2. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del
arco que se opone.
A
r
C 
r
B
 = mAB

3. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos opuestos
A D

C
B
mAB  mCD

2

4. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco
opuesto.
A
B

C
mAB

2

5. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco
opuesto.
A
C

B
mAB

2

6. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida
del arco ABC.
A

C B
mABC

2

7. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la
semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
A mACB - mAB

2
C  O
B
 + mAB = 180°

8. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de
la medida de los arcos opuestos.
B
C
 O
D
A
mAB - mCD

2

9. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.-
Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
B
 O
C
A
mAB - mBC

2

11. Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la
tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el
ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x mQRS
Se traza la cuerda SQ mPQS 
2
Q P Reemplazando:
50°
70º+x 140º 2x
2X mPQS   70º  x
2
En el triángulo PQS:
R X + (X+70) + 50° = 180°
X
Resolviendo la ecuación:
S 140°
X = 30°

12. Problema Nº 02
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la
tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un
punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si
mHRS=20º; calcule la mQPR.
RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS
PSQ = x
m  S = 70º
Q Por ángulo inscrito
mQR
70 º  mQR = 140°
2
S 70° 140° Es propiedad, que:
X
20° P
140° + X = 180°
R Resolviendo: X = 40°

13. Problema Nº 03
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las
secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean
perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si
el arco AD mide 130º.
RESOLUCIÓN
Medida del ángulo interior
APD = x
A 130  mBC
 90 mBC = 50°
2
B Medida del ángulo exterior
130° 130  50
50° X
x P 2
Resolviendo:
C
D
X = 40°

14. Problema Nº 07
Calcular la medida del ángulo “x”
A
130º X P
B
Resolución

15. A RESOLUCIÓN
260º X P
130º C
B
mAB
Medida del ángulo inscrito: 130º  mAB = 260º
2
En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mACB = 100º
Por la propiedad del ángulo exterior
mACB + x = 100º X = 80º
formado por dos tangentes:

16. Problema Nº 08
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
B
2
A C
5 5
Resolución

17. RESOLUCIÓN
B
a 2 b
A C
5 5
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
a + b = 14 (1)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2)
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 (2p) = 24

18. Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los
arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º,
calcular mQPR .
PLANTEAMIENTO
Q
a
80º X P
R
S
Resolución
a

19. RESOLUCIÓN
Q
a
80º X P
R
En la circunferencia:
S
2a + 80º = 360º
a a = 140º
Medida del ángulo exterior:
a  80º 140º 80º
X  X = 30º
2 2

20. Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la
diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden
3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero
PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR
Q
PLANTEAMIENTO
3
R
P
2
Resolución
S

21. Q
RESOLUCIÓN
Dato: a 3 b
a + b + c + d = 22cm
R
P
2
c
d
Teorema de Poncelet:
S
PQR  a + b = PR+2(3) +
PSR  c + d = PR+2(2)
a +b + c + d = 2PR + 10
22 = 2PR + 10 PR = 6cm