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- 1. Expresiones Algebraicas Alumnos: Álvarez Ricardo CI 31620565 Antequera Marielbis CI 30916761 Chirinos Yonathan CI 30895393 Escobar Yetmary CI 31973574 Páez Ricardo CI 31710151 Vizcaya Olena CI 29778881 Materia: Matemática Prof: Miguel Rodríguez Sección: IN0103
- 2. ¿Qué es suma de expresiones algebraica? La suma de expresiones algebraicas es el proceso de combinar o sumar los términos semejantes dentro de diferentes expresiones algebraicas. Es esencial, tomar dos o más expresiones algebraicas y sumar los términos que comparten la misma variable y exponente. ¿Cómo resolver sumas de expresiones algebraicas? 1. Identificar los términos semejantes en las expresiones dadas. 2. Agrupar los términos semejantes juntos 3. Sumar los coeficientes de los términos semejantes, manteniendo la misma variable y exponente. 4. Escribir el resultado final en forma simplifica. Ejercicios Resueltos 1). 2ª, 2b, 5ª = 2ª + 2b + 5ª = 7ª + 2b 2). X + X2 = En este ejercicio no tenemos términos semejantes, ya que (X) es un término lineal (elevado a la potencia 1) y (x2) es un término cuadrático (elevado a la potencia 2). Por lo tanto, la expresión no se puede simplificar más.
- 3. Restas de expresiones de algebraicas La resta de expresiones algebraicas es similar a la suma de expresiones algebraicas, pero con la diferencia de que, en lugar de sumar términos semejantes, restamos esos términos. Al igual que con la suma, es fundamental entender que constituye un término semejante en el contexto de expresiones algebraicas. ¿Cómo resolver restas de expresiones algebraicas? 1. Identificamos los términos semejantes: (Al igual que con las sumas). 2. Agrupamos los términos semejantes. 3. Restamos los coeficientes de los términos semejantes. 4. Escribimos el resultado final con su forma simplifica. Ejercicios resueltos 1). 9x, 5x 9x – 5x= 4x 2). 15 m2n, 3 m2n= 15 m2n - 3m2n= 12m2n
- 4. Valor numérico de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir valores específicos de las variables y realizar las operaciones indicadas. Este proceso nos permite evaluar la expresión y obtener un resultado numérico específico. Para resolver el valor numérico de una expresión algebraica, se deben reemplazar las variables con los valores dados y luego realizar las operaciones indicadas en la expresión. El proceso de encontrar el valor numérico de una expresión algebraica implica los siguientes pasos: Reemplazar cada variable en la expresión con su valor numérico dado. Realizar las operaciones indicadas en la expresión, como suma, resta, multiplicación y división, siguiendo el orden de las operaciones. Simplificar la expresión para obtener el valor numérico final. Es importante tener cuidado al sustituir las variables por sus valores numéricos y seguir el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto. En resumen, encontrar el valor numérico de una expresión algebraica implica sustituir valores específicos de las variables y realizar las operaciones indicadas para obtener un resultado numérico específico
- 5. Multiplicación de expresiones algebraicas Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe de aplicar la regla de los signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente. Ejemplo: Multiplicar 3x3y2 por 7x4 (3x3y2) (7x4) Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo está en uno de los factores se escribe y con su propio exponente. (3)(7) x3+4y2 Multiplicación de un monomio por un polinomio Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los monomios que forman al polinomio, ejemplo: 3 * (2x3-3x2+4x-2) (3 * 2x3) + (3 * -3x2) + (3 * 4x) + (3 * -2) 6x3-9x2+12x-6
- 6. Multiplicación de un polinomio por otro polinomio En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por todos los monomios del otro polinomio, por ejemplo: (2x2-3) * (2x3-3x2+4x) (2x2*2x3) + (2x2*-3x2) + (2x2*4x) + (-3*2x3) + (-3*-3x2) + (-3*4x) 4x5-6x4+8x3-6x3+9x2-12x Divisiones Algebraicas Es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto hallar una expresión algebraica llamado cociente; obtenida de otras dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor, de tal forma que el valor numérico del cociente sea igual al cociente de los valores numéricos del dividendo y divisor, para cualquier sistema de valores atribuidos a sus letras. Ejemplo 1 de división de polinomio: Ahora bien‚ estos son los pasos a seguir para realizar la operación: 1. Ordenar 2. Buscar la expresión para multiplicar 3. Multiplicar 4. Restar y cambiar de signo 5. Bajar el siguiente termino Cuando nos referimos a ordenar‚ es a los términos con la letra o sus letras dependiendo del exponente. Siempre debe ser primero el de mayor exponente y después el de menor exponente tanto para el dividendo como para el divisor se debe aplicar esto. Este ejemplo ya está ordenado. 3x2 + 2x – 8 ÷ x + 2 3x2 + 2x – 8 x + 2 -3x2 – 6x 3x – 4
- 7. - 4x – 8 +4x + 8 Nota: estar al tanto al multiplicar los signos y al pasarlo al otro lado cambia su signo. Ejemplo 2 de división de monomio Pasos para realizar y que se debe tener presente son: 1. Si se deben dividir letras iguales con exponentes diferentes. Lo que debemos realizar es colocar la misma base (que es la letra) ‚ restar los exponentes y colocar el resultado como exponente. 2. Si las letras son iguales y el exponente también se cancelan. 3. Si arriba y abajo son negativos‚ se hace operación de signos que es cancelar y queda positivo el resultado. Si arriba es positivo y abajo es negativo se hace operaciones de signos‚ positivo y negativo da negativo. 28𝑎5 𝑏7 𝑐2 ÷ −4𝑎5 𝑏5 𝑐2 28𝑎5 𝑏7 𝑐2 −4𝑎5𝑏5𝑐2 = −7𝑏2 Definición de Productos Notables de Expresiones Algebraicas Los productos notables son expresiones algebraicas que se pueden factorizar de manera inmediata sin necesidad de realizar un proceso de varios pasos. Estas expresiones se encuentran frecuentemente en matemáticas y se descartan por seguir reglas fijas y tener resultados que pueden ser escritos por simples inspección, sin verificar la multiplicación paso a paso. En matemáticas, el concepto de producto se refiere al resultado de una operación de multiplicación, y los valores que se multiplican se conocen como factores. Los productos notables son multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas que se destacan por su frecuente aparición y que siguen reglas específicas. Existen diferentes tipos de productos notables, como el cuadrado de la suma de dos cantidades, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades, el cubo de la suma de dos cantidades, el cubo de la diferencia de dos cantidades, entre otros. Cada tipo de producto notable tiene su propia regla y forma la factorización.
- 8. La comprensión y dominio de los productos notables facilita la simplificación de expresiones algebraicas complejas y permite resolver diversas multiplicaciones de manera más rápida y eficiente. Aquí tienes la explicación de los ejercicios de productos notables de expresiones algebraicas: Binomio Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Por ejemplo, si tenemos el binomio (x + 3) al cuadrado, podemos resolverlo de la siguiente manera: • Cuadrado del primer término: x^2. • Doble del primer término por el segundo término: 2(x)(3) = 6x • Cuadrado del segundo término: 3^2 = 9. Entonces, el resultado sería: (x + 3) ^2 = x^2 + 6x + 9. Cu Cuando tenemos dos cantidades ayb, cuyo resto está elevado al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplica al resto por sí misma. Por ejemplo, si tenemos el binomio (x - 5) al cuadrado, podemos resolverlo de la siguiente manera: •Cuadro del primer término: x^2. •Menos dos veces el primer término por el segundo término: -2(x)(5) = -10x. •Cuadrado del segundo término: 5^2 = 25. Entonces, el resultado sería: (x – 5) ^2 = x^2 - 10x + 25. Factorización de productos notables. La factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática en forma de producto. Los productos notables son aquellos productos de expresiones algebraicas que se pueden resolver con la ayuda de reglas generales y evitar qué se hagan todas las operaciones de desarrollo.
- 9. 1. Factor común. Se le llama factor común al número o variable que se encuentra en todos los términos de un polinomio. Ejercicio: 5x2+153 = 5x2 (1+3x) 2. Diferencias de cuadrados. Es el resultado de restar un numero al cuadrado, de otro número al cuadrado. Ejercicio: X2–y2 = (x–y) (x+y) 4x2–9y2 = (2x–3y) (2x+3y) 3. Suma o diferencias de cubos. Es la suma de dos números o variables elevadas al cubo. Ejercicio: x3–y3 = (x–y) (x2+xy+y2) x3–23 = (x–2) (x2+2x+4) X3 – y3 = (x+y) (x2 – xy+y2) x3–33 = (x+3) (x2–3x+9) 4. Trinomios de la forma x2+bx+c. Pueden factorizarse encontrando dos enteros, r y s, cuya suma sea b y cuya resta sea c.
- 10. Ejercicio: x2+3x–10 = (x+5) (x–2) x2–3x–28 = (x–7) (x+4) 5. Trinomios de la forma a x2+bx+c. Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (deber ser positivo). Ejercicio: 3x2 – 5x – 2 = 3 (3x2 –5x–2) = 3 = (3x)2 –5 (3x) –6 = (3x–6) (3x+1) 3 3 = (x–2) (3x+1) 6. Trinomio cuadrado perfecto. Es un polinomio de tres términos que cumple con las siguientes características: El primer y tercer término tienen raíces cuadradas exactas. El segundo término es el resultado de multiplicar esas dos raíces por dos. Ejercicio: a2 – 10a + 25 = (a–5)2 a2 + 8a + 16 = (a+4)2 49m6 + 70m3.n3 + 25n6 = (7m3 + 5n3)2