1. FLINCIONESTRIGONOM ETRICAS CIRCULARES
que tienen un origen común.
Llamamosángulo a la porción de plano limitada por dos semirrectas
A dicho orisen se le llama vértice.
Si del vértice, O, del ángulo, como centro, trazamos
una circunferenciade radio R cualquiera,llamaremos
medida del ángulo ü (en radianes, (sistema de
numeracióndecima$ a la proporciónentre la longitud
del arco de circunferencialimitado por los lados del
ánguloy el radiode la misma.
Evidentemente medida del ángulo no dependedel radio elegido;(la proporciónentre la longitud
la
y
de la circunferencia el radio de la misma es siempreconstante vale 2n).
y
Segúnlo visto, el ángulo completomedirá 2n radianes, llano n y el recto f
el .
La medida del ángulo tendrá signo positivo si el arco es recorrido en sentido contrario al de las
agujasdel reloj y tendrá signo negativosi el arco es recorrido en el sentidode las agujasdel reloj.
En el primer giro completo, los cuartos de vuelta (principio y fin de los distintos cuadrantes)
t e n d r áv a l o r ers s p e c t i v o s1 % , n , 3 / r , Z n .
n e 0, :
Cuandoel contextoen el que trabajamoses de tipo geométrico
tg
lL
o cartográfico (mapas) la medida de los ángulos se puede
/l'i
(un giro completo
realizar siguiendo el sistema sexagesimal
|
Í--1---r--'l
,/
/ lx- serán360").
r,r/
''-----1---" La equivalencia vendrádadapor la proporción;
entre sistemas
1800- nradia
.$
1
A la circunferenciade radio unidad, tratadadesdeel vértice del ángulo, se le llama circunferencia
goniométrica.En ella, la medidadel ángulo coincide con la longitud del arco que comprendensus
lados.
Razones Definición. Relaciones
trigonométricas. principales:
Consideremos sistemade coordenadas
un cartesianas
y, con centro en su origen, la circunferenciade radio
unidad.
f- Si tomamoscomo fijo el lado 0 r, los distintosgiros a
partir de é1,del lado 0 s, definirán los distintosángulos
cI,.

2. 2
Cada uno de los valoresde cr determinael punto P (x, y) sobrela circunferenciagoniométrica.
Se define como senodel ángulo a (sencr) al valor de la ordenadadel punto P que dicho ángulo
define en la circunferenciagoniométrica.
El cosenodel ángulo cr (coscr) es Ia abscisadel punto P que define el lado móvil del ánguloen la
circunferenciagoniométri
ca.
Al cociente, si existe, entre el seno y el coseno del mismo ángulo o se le llama tangentedel
senü' l
á n g ul o (tg c¿ ),e sd e cirto :
l r: fol
I cos0, I
tl!=g=p'A:tgcr:
Por semejanza triángulos:
de rr.
OM OA
La tangentedel ángulo cr será pues,la ordenada y' del punto P' que define el lado móvil del
desdeA (origen del sistemade ángulos).
ángulocon la rectatangentea la circunferenciatrazada
En cualquiertriángulo rectángulo,de ánguloagudo ü , y por semejanza triángulos,obtenemos
de
S inmediatamente:
A AB (cateto opuesto a )
a
SenU.:SenL::=- " ¡-l
CBa(hiPotenusa)
A AC b (catetocontisuoaa)
COSú:üOSL::=- |---------------- l
BCahipotenusa)
/
: AAB =
tE L ::
f catetoopuestoao l
tscx.
AC b cateto contrguoa cr /
vemosque si P (x, y),
Además,y por aplicacióndel teoremade Pitágoras,
f r"n'.r=1-cos2'
x2+y2=l -------) sen'ü*cos's : l, Vcr =J".(1)
l cos'cr=1-sen'cl
A los inversos, existen, senü, cosü y tgcr se les llama, respectivamente:
si del cosecante
de
(coseco ), secante o (seco ) y cotangente cr (cotgo ), es decir:
de de
1
I
coseccx,-
I,
(si sencr * o) seco : (sicoso +0)
senü, cos c{.
I
cotg cr (si tgo * 0)
tg cr
Si dividimoslos miembros la ecuación(1) por cos' cr se obtiene:
de
I + ts' cx : sec' c¿ (2)
Si dividimoslos miembros la ecuación(l) por sent cr seobtiene:
de
I +cots'cr : cosec'o (3)

3. Signosde las razonestrigonométricas:
Por propia definición se observaque : s>r 5>ú)
<¿O t C7¿
¡b>i)
C<.,
Todas las razonestrigonométricasson positivasen el 1"' cuadrante
En el 2ocuadrantesólo lo son el senoy la cosecante
c<e t c>o
y
En el 3"'cuadrantesólo lo son la tangente la cotangente '
f>o b<o
En el 4ocuadrantesólo lo son el cosenoy la secante.
Relaciónde razonestrigonométricas ángulosdistintos.Reducciónal l"'cuadrante:
de
(suman n ), sean cL y r - cL:
1.- Si dos ángulosson suplementarios
sen : sen n - " ) I
cr (
cosü,:-cos(n-")l =
I
tg a:-tg(n-")
)
- tienen senosigualesy cosenos tangentes
Dos ángulossuplementarios y opuestos.
2 . - D o s á n g u l o s c u y a d i f e r e n c i an (e a
s oy n+o ó cry cr-n):
sencx, - sen + cr) : - sen - ^ )l
: (n ("
coscr,:-cos(n+cr):-cos(ct-n) =
f
tg cr:tg(n+ct):tg(cr-¡) )
9 igualesy senosy cosenos
Dos ángulosque difieren en n tienentangentes opuestos.
,l
3 . - A n g u l o s q u e s u m a2 z ( á n g u l o s o p u e s t o ( a , y 2 n - u
n s) ó ct y - o):
I
senü : - sen(2 7r- cr ) : - sen(-cr
coscr, cos (2 n - a ) : cos (-ct )
:
t g c r= - t g Q l r - ü ) : - t g ( - c ¿)
3 Dosángulos
rdffi-s tienencosenos y y opuestos.
iguales senos tangentes
de y
cambian signosu seno sutangente,
Es decir,al cambiar signoa un ángulo, de que
mientras
goqglgperrnanece
constante.

4. 1l
cuyasuma 1 1ángrlos
4.-Ángulos complementarios) y2 --cx, ):
(ü -
",
ri
sencr:cos11-o¡
coscx,:sen11-o¡
lI
t" ü , : c o t"e21 - a )
s '( )
= Si dos ángulos son complementarios razonesde uno de ellos coinciden con las co-
las
razonesdel otro.
tt
T
cuyadiferencia i ( a y2 - - | - o ¿
,
5.-Ángulos es ' o o(y cI--):
2'
,l
L
senc{,:-cos(1ao s e n c , :c o s l o - ] ¡
2'
cosc{,:sen(1+o)
I coscr:-sen(cr-+)
2'
tg a:-cots(1+c, )) tg cr:-cotgt"-11
2 2'
trigonométricas los ángulos I,
Razones de
" ! v ! @t',30o y 60o):Se obtienen la definición
de
4 6'3
de las razonestrigonométricasde un ángulo agudo en un triángulo rectángulo,al considerarun
para el primero y la mitad de un triángulo equiláteropara los otros.
triángulorectánguloisósceles
LJ'
12 3L2 , LJ'
L 2+ L 2 : d2 -> d: L2:h2+- > ¡2:- =
44 2
rEl t; T c J t h =-:- rrl
sen - : ---;= sen - - sen-:-
a 'lz t 32L 62
la L/z t;
n l : ---v= it I 7t {J
COs - cos-:-:- cos -
a ^lz 2 32L 62
Í rr-h 11 - - nlJt
t* 4 : l
s- t*I n'-t-/z
o",l:J

5. Definición. Gráfica. Propiedades:
Funcionestrigonométricas.
Se define la función f(x): sen x a la función real de variable real que asigna acada valor del
arco, medido en radianes en la circunferencia goniométrica, el valor del seno del ángulo
correspondiente.
-
q
t' !t.).
ot*".- Los valoresde la función (que es
siemprecontinua Vx e 9?), están
tt
-flu
. .,YL
0 entre - 1
siemprecomprendidos
-t y +1.
Es una función periódicade periodo 2n .
Su gráfica recibeel nombrede sinusoide.
La función f(x) : cos x asignaa cadavalor de x (ángulo medido en radianes)el valor del coseno
de dicho ánqrlo.
Tiene las mismascaracterísticas
=cts"
) t*)
de la función (x) = senx .
Susvaloresse encuentran"ade-
lantados" -l respectolos de la
función f(x) = senx .
La función real de variable real que asignaa cada x (ángulo medido en radianes)el valor de la
tangente x, se llama (x):
de tg x .
l
ll
I
l I
I
I I
I
I
I

6. 6
f(x): tg x estádefiniday es continuaparatodo valor de x, exceptopara aquellosen los que
cos x : 0 (múltiplos enterosimparesd" * I
z
l"l
D : 9 i_ 4 x t * = 1 2 k l ')2 :, k e Z l
+ _
t )
Si cos X = 0 , paraesevalor de x, f(x) tiene una asíntotavertical .
Es una función periódicade periodo rt .
A partir de la definición de las funciones trigonométricas, podemos extraer las siguientes
conclusiones:
l.- No existenlas funciones
inversas las funciones
de puesal serperiódicas, distintos
trigonométricas,
valoresde x puedendar la misma f(x).
2.- a.- f(x): senx y g(x) : tg x son funciones
impares:
En efecto, Vx e D I sen(- x) : - senx
t tg(-x)=-tgx
b.- Sin embargo,f(x): cos x es funciónpar pues cos (- x) : - cos x , Vx e D
3.-a.- Si senx:0 -> x:kn, keZ
Si senx= I -) *= 1+2kn. keZ
2
Si senx:- I -+ *:-n +2kn. keZ
2
b.-Si cosx:0 -+ x:(2k+f)1. keZ
¿
Si cosx:1 -+ x:2kx, keZ
Si cosx:_ I _+ x: (2k+ 1)n, keZ
c.- Si tgx:O -+ x:kz, keZ
Expresionesinversas:
inversasde las funcionestrigonométricas(que no son funciones) se les
A las correspondeneias
llama funciones-arco.
Así, si x = seny -+ y: arc senx
si x: cosy -+ y: arc cosx
si x=tgy -) y:arctgx

7. Susgráficasse obtienencomo simétricasde y : sen x y : c o sx y: tg x, respecto la
de
bisectrizdel l"'cuadrante:
¿1 a/.4 .^ ><
)>¿u a-
A
+-%
A
ut-c- teór<
Z--
ttlL
&tl
- 3tt/
(L
Vectores
definen vector Rd, d" origen A y extremo B
Dospuntos B ordenados
Definición: A, el en en
El vector RÉ q.redadefinido puespor:
* Su origen A
* Su dirección:recta,r, que pasapor A y B
t Su sentido:el que asignala orientaciónde origen hacia extremo
* Su módulo: longitud del segmentoe e (por lo tanto, siemprepositivo)
Vectores libres: Diremos que dos vectores AB y CD son equipolentes ( AB ,^' CD ) si ambos
vectorestienen direccionesparalelas igualessentidoy módulo.
e
Si Á; ,u C;, y
al unir susorígenes susextremos,
respectivamente, forma un paralelogramo.
se
c<{"
El conjunto de todos los vectoresequipolentesentre sí recibe el nombre de vector libre, y viene
caracterizado por el módulo, dirección y sentido de cualquiera de los vectores ligados que lo
forman.

8. 8
Se representan por una letra minúscula: ; : * = vector libre formado por los vectores
{ }
--)
e q u i p o l e n t e s a . E v i d e n t e m e n t e , s iB - C D - a = l a g J :
AB A 1CnI
¡-) + f-l
Si a:t nsl = vC lD t a:tcol ,.
oqb
> ,./
,rr;a-
ñ
-"----{-- - ./"
c
libres:
Operaciones vectores
con
f - += l[A B f
-l
I a
l- l-l ' +-+ [-l +
* Suma:Dadosdos vectoreslibres { ' definimos *b= jACl:
a s
l:6 = ltzl l
¡ BC I J
R ttl
l(.)
+
n
l!
I definido po. i y
lu diagonaldel paralelogramo
-) ",
b , llevadosa un origen común.
'>
--)+-
Equivalea trasladarel origen de b al extremode a y unir el origen de a con el extremode b .
+J-++
Propiedades: l.- ¿+$:$+¿
) -+ -) --)
+ + r n- +
2.- a+(b+c):(a+ b)+c = d+b+c
-) f -l + -+ +
3 . - v e c t o r n e u t r o :0 : - u+0 : a
lBBf
tJ
4.- vectoropuesto: ;:
si -) -;: ysecumpliráque
{ñ} {ú}
titJ
+ + f.--l l-rl [--l --)
a + ( - u) : j e B f + l B A f : l A A l : 0
IJIJLJ
tienen igualesmódulo y direcciónrpero
Dos vectoresopuestos sentidoscontrarios.
* Productode un númeroreal por un vector: Dados i , o e B, definimos
,¿"
i
t+
/ s e n t i d o :I e l d e a s i c r > 0
(/
J
Lel contrario a si o < 0
de
t
:
módulo lol'a
l
'-+-)-t-+
Propiedades: l.- o(a+b):cra*crb
+++
2.- (o+F)a: c ra + F a
.
++
3.- (o 0)a : 0(B a ) '- -'i"'
--
4.- 1a: a

9. 9
+ -+
-,)l t+l
Basecanónica:Dadosdos vectores i , j q u e c u m p l a nt: .i J : l j f : i : j : 1 ( m ó d u l1 )
l o
Li l-l (ortogonates)
diremosque forman una basecanónicadel conjunto de vectoreslibres del plano.
++-)-
Va podremosescribir: ax i *av j, recibiendo *yt,
d elnombrede
Jl+ +l
coordenadas a en la base I
de i )J )
+-+-+-)-+-)
Así,si &:&* i +ayj y b:b*i +brj:
-+ -+ -+ -)
I a + b =(a"+b*) i +(ay+ br) j
;f)
i" i +-+-
I ct a:(a a") i +(oar) j
.---
-t!
tienen interésdesdeel punto de vista de las operaciones
Estosresultados con vectores.
* Productoescalarde vectores: Dados i', ü , que formanun ángulo rp, definimos
el producto ivi,
escalar¿" (; real quese
;), al número
t sus por el coseno ángulo
obtienede multiplicar módulos del
iJ -,,.t'-
a'b:abcosg
-+ -) -) -) -) -9 -)
2.- a' (b + c ): a' b +a' c (Distributivorespectoalasuma)
+ -+ + --) -+ -'il
Y'-.1
3.- (c, a )' b: cr(a'b ) = LL'd
+ --) + --)
4.-Siavb*0v a'b:0 =aIb
-+-+--
5.- i.i:j.j:1 y
+-)-) --) + -
Así,si ?:dx i +a, j y b:b,i +btj
-+ -+ -+ -) ,+ -) --) -+-)t-+ ))
a.b =(a* i +a, j )'(b. i +b, j ): a* b" i .i *a*by i 'j +arb, j'i *avbvj.j:
: a" b* * ÍIy by : a b cos <P
+-)-
Aplicaciones: Dadosdos vectores &:2*i+ayj y b:b"i+brj:
--a- 1)
l.- Módulode un vector: como a'a : a'cos0: a , 8 * * o ya r = a i + a l
u=
rft.*fi

10. l0
, JO
2.- Angulo de r vectorel ; ;:a"b"+arbr: abcos q -
--, )
a'b arb" + arb,
c o s( D : r- f il
ab
r / u í * a ' ,I b i + b i
-) -)
a'b
3.- Proyecciónde un vector : como a'b: abcos rp = bcos <p:
a
( --) -)
-t
a'b arb* + arb,
proya b -
-<t + a l) )
L. { a; +a;
Y43 t' = I l.-
-.'., I
__) +
"La proyecciónde b sobre a se obtienecomo valor absolutodel cocientedel productoescalarde
ambosvectoresentreel módulo del vector sobreel que se realizala proyección".
-+;
4.- Vector unitario : Dado el vectora, al vector uu : I se le llama vectorunitariode
a
+
la direccióny sentidode a .
Un vector a queformeun ánguloa con I tendrá
porcoordenadas la base
en {;,1} :
IJ
-)
=
:acoscx, a'i
Iu.
J +-)
: :
u ' a sencr a ' j

11. ll
Transformaciones gonométricas
tri :
Sean uy v vectoresunitarios(u:v:1), que formancon iángulos a y b respectivamente
-) -+ -) -) -)
u: u, i *uvj:cosa i +sena j
' L(+-+-+-+)
,'l V= v*i *vv j=cosbl +senb j
.,--.vu uyv:
Simultiplicamosescalarmente
-
:b ,.-
u'v: 1'l'cos(a-b):cosa cosb*sena senb :
cos (a - b): cos a cos b * sena senb (1)
que cos (- b):
Sabiendo cos b y sen(-b) : - senb, podremos
escribir:
cos (a + b) : cos (a- (- b)) = cos a c o s ( - b ) +s e n as e n - b ) : c o s a c o s b - s e n s e n :
( a b
cos(a+ b) = cosa cosb- sena senb (1')
S a b i e n d o q u e no : c o s 1 1 - a )
se y q u e c o so , = s e n( | - " 1 :
n
sen + b) : cos(( - (a + b) ) : cos(;-
(a ^) - b) : cos(1 - a ) cosb + sen(;- ^) senb :
sen(a+ b) : sena cosb *cos a senb (2',)
sen(a - b) : sen( a + (- b)) : sena cos (- b) + cos a sen(- b) : sena cos b * cos a senb :
sen(a-b) : sena cosb-cos a senb (2)
(2') y (1') podemos
Dividiendolas expresiones escribir:
sen(a+b) - sena cosb+cosa senb
cosa cosb:
, dividiendonumeradorydenominadorpor
cos(a+ b) cosa cosb - sena senb
senacosb cosasenb
*
cosacosb cosacosb tga+tgb
t e ( a'+ b ) :
-o-
cosacosb_senasenb l-tgatgb
cosa cosb cosa cosb
tga+tgb
tg(a+b)= (3')
I -tga tgb
Haciendolo propio con las expresiones(2) V (t) obtendríamos:
tga-tgb
tg(a-b)= (3)
I +tga tgb

12. t2
trigonométricas los ángulos
Funciones de dobley mitad: De (l') y (2'):
sen2a: senacosa*cosa sena:2sena cosa s e n2 a : 2 s e na c o sa (4)
c o s 2 a= c o s a c o s b - s e n a s e n b = c o s t a - s e n t a cos2a: cos'a - sen'a (s)
tga+tga _ 2tga 2tga
tg2a = tg (a + a) tg2a : (6)
l-fga tga l-tg2a 1- tg2a
Paraobtenerlas razonesdel ángulo mitad, tendremos cuenta:
en
13 1d
cos-- + sen-
22r I
> -=- l+cosa
a 1z
s e n -- = -
l-cosa
I 22
De(5) 1- sen2 :
I u)
"ort "o,
Luego: (7)
El signo + ó - será el correspondiente
al
signo de la función trigonométrica que
(8)
corresponda cuadrante que perteneceI
al al
(1)
: (e)
(8)
Transfonnaciones sumasen productos:Del cuerpode fórmulasanteriormente
de vistas:
sen(a+ b) : sena cos b * cos a senb J sen(a + b) + sen(a - b):2 sena cosb
sen(a-b):sena cosb-cosu ,.nUl
cos(a+b):cosa cosb-sena senb)
cos(a-b) : cosa cosb * sena senbJ
>:>
:+
sen(a + b) *sen (a - b):2 cosa senb
cos(a + b) + cos(a - b):2 cosa cosb
c o s( a + b ) - c o s ( a - b ) : - 2 s e na s e n,)
l
hemostransformadolas sumasen productos.
A+B
Sillamamos +b:A
a v a-b:B .entonces a y b: y lastransformadas
+
de las sumasen productospodránexpresarse
como:
A*B A-B
senA*senB:2r"n
2 2
A*B A-B
senA-senB:2"o, ,"n
(ro)
A*B o-"
cosA+cosB:2"o,
22 "o,
A+B A-B
cosA-cosB: -2sen ,.n
22

13. 13
RESOLUCIÓN
TRIÁNGULOS. :
* Teorema coseno:
del Dado un triángulocualquieraABC, y llamando{ÁEt } : ;,
f +l ' f ------>l +
iACi: b y iBCi: a
v e m o s q uÁ d } . { *
{" }: {Áé} = ;:d-;
-
escalarmente consigomismo:
Si multiplicamos a
++++++++)+++
a.a:(b-c).(b-c;= b.b+c.c-2 b.c
a':b'+c' -2bc cosA (t)
"Dado un triángulo cualquiera,el cuadradode uno de sus lados es igual a la sumade los cuadrados
de los otros dos lados, menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo que
comprenden"
Nota.- Si A : 90" ( el triángulo es rectángulo), ( I ) se convierteen el teoremade Pitágoras, que
ya
cos A : 0, a seríalahipotenusay bys los catetos triángulo.
del
* Teoremadel seno: Dado un triángulo cualquiera ÁBC . si trazamosla altura
desdeun vértice cualquiera(por ejemplo C), vemos
que:
h.:bsenA:asenB =
senA senB
Si repetimosla operacióncon la altura h s, tendríamos
que hs:asenC:csenA =
senA senC
a-b:c
por
Podemos, tanto,escribir: (2)
senA senB senC
"Dado un triángulo cualquiera,la proporciónentre la medidade un lado y el senodel ángulo opuestoa
eselado es siempreconstante"
Puede demostrarsefácilmente que el valor de dicha constante coincide con el diámetro de la
circunferenciacircunscritaal triánsulo.

14. l4
En efecto,seael triángulo ABC y la circunferenciacircunscritaa dicho triángulo:
Si trazamosel diámetroque pasapor B y consideramos
los
A -/':}r
triángulosABC y ABC' :
EnABC' = -- ^ (porelT.delseno)
senA senB senC
a
-:- -- - ?"
- R - -+
En ABC': 3 Alr", Ó y Ó' iguales
por
sen90o senC'
c
ser ángulosinscritosque abarcanel mismoarco:>2R -
senC
a - b : c =2R
luego, siendo R el radio de la circunferencia
senA senB senC
.¿>
circunscritaal triángulo ABC
* Área de un triángulo: Dado el triánsulo ABC trazandouna altura desdeun vértice
cualquiera(p. e. desde B), podemos
escribir:
bh"
A: (l)
2
l'¡ ("Area : basepor altura partido por dos")
,f '* ¡
como hs: csenA
"El áreade un triángulo cualquieraes el semiproducto dos de susladospor el senodel ánguloque
de
forman éstos"
Si llamamos p : *+- (semiperímetro triángulo) , y basándonosen las relaciones
del
podemos
trigonométricas, demostrar
:
A- p(p-a)(p-b)(p-c) (3) (Fórmula de Herón)

15. EJERCICIOS
Trigonometría
1.- Si cos*=a y senx<0: ¿senx y tgx? Representaelángulo.
2.- Sitgx:-i y cosx<0: ¿senx y cosx? Representaelángulo.
3.- FORMADECIMALDEL ÁNGULO.
MANEJO CALCULADORA.
DE FORMASEXAGESIMAL
4.- ,"n *: f c o sx = - ' { 1 . t-
e -€ i
uValoresdex?
2 2 ": 3
5.- senx:0 , cosx:0 , tgx:0 , senx:l , cosx:-1, tgx:1 ¿x?
6 . - s i ;: ] i * *i É : 9 ?* nl¿valor es m y n r i iyÉ son
de unitar ios? etac i ón
¿R
2"2
entremyn si iy Ü ,onortogonales?
7 . - D a d oi sz i
: *j v t: i-j, sepide:
l+ll+l++++
a) lal V lbl b ) c o s q ( < p f o r m a d o p o r a y)
b c)proyecciónde sobre yde
a b
++
b sobre a .
++++++-))
8.- a= i+ j , b:2i+m j ¿ m p a r a q u ea y b s e a n o r t o g o n a l e s ? ¿ p a r a q u e f o r m e n 4 5 o ?
9 . - S i f"g a : + n.a< + ¿- t g ( a + + )y t g ( 4- a ) ? ¿ s e(n + ]6)
- ' I "
a y cosI-üt
' (
4 2 6 4
1 0 . - t"e u : - 9 y cosa( 0 ¿ s e n 2 a c o s 2 a , t-g 2
, 2 , ,"n 1?
5 2
l1r 5n 7Í
I l.- ¿,cos
!1?. trigonométricas # (zs')
Razones de | t rs') . I Qz' lo')
" 8 " t2' t2 8
12.- Comprobarsi cos**-senox-2cos2x* I :0
a
13.- tg ; : t e x p r e s a rn l u n c i ó n e t , t g a . s e na . c o sa
e d
z
14.- Conocidossena y cos a ¿sen3a y cos 3a?
si
1 5 . - C o mp ro b a r co s
#: "- *
sen + b) sen - b)
(a (a ttn 21
16- Simplificar b) + c o s 2 a
'l .
", cosa+cosb
16'.- Expresarcomo producto: cos 60o* cos 40o sen40o* sen20o cos 48o* sen 58o
1 7 . - E x p r e s a r c o m o s u ms e n 3 x s e n x
a: sen3x cosx cos3x senx cos6xcos2x
sen5a + sena :
lg.- Demostrar I + 2 cosza
sen3a - sena
t"n u 3I9 s =
19.- comprobar: a) tg I = .
' " u; J9!9 sec2a
2 l+cosa cotga-sena
x x tga : cos 2a
c) tg2 _ : cotg : -2 cotg x
- -2 d) -- ^L
tg2a-tga

16. 2
2 0 . - D e m o s t r a r q u e s iA B C esuntriánguloy senB+senC:cosB*cosC,eltriánguloes
rectángulo.
21.- Seconoceque os::
c -i yque x esdel3"'cuadrante senx ,
¿ cosx?
¿J
22.- Si A , B y C sonángulos un triángulo,
de que
demuestra : cosB
"-#tt
I
23.- Si senx : - y x es del 2ocuadrante ¿sen3x - senx?
z
que tg + : cosec - cotgA
24.- Demuestra A
z
ecuaciones
25.- Resuelvelas siguientes trigonométricas:
a) cos2x*senx:4sen2x
b) sen2xcosx:6sen''x
c) cos2x:5-6cos2x
d) cos 2x - cos 6x : sen5x * sen3x
e) 4sen1 *2cosx : 3
fl senx * sen3x: cos x

17. Triángulos
1.- Un globo estásujeto al suelomedianteuna cuerdade 80 m de largo, de modo que forma con el
suelo un ángulode 45o. ¿Altura del globo?
2.- Desdeun faro colocadoa 140 m sobreel nivel del mar, el ángulo de depresióndesdeel que se
ve un barcoes de 30o.¿A qué distanciadel faro se encuentra barco?
el
3.- Las ramasde un compásmiden 12 cm y el ángulo que forman es de 45o. ¿Áreadelcírculo que
define el compás?
4.- Los lados de un paralelogramomiden 7 y 4 cm y el ángulo cx que comprendencumple que
A,
tga:l ¿Area?
J
5.- Halla el lado y el apotemade un octógonoregular inscrito en una circunferencia radio R: 8
de
6.- Calcula la hipotenusa un triángulo rectángulosi b = 75 cm y la bisectrizdel ánguloagudo C
de
mide 94 cm.
7.- Doble observación
l" A
:i ¿h'i A : 4 5 " y
s B:30'?
AA
{L ¿ h ,s i A : 6 0 o y B = l 5 o ?
tti, t ¡s,.", I I
¿h, paraelcasogeneral t ñ?
Á Rf
8.- Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15 cm . Hallar el cosenoy senodel ángulomenor y el
áreadel triángulo.
g.- R e s o l v e r e l t r i á n g u lA B C s i A : 3 0 o ,
o B =45o y b:
"[,
1 0 . - E n u n p a r a l e l o g r a mA B C D :
o ne:6 cm . Ro: 8 cm y A : 3 0 ' . ¿ D i a g o n a l eá r:e a ?
s
ll.- Las diagonalesde un paralelogramomiden l0 y 6 cm y el ángulo que forman es de 60o.
¿Lados;área?
12.- Dos caminantesque andan arazón de 5 km / h y 4 km / h. Se separan un cruce tomando
en
caminosque forman 30'. ¿A qué distanciase encuentran cabo de dos horas?
al
13.- A, B y C estánunidospor carreteras rectas: eS : O km . BC : 9 km V nA V AC forman
120' ¿DistanciaentreA y C?
1 4 . - Á r e a d e u n t r i á n g u l o sa = 8 m ,
i B:30o y C:45o
15.- Uno de los lados de un triángulo mide el doble de otro y el ángulo comprendidoes de 60o¿los
otros dos ángulosdel triángulo?
16.- De ABC seconóce a= 20 cm , b :22 cm y sen2C : 0'96 ¿senC? ¿cosC?
17.- Calcularlos ladosde un triángulosabiendo área(18 cm2)y los ángulos A: 20' y B :45o
su
f 8 . - R e s u e l ve l t r i á n g u l o A B C s i n = z ü . u : " [ 1 y b : I
e
19.- Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen por radios 9 y 12 cm . Halla el ángulo que
comunes
formansustangentes

18. 4
tienepor lados a , a"[i y 2a . Demostrar el ángulo
20.- Un triángulo que opuesto ladointermedio
al
mide60'
que
HallaAyB sabiendo sen
21.- El ánguloC untriángulomide60'.
de A* senB :
+