Se tiene un binomio donde existe un término común, que es x y el segundo término es
positivo. Para desarrollarlo solo se tiene que elevar al cuadrado el término común, más la
suma de los términos que no son comunes (3 y 8) y luego multiplicarlos por el término
común, más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.
(x + 3)(x + 8) = x2 + (3 + 8)x + (3*8)
(x + 3)(x + 8) = x2 + 11x + 24.
Factorización por productos notables: Los productos notables son aquellos productos de
expresiones algebraicas que se pueden resolver con la ayuda de reglas generales y evitar
que se hagan todas las operaciones de desarrollo.
Los productos notables más comunes son:
1.-Binomio al cuadrado (x+ y)2
2.-Binomios conjugados (x + y) (x – y)
3.-Binomios con termino común (x + a) (x + b)
4.-Binomia al cubo (x + b)3

13. Revisión Bibliográfica
 Suma resta y valor numérico de expresiones algebraicas:
https://cursoparalaunam.com/suma-y-resta-de-expresiones-algebraicas
 Multiplicación y división de expresiones algebraicas:
https://cursoparalaunam.com/multiplicacion-y-division-de-expresiones-
algebraicas
 Productos notables de expresiones algebraicas:
https://www.lifeder.com/productos-notables/
 Factorización de productos notables: https://cursoparalaunam.com/productos-
notables-y-factorizacion