Trigonometría

1. Ing. Pablo Guillermo Torra1
UNIVERSIDADUNIVERSIDADUNIVERSIDADUNIVERSIDAD TECNOLÓGICATECNOLÓGICATECNOLÓGICATECNOLÓGICA NACIONALNACIONALNACIONALNACIONAL
FACULTAD REGIONAL VILLAFACULTAD REGIONAL VILLAFACULTAD REGIONAL VILLAFACULTAD REGIONAL VILLA MARÍAMARÍAMARÍAMARÍA
Tomar conciencia del regalo de la Vida es un asombro. De la calidad de cada día dependerá la calidad
del año. Es verdad que uno también tiene que planificar cosas y elaborar propósitos a mediano y largo plazo,
pero esos proyectos sólo se cumplen en la medida que uno pone todo de sí en cada minuto y en cada día de su
vida.
Hay un lugar para ti. El mundo te necesita. Procura que este día valga la pena.
GUÍAGUÍAGUÍAGUÍA DE TRABAJOSDE TRABAJOSDE TRABAJOSDE TRABAJOS PRÁCTICOSPRÁCTICOSPRÁCTICOSPRÁCTICOS
MATERIAMATERIAMATERIAMATERIA:::: INTEGRACION IINTEGRACION IINTEGRACION IINTEGRACION I
TEMATEMATEMATEMA:::: RESEÑA DE TRIGONOMETRESEÑA DE TRIGONOMETRESEÑA DE TRIGONOMETRESEÑA DE TRIGONOMETRÍARÍARÍARÍA
AÑO 2015AÑO 2015AÑO 2015AÑO 2015
Ing. Pablo Guillermo Torra

2. Ing. Pablo Guillermo Torra2
TrigonometríaTrigonometríaTrigonometríaTrigonometría
La trigonometría (del griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + µετρον
<metron> "medida", "la medición de los triángulos"), es una rama de las
matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de
los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las
funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas
frecuentemente en cálculos técnicos. La trigonometría se aplica a otras
ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas, de la
geometría del espacio, etc.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por
ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas
próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por
satélites.
Fig nº 2.
El Canadarm 2 es un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este
manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del
astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos
ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.
Unidades angularesUnidades angularesUnidades angularesUnidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean generalmente dos unidades, si bien
la más usada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más
utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos.
Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π
radianes. Un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.

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Funciones trigonométricasFunciones trigonométricasFunciones trigonométricasFunciones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para
definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo ,
correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
• El seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
• El coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa
Fig nº 3
• La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Es el cociente entre el seno y el coseno.Es el cociente entre el seno y el coseno.Es el cociente entre el seno y el coseno.Es el cociente entre el seno y el coseno.
Fig. nº 4 Circunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en RadianCircunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en RadianCircunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en RadianCircunferencia en Grado Sexagesimal Circunferencia en Radian
Otras razones trigonométricasOtras razones trigonométricasOtras razones trigonométricasOtras razones trigonométricas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y
tangente, del siguiente modo:

4. Ing. Pablo Guillermo Torra4
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa del seno.
• secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno.
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también el inverso
multiplicativo de la tangente:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un
interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los
términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversasFunciones trigonométricas inversasFunciones trigonométricas inversasFunciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en
radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco.
Si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
Si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
Si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

5. Ing. Pablo Guillermo Torra5
Valor de las funciones trigonométricasValor de las funciones trigonométricasValor de las funciones trigonométricasValor de las funciones trigonométricas
Radián Ángul
o
sen cos tan csc sec ctg
Sentido de las funciones trigonométricasSentido de las funciones trigonométricasSentido de las funciones trigonométricasSentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y
un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la
circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como
punto B.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de
las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que
pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta
a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Fig. nº 5
La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y
dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

6. Ing. Pablo Guillermo Torra6
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrantePrimer cuadrantePrimer cuadrantePrimer cuadrante
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las
variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.
Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente,
mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto
su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta
r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la
recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la
distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el
coseno 0.
Representación gráficaRepresentación gráficaRepresentación gráficaRepresentación gráfica
Fig. nº 6. Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π Radián.

7. Ing. Pablo Guillermo Torra7
Identidades trigonométricasIdentidades trigonométricasIdentidades trigonométricasIdentidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En
trigonometría existen cinco identidades fundamentales:
ssssen γen γen γen γ .... csc γcsc γcsc γcsc γ = 1= 1= 1= 1
cos γ .cos γ .cos γ .cos γ . sec γsec γsec γsec γ = 1= 1= 1= 1
tan γtan γtan γtan γ .... cot γcot γcot γcot γ = 1= 1= 1= 1
tan γtan γtan γtan γ ==== sen γsen γsen γsen γ //// cos γcos γcos γcos γ
sensensensen2222 (γ )(γ )(γ )(γ ) ++++ coscoscoscos2222 (γ )(γ )(γ )(γ ) = 1= 1= 1= 1
AlgunasAlgunasAlgunasAlgunas identidades trigonométricasidentidades trigonométricasidentidades trigonométricasidentidades trigonométricas importantes son:importantes son:importantes son:importantes son:
sen (90 + α) = cos α
cos (90 – α) = sen α
sen (180 – α) = sen α
cos (180 – α) = –cos α
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2
α - sen2
α
sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen β
2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α – β);
2 sen2
(α) = 1 – cos(2α);
2 cos2
(α) = 1 + cos(2α);
sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)cos(α - β)
Teorema del senoTeorema del senoTeorema del senoTeorema del seno
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un
triángulo y los senos de los ángulos respectivamente
opuestos.
Consideramos un triángulo cualquiera ABC, representado en
la Fig. 1, donde los ángulos son designados por las letras
minúsculas griegas y los lados opuestos a los ángulos por la
minúscula latina correspondiente:
• a = BC y α = ángulo formado por [AB] y [AC];
• b = AC y β = ángulo formado por [BA] y [BC];
• c = AB y γ = ángulo formado por [CA] y [CB].
Entonces, Fig nº 7
,

8. Ing. Pablo Guillermo Torra8
Teorema del cosenoTeorema del cosenoTeorema del cosenoTeorema del coseno
Fig. 8 - Notaciones habituales en un triángulo cualquiera.
El teorema del coseno es un teorema de geometría de los triángulos comúnmente utilizado en
trigonometría. Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos: relaciona
el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos
lados.
Sea un triángulo ABC, en el cual utilizamos las notaciones habituales expuestas en la figura 1: por una
parte α, β y γ para los ángulos y, por otra parte, a, b y c para los lados respectivamente opuestos a estos
ángulos. Entonces, el teorema del coseno se enuncia de la siguiente manera:
El teorema y sus aplicacionesEl teorema y sus aplicacionesEl teorema y sus aplicacionesEl teorema y sus aplicaciones
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya
que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo γ es recto, o dicho de otro modo
cuando cos γ = 0, el teorema del coseno se escribe:
El teorema se utiliza en triangulación para:
• determinar el tercer lado de un triángulo donde
conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
Fig nº 9
• encontrar los ángulos de un triángulo donde conocemos los tres lados:

9. Ing. Pablo Guillermo Torra9
Problemas de TrigonometríaProblemas de TrigonometríaProblemas de TrigonometríaProblemas de Trigonometría
Encuentra los datos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos y calcula la superficie en cada
caso.
1) Datos: c = 25,40 m; β = 63º38’42”
Rta: a = 11,28 m; b = 22,76; α = 26º21’18”; Area = 128,37 m2
.
2) Datos: b = 11,00 cm; β = 72º05’12”
Rta: a = 3,56 cm; c = 11,56; α = 17º54’48”; Area = 19,58 cm2
.
3) Datos: c = 49 km; b = 30 km
Rta: a = 38,74 km; α = 52º14’53”; β = 37º45’07”; Area = 581,1 km2
.
4) Datos: b = 100 cm; a = 30 cm
Rta: c = 105 cm; α = 16º41’59”; β = 73º18’22”; Area = 1500 cm2
.
5) Datos: Area = 546,86 m2
; b = 74 m
Rta: a = 14,78 m; c = 75,46; α = 11º17’43”; β = 78º42’17”
6) Calcular qué longitud debe tener una escalera para que apoyada en la pared, alcance una altura
de 2,85 m al formar con el plano de la base un ángulo de 58º1’.
Rta: 3,36 m
7) Calcular la superficie de un campo rectangular sabiendo que un alambrado que lo atraviesa
diagonalmente tiene una longitud de 649m y forma con uno de los lados limítrofes un ángulo de
37º26’.
Rta: 203298,71 m2
.
8) ¿Cuál es la pendiente de un alambre de 253 m, que une dos puntos cuya altitud sobre el nivel
del mar son 846 y 905 m respectivamente?
Rta: 0,2398.
9) Calcular la sombra que proyecta una varilla vertical de 90 cm, cuando la oblicuidad de los rayos
solares es tal que forma con el horizonte un ángulo de 67º45’20”.
Rta: 36,81 cm.
10) Una de las diagonales de un rombo es de 30 cm y forma con uno de los lados un ángulo de
25º42’11”. Calcular la otra diagonal y el perímetro del rombo.
Rta: diagonal: 14,44 cm; perímetro: 66,59 cm2
.
11) La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina sobre ella dos
segmentos de 2,5 cm y 4,9 cm respectivamente. Calcular cada uno de los ángulos agudos del
triángulo rectángulo.
Rta: α = 35º32’16”; β = 54º27’44”.

10. Ing. Pablo Guillermo Torra10
12) La sección normal de un techo de dos aguas es un triángulo isósceles de 3,80 m de altura y un
ángulo de base de 38º15’20”. Sabiendo que el largo de cada una de las alas del techo es igual a
tres veces el ancho de la misma. Calcula la superficie del techo.
Rta: 225,99 m2
.
13) La superficie de un triángulo equilátero es de 8 m2
. Calcula la altura.
Rta: 3,72 m.
14) Un edificio proyecta sobre el piso una sombra de 108,5 m de longitud cuando el ángulo de
elevación del edificio desde el fin de la sombra es de 25º40’ (este ángulo es también el ángulo
de elevación del sol). Encontrar la altura del edificio.
Rta: 51,14 m.
15) Se requiere determinar la superficie de un terreno rectangular de 10 m de ancho. Para ello se
mide el ángulo que forma la diagonal con el lado antes citado: 78º10’.
Rta: 477,28 m2
.
16) La bisectriz del ángulo recto de un triángulo determina sobre la hipotenusa dos segmentos de
350 m y 201,53 m. Calcula los ángulos agudos del triángulo rectángulo dado.
Rta: α = 29º56’; β = 60º04’.
17) En un triángulo la base es de 90 cm y los dos ángulos agudos adyacentes son de 27º21’ y 52º13’,
respectivamente. Calcula la altura correspondiente a la base.
Rta: 33,228 cm.
18) Dos observadores situados a una distancia de 1000 m dirigen sendas visuales a un punto notable
de una nube, sabiendo que los dos observadores y el punto están en un mismo plano vertical y
que los ángulos de elevación son de 53º30’20” y 79º12’40” respectivamente. Calcula la altura
de dicho punto.
Rta: 1074,84 m.
19) Un pararrayos está en la parte más alta de un edificio. Un observador situado a una cierta
distancia dirige una visión horizontal al edificio y otro al extremo superior del pararrayos,
dichas visuales forman un ángulo de 17º25’20”. Se aleja sobre terreno horizontal 30 m de la
observación anterior y al dirigir otra vez una visual horizontal al mismo y una visual al extremo
superior del pararrayos, éstas forman un ángulo de 13º14’40”. Sabiendo que las visuales
horizontales de ese observador se hallan a una altura de 1,60 m. Calcula la altura a que se
encuentra el extremo superior del pararrayos.
Rta: 29,85 m.
20) Un poste telegráfico está situado a 3 m de la orilla de un canal. En la margen opuesta hay un
observador que dirige una visual horizontal al poste y otra al extremo superior del mismo. Estas
visuales forman un ángulo de 23º30’. Se aleja del canal 15 m y dirige otra vez una visual
horizontal al poste y otra al extremo superior. Estas determinan un ángulo de 7º25’40”. Calcular
la altura del poste y el ancho del canal sabiendo que las visuales se hallan a una altura de 1,62 m
y que el poste y las dos posiciones de observación se hallan sobre una perpendicular a las
márgenes del canal.
Rta: altura: 4,414 m ; ancho: 3,42 m.

11. Ing. Pablo Guillermo Torra11
21) Una rueda de 55 cm de diámetro asciende por un plano inclinado, que forma un ángulo de
23º52’30” respecto de la horizontal. ¿A qué altura se halla el centro de la rueda cuando ésta ha
recorrido dos vueltas y media?
Rta: 202,34 cm.
22) Se circunscribe un triángulo equilátero a una circunferencia de 15 m de radio (el triángulo es
externo a la circunferencia). ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
Rta: 155,88 m.
Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo encontrando las longitudes y ángulos queResuelve el siguiente triángulo oblicuángulo encontrando las longitudes y ángulos queResuelve el siguiente triángulo oblicuángulo encontrando las longitudes y ángulos queResuelve el siguiente triángulo oblicuángulo encontrando las longitudes y ángulos que
faltan.faltan.faltan.faltan.
23) Datos: a = 125,00 m; α = 54º40’; β = 65º10’
Rta: b = 139,05 m; c = 132,92 m; γ = 60º10’
24) Datos: b = 215 m; c = 150 m; β = 42º40’
Rta: a = 299,74 m; α = 109º6’53”; γ = 28º13’7”
25) Datos: a = 24,5; b = 18,6 m; c = 26,4 m
Rta: α = 63º12’30”; β = 42º39’47”; γ = 74º07’43”
26) Datos: a = 21,47 m; b = 17,02 m; γ = 78º41’
Rta: c = 24,64 m; α = 58º42’; β = 42º37’
27) Un faro está situado a 10 millas al noroeste de un muelle. Un barco sale del muelle a las 9:00 hs
y navega hacia el oeste a razón de 12 millas por hora. ¿A qué hora se encontrará a 8 millas del
faro?.
Rta: a las 9 hs 16 min y 9 hs 54 min.
28) Un patio de forma irregular está limitado por cuatro paredes de 6,0 m; 9,8 m; 4,0m y 5,0 m
respectivamente de longitud. El ángulo que forman las dos primeras es de 45º. ¿Cuál es la
superficie del patio?.
Rta: 31,05 m2
.