Este documento explora las matemáticas subyacentes en el Cubo de Rubik. Explica que el número mínimo de movimientos necesarios para resolver el cubo de 3x3 es 20, y que hay aproximadamente 43 trillones de posibles permutaciones. También describe cómo el cubo puede verse como un grupo de permutación matemático, donde las rotaciones de las caras constituyen permutaciones que reordenan los elementos.

1. INSTITUTO NACIONAL
DE
SAN RAFAEL
• Esteban Vladimir Alvarenga Gutiérrez
• Julio César Hernández Hernández
• Matemática

2. Matemáticas en el cubo
de Rubik

3. Hay algunas preguntas interesantes sobre las
matemáticas que subyace en el Cubo de
Rubik. Afortunadamente, la mayoría de estos ya están
solucionadas como cuál es la cantidad mínima de
movimientos necesarios para resolverlo desde cualquier
posición inicial o cuál es el número de permutaciones posibles
por poner algunos ejemplos.

4. Después de que se había inventado,
nadie podía resolverlo y ni siquiera
estaban seguros de que un ser
humano fuera capaz de desatarlo en
absoluto. Llevó un mes encontrar la
primera solución del Cubo Mágico
a pesar de que casi todos los
estudiantes lo estaban buscando en la
Facultad de Artes Aplicadas de
Budapest, donde el inventor, Rubik
Erno, era profesor en 1974.

5. Número de permutaciones
• Una vez conocí a alguien que nunca jugó con Rubik's Cube. Estaba
seguro de que podía resolverlo porque le parecía tan
fácil. "Simplemente giro las caras al azar hasta que se resuelva" - dijo.
• Bueno, no es realmente tan simple. Hay tantos estados posibles de
un Cubo de Rubik de 3x3x3 que nunca podrías terminar de resolverlo
simplemente girando las caras al azar. Incluso un Pocket Cube de
2x2x2 tiene 3.674.160 posibles permutaciones. Esta estrategia no
funcionaría ni para un cubo de 2x2x2.

6. El clásico 3x3x3 tiene muchos más patrones posibles: aproximadamente
cuarenta y tres trillones. Para ilustrar este número, si tuviéramos tantos
Cubos de Rubik de 6 centímetros como permutaciones, podríamos cubrir la
superficie de la Tierra 275 veces.
Para un cubo 7x7x7, este número es aproximadamente 1.95 *
10 160 aproximadamente 19.5 duoquinquagintillion.

7. El número de Dios
▫ El Número de Dios muestra el menor número de
movimientos necesarios para resolver el cubo de
Rubik de 3x3x3 desde cualquier posición de partida
aleatoria.
▫ Desde julio de 2010 sabemos que este número
es 20 , por lo que cada posición puede ser resuelto
en veinte movimientos o menos, teniendo en cuenta
un movimiento en un 90 o ó 180 o giro de cualquier
cara. Este número se calculó gracias a Google, que
donó 36 CPU-años de tiempo de inactividad
informática, resolviendo cada posición del cubo de
Rubik en menos de 21 movimientos.

8. El número de Dios
▫ Esto significa que hemos encontrado la solución de
la lucha "Superflip" en 20 movimientos:
▫ La primera estimación del Número de Dios fue de 52
movimientos en julio de 1981. Entonces este número
fue disminuyendo gradualmente. 42 en 1990, 29 en
2000, 22 en 2008, alcanzando el número final de 20.

9. Grupo de permutación
Matemáticamente, el Cubo de Rubik es un grupo de permutación. Tiene 6
colores diferentes y cada color se repite exactamente 9 veces, por lo que el
cubo se puede considerar como una lista ordenada que tiene 54 elementos
con números entre 1 y 6, cada número significa un color que se repite 9
veces. Podemos rotar las 6 caras del cubo para que podamos definir
6 operaciones básicas o permutaciones que reordenan la lista ordenada de
cierta manera. Repitiendo y combinando estas permutaciones podemos
definir nuevas permutaciones, que reordenan la lista de otra manera. En la
siguiente imagen, puede ver cómo una rotación D reorganiza los elementos
de nuestra lista

11. Ahora veamos por qué el Cubo de Rubik es un
grupo de permutación. En matemáticas, un
grupo de permutación es un grupo cuyos
elementos son permutaciones de la lista
ordenada, y cuya operación de grupo son las
permutaciones que reorganizan el conjunto de
cierta manera. El grupo de todas las
permutaciones de un conjunto es el grupo
simétrico.

12. ▫ Veamos las propiedades de esta
estructura matemática
12

13. ▫ Asociativo : las
permutaciones en la fila
se pueden agrupar juntas:
ej. (RB ') L = R (B'L)
▫ Elemento neutral : hay
una permutación que no
reordena el conjunto:
ej. RR '

14. ▫ Elemento inverso : cada
permutación tiene una
permutación inversa: ej. R
- R '
▫ Conmutativo : la
conmutatividad no es una
condición necesaria del
grupo de permutación,
pero tenga en cuenta que
FB = BF pero FR! = RF

15. ▫ Esta fue solo una
introducción muy breve
en las Matemáticas del
Cubo de Rubik, puedes
encontrar material mucho
más interesante sobre
este tema. Si estás
interesado, te recomiendo
que leas el artículo de WD
Joyner - Matemáticas del
Cubo de Rubik.