Hemos de resolver el caso de circunferencias que pasando por un punto o lugar determinado, son tangentes a dos elementos propuestos cuales son una recta y una circunferencia. Para resolver este problema clásico que se atribuye a Apolonio de Perga, hemos de echar mano de los conocimientos adquiridos sobre transformaciones geométricas, como son la inversión y la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y que aquí ejercen un papel prerponderante.

1. Tangencias: noveno problema de
Apolonio (Exteriores)
Circunferencias tangentes exteriores a una
circunferencia y a una recta, que pasan por un
punto exterior P.

2. Dibujar las circunferencias tangentes exteriores a la circunferencia dada, que pasan
por el punto P y son tangentes a la recta r.

3. Por C trazamos una perpendicular a la recta r. El concepto es el de inversión positiva, por
lo tanto el centro de inversión O estará en un extremo de esa recta y A y A´estarán
alineados con O y al mismo lado de éste. La recta r es la figura inversa de la circunferencia
C ya que ésta pasa por el centro de inversión.

4. Dibujamos la circunferencia de autoinversión que pasa por dos pares de puntos inversos:
AA´y PP´. Para ello trazamos las mediatrices del segmento AP y del segmento A´P.
Arriba a la derecha se muestra como se soluciona el caso de circunferencia que
pasa por tres puntos no alineados.

5. Alineando P con el centro de inversión O, obtenemos P´en la circunferencia de autoinversión,
el punto Q en la circunferencia propuesta y su inverso Q´en la recta r, figura inversa de la
circunferencia propuesta.

6. Desde Q´(centro radical) trazamos la recta tangente a la circunferencia auxiliar o de
autoinversión.Arriba derecha está resuelto este caso básico de tangencias, fundamental
para resolver este problema.

7. Con centro en Q´describimos un arco que nos da los puntos de tangencia
de las soluciones en la recta r. Se trata de aplicar el concepto de potencia
de un punto respecto de tres circunferencias, ya que Q´cumple con dicha condición.

8. Uniendo los puntos de tangencia hallados en la recta r con el centro de inversión O,
obtenemos los puntos de tangencia de las soluciones con la circunferencia propuesta.

9. Por el punto de tangencia en la recta trazamos una perpendicular a la misma,
que se corta con la recta que une el centro
C con el punto T en la circunferencia,
obteniendo así el centro O1 de la
primera solución.

10. La segunda circunferencia se obtiene
del mismo modo que la anterior.