trigonometria

1. TRIGONOMETRÍA
Prof. D. Agustín Cabañó.
1
27/12/2023

2. INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
2

3. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no
se puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir
del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
3

4. Sombra del árbol grande (S)
H
h
S. árbol
pequeño (s)
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
h
S
s
O
A’
A
B’
B
k(razón deproporcionalidad)
OA' AA'
OB' BB'
s h
S H
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
y
4

5. Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r,
segmentos
determinan también
iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
O
A’
A
B’
B
AB A'B'
OB OB'
o tambien
OA OA'
OB OB'
TEOREMA DE TALES
O
A’
A
B’
B
C’
D’
E’
E
D
C
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’
5

6. Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 /2
6

7. Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3
7

8. Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal 66g66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
3 4
2
3
3
10
7
6 2
5
6
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’
171º
53’14”
S. centesimal 155g
55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
Radianes
14
18
7
4
7
8
9
20
4
3 8
3
8

9. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
senCˆ
A"B"
cotgCˆ
BC B'C B"C
AB A'B' A"B"
BC B'C B"C
A
C
A'C A"C
AC A'C A"C
AB A'B' A"B"
cosecC
ˆ
cosCˆ
BC B'C B"C
AC A'C A"C
tgC
ˆ
AC A'C A"C
BC B'C B"C
AB A'B' A"B"
secC
ˆ
C
A”
B”
B
A A`
AB A'B'
B` Los triángulos ABC,A’B’C y A”B”C son semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :
9

10. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN
ÁNGULO AGUDO
hipotenusa
cateto opuesto c
a
hipotenusa
cateto adyacente b
a
cosCˆ
a
cateto opuesto c
hipotenusa
cosecC
ˆ
a
cateto adyacente b
hipotenusa
secC
ˆ
cateto opuesto c
cateto adyacente b
tgC
ˆ cateto adyacente b
cateto opuesto c
cotgCˆ
1
cosCˆ
secC
ˆ
1
senCˆ
cosecC
ˆ
tgC
ˆ
1
cotgCˆ
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
C
A
senCˆ
B
a
c
Cateto adyacente o contiguo a C
b
10

11. 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
c
a
senCˆ
b
a
cosC
ˆ 1
senC
ˆ
a
a
c
a
cosecC
ˆ
1
cosC
ˆ
a
a
b
a
a
c
a
b
secC
ˆ
senĈ
cosC
ˆ
c
a
b
a
c
b
ˆ
tgC
cosC
ˆ
senĈ
b
a
c
a
b
c
cotgCˆ
Sea ABC un triángulo rectángulo enA.
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
1
secC
ˆ
ˆ
cosCˆ
1
cosecC
ˆ
senC
1
tgC
ˆ
ˆ
cotgC
senĈ
cosĈ
tgC
ˆ
cosĈ
senĈ
cotgCˆ
11

12. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60
A B
C
Sea ABC un triánguloequilátero
H
l
l
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulosmide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo Bmide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular x en función de l, aplicandoel
2
l
x2
l2
2
Tª de Pitágoras
x l
l2
4
2
2
l2
4l2
4
x
x2
4
3l2
2
4
x
3l2
l 3
2
x
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2
12

13. 16
B
C
H
l
l/2
2
l 3
60º
30º
l 3 3
2l 2
2
1
cos60º
sec60º
2
3
cosec 60º
1
sen 60º
3
3
1
3
cotg60º
1
tg60º
l 3
2
l
l
2 l 1
l 2l 2
sen60º
cos60º
3
2 3
2
3
2
1
2
tg60º
sen60º
cos60º
l
2 l 1
l 2l 2
sen30º
l 3 3
2l 2
l 3
2
l
1
2 2 1 3
3 2 3 3 3
2
cos30º
tg30º
2
1
sen30º
cosec30º
2
3
sec30º
1
cos 30º
cotg30º
1 3 3 3
3
tg30º 3 3
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
13

14. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
Sea ABCD uncuadrado
l
l
x
45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulosmide
En el triánguloABC, rectángulo en B, el ánguloA mide
Trazamos la diagonalAC
90º
x2
l2
l2
Podemos calcular x en función de l, aplicandoel
Tª de Pitágoras
2 l2
x2
x 2 l2
x l 2
45º y el ángulo C mide 45º
A B
C
D
l
A B
C
l
45º
14

15. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
SeaABC un triángulo rectánguloABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
y
2
α
B
C
b
a
c
2
cos
)
2
sen(
sen
c
a
b
a
2
cos
cotg
c
b
2
tg
A
cosec
1
2
cos
1
2
sec
sec
cos
sen
1
sen
1
2
cosec
tg
cot g
1
2
tg
2
1
2
cot g
15

16. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA
TRIGONOMETRÍA
α
A
B
C
b
a
c
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b2
c2
a2
Si dividimos la expresión anterior por a2
b2
c2
a2
a2
a2
a2
Expresándolo de otra forma:
1
c
a
b
a
2
2
sen 2
cos 2
1
O lo que es lo mismo:
sen2
cos2
1
sen2
cos2
1
Que normalmente expresaremos
de la forma:
16

17. R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
sen
cos
sen
sen
sen
sen Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º elseno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lotanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1
radio=1
P(x,y)
O X
Y
17

18. CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
18
 Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
 sistema de coordenadas
Uno de los lados del ángulo
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.

19. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA
y
radio
ordenada y' y
r 1
sen
x
radio
abscisa x' x
r 1
cos
abscisa
ordenada y' y
x' x
tg
X
Y
O
a
1
P(x,y)
Q(x’,y’)
r
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)
19

20. VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
+ +
_ _
SIGNO DEL SENOY
DE LA COSECANTE
_
_ +
+
SIGNO DEL COSENO
Y DE LASECANTE
1 sen 1 cosec
sec 1
cotg
1 cosec 1
1 cos 1
sec 1
tg
+
_
+ _
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE
20

21. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a
A
180º-a
-1
-1
X
Y1
O 1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º- a
A’
a
x
y
-x
y
y
sen 180º sen
x
cos 180º cos
y
x
tg 180º
y
x
tg
sen
sen cos
cos tg
tg 180º
21

22. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a
A
-1
-1
X
Y1
O 1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º+a
A’
180º+a
a x
y
-x
-y
sen
sen 180º y
cos 180º x cos
tg 180º
y y
x x
tg
sen
sen cos
cos tg
tg
22

23. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
-1
-1
X
Y1
O 1
300º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
sen300º sen60º
2
3
cos300º cos60º
tg300º tg60º
1
2
3
sec300º 2
3
2 3
cosec300º
3
3
cotg300º
23

24. 38
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
-1
-1
X
Y1
O 1
315º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
tg315º tg45º 1
sen315º sen45º
2
cos315º cos45º
2
2
2
sec315º 2 2
cosec315º cotg315º 1
24

25. 39
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º
(las mismas que las de –30º)
-1
-1
X
Y1
O 1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
sen330º sen30º
cos330º cos30º
2
1
2
3
tg330º tg30º
3
3
3
2 3
sec330º cosec330º 2 3
cotg330º
25

26. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
A
-1
-1
X
Y1
O
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 360º- a
360º-a
a
a x
y
1
-y
A’
sen
sen 360º y
cos 360º x cos
x
y
tg 360º
y
x
tg
sen
sen 2 cos
cos 2 tg
tg 2
26

27. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS
A
-1
-1
X
Y1
O 1
En la circunferencia
goniométrica dibujamos a y - a
A’
a
-a x
y
-y
sen
sen y
cos x cos
y
x
tg
y
x
tg
sen
sen cos
cos tg
tg
27

28. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA
a
A
-1
-1
X
Y1
O 1
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
ángulo a
x
y
sen 2 sen
cos 2 cos
tg 2 tg
sen
sen 360º cos
cos 360º tg
tg 360º
2k , k
360ºk, k
2p+
28

29. -1
-1
X
Y1
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
a
A
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 270º+ a
A’
270º+a
x
y
cos
sen 270º x
cos 270º y sen
y
tg 270º
x x
y
cotg
y
-x
cos
2
sen
3
sen
2
cos
3
cotg
2
3
tg
29

30. -1
-1
X
Y1
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 90º- a
A’
x
y
cos
sen 90º x
cos 90º y sen
x
y
tg 90º cotg
90º-a
a
y
x
cos
sen
2
sen
2
cos cotg
2
tg
30

31. SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
-1
-1
1
Y
O 1X
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
31

32. COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1 cosen 90º = 0
-1
-1
1
Y
O 1X
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a1.
cosen 360º = 1
32

33. TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º + ∞.
-1
-1
1
Y
O 1X
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º - ∞ tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º - ∞ tg 360º = 0
33

34. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
2
3
2
2
6 4 3
2 3 5
3 4 6
7 5 4
6 4 3 3 4 3
5 7 11
1
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
a
sen a
1
2
1
2
3 2 1
2 2 2
1 2 3
2 2 2
3 2
2 2
2 3
2 2
0 1 0 0 51
1
6 4 3 2 2
3
2
2 3 5
3 4 6
7 5 4
6 4 3
5 7 11
3 4 3
0
34

35. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
35

36. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
6 4 3 2
2
3 4 3
5 7 11
2 3 5
3 4 6
7 5 4
6 4 3
1
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
2
3
a
COS a
1
2
1
2
1
2
1
2
2 3
2 2
2 3
2 2
3 2
2 2
3 2
2 2
0
1 0
1
1
6 4 3 2 2
3
2
2 3 5
3 4 6
7 5 4
6 4 3
5 7 11
3 4 3
0
36

37. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
37

38. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
1
2 2
3 2
6 4 3 3 4 6
2 3 5
6 4 3
7 5 4
3 4 3
5 7 11
0
3
3
3
3
1
3
3
38

39. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
39

40. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
1
2
3
2
2
6 4 3
2 3 5
3 4 6
7 5 4
6 4 3 3 4 3
5 7 11
0
3
3
3
3
1
3
3
40

41. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
41

42. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
1
1
2 2
3 2
6 4 3 3 4 6
2 3 5
6 4 3
7 5 4
3 4 3
5 7 11
0
42

43. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
43

44. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
1
1
2
3
2
2
6 4 3
2 3 5
3 4 6
7 5 4
6 4 3 3 4 3
5 7 11
0
44

45. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
45

46. SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
P
B
sen
OB
cos OB cos sen
OB sen
OB
sen cos cos sen
sen
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulob.
TrazamosAB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectánguloOPB.
Trazamos MN y BM.
BP AM AN
OB OB
AB cos OA sen
46

47. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
P
B Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulob.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectánguloOPB.
Trazamos MN y BM.
cos
OB
cos OB sen sen
OB cos
OB
OP ON NP ON BM
OB OB OB
OA cos AB sen
47

48. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
(otra forma de deducir la fórmula)
cos
cos cos sen sen
sen
2 2
sen
sen
2
sen
cos cos
2
sen
sen
2
cos cos sen
cos cos cos sen sen
48

49. TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
tg cos cos sen sen
sen cos cos sen
cos cos cos cos
cos cos sen sen
cos cos cos cos
sen cos cos sen
1 tg tg
tg tg
sen cos cos sen
cos cos sen sen
tg tg
1 tg tg
sen
cos
tg
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.cosb
Simplifi-
cando
cos
sen
49

50. R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen sen sen cos cos sen
1
cos sen
cos sen
sen cos
sen cos
cos
cos cos cos sen sen
cos cos sen sen
cos cos sen sen
tg
tg
tg
tg
1 tg tg
tg tg
tg
1 tg tg
1 tg
tg tg
50

51. R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
tg
sen
sen
cos
cos
tg
1 tg tg
sen cos cos sen
sen cos cos sen
cos cos sen sen
cos cos sen sen
1 tg tg
tg tg
tg tg
51

52. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
tg
sen2 sen sen cos cos sen
cos cos cos sen sen
cos2
2 sen cos
cos2
sen2
tg2
tg tg 2tg
1 tg tg 1 tg2
sen2
cos2
tg2
2 sen cos
cos2
sen2
2tg
1 tg2
52

53. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
cos2
tg
sen2
1 sen2
sen2
1 2sen2
cos2
2sen2
sen2
1 cos2
1 cos2
2
sen
cos2 sen2
cos2
1 cos2
1 cos2
cos2
2cos2
cos2 1 cos2
2
cos
1 cos2
2
2cos2
1
1 cos2
2
1 cos2
1 cos2
2
sen
2
1 cos
2
1 cos
2
cos
1 cos
1 cos
tg
2
53

54. TEOREMA DEL SENO Los lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos.
a b c
sen senB̂ senĈ
a senBˆ
b senA
ˆ
a b
senA
ˆ senBˆ
hA b senCˆ
hA c senBˆ
b senCˆ c senBˆ
c
b
senBˆ senCˆ
hC
hA
C
B
A
Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:
a
b
c H
El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
AHC y BHC son rectángulos.
Los triángulos
Entonces:
hC b sen A
ˆ
hC a senBˆ
54

55. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
2R
a b c
sen senB̂ senĈ
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
A
a
C
B
A’
2R
a 2R 2R
senA
ˆ' sen90º 1
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
2R
a a
senA
ˆ senA
ˆ
'
55

56. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
hC
C
B
A
a
b
c H
La superficie del triángulo ABC es:
c
S
1
c h
2
En el triángulo AHC :
b
senA
ˆ hC
h b sen A
ˆ
C
Sustituyendo en la primera expresión:
S
1
c b senA
ˆ
2
56

57. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
 Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de
radio R. La superficie del triángulo ABC es:
 S
1
c
b senA
ˆ2
 C
 Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión: B
A
a
b
c
R
2R
a
senA
ˆ 2R
a
senA
ˆ
2R
a
S
1
c b
2
a b c
4R
S
57

58. 81
TEOREMA DEL
COSENO
h
C
B
A
a
b
c
m c-m
H
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
m2
m 2
2cm
a2
h2
c
h2
c2
(enAHC)
m2
m2
2cm
2cm
b2
m2
c2
b2
m2
c2
b2
c2
(Como en AHC
2cm
m = b . cosA) 2bc cos A
ˆ
2ac cosBˆ
2ab cos C
ˆ
a2
b2
c2
b2
a2
c2
c2
a2
b2
Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos lados por
el coseno del ángulo correspondiente
58

59. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
Por el Tª del coseno
La superficie del triángulo ABC es:
2
S
1
c b senA
ˆ
sen2
A
ˆ
2S c b senA
ˆ
4S2
cos2
A
ˆ
2bc
ˆ
cosA
b2
c2
a2
2
c2
4 b2
b2
c2
a2
1 cos2
A
ˆ
c2
b2
c2
b2
2
c2
a2
c2
b2
c2
b2
c2
b2
c2
b2
b2
b2
4 c2
4
2bc
2bc b2
c2
a2
4
b2
c2
a2
4
b
b c 2
a2
a2
c 2
hC
C
B
A
a
b
c H
59

60. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
Si a+b+c=2p
La superficie del triángulo ABC es:
2S c b senA
ˆ
ˆ
2
4S2
c2
b2
sen A ...
4
4
2p 2 p a 2 p c 2 p b
S2
4p p a p c p b
p p a p c p b S p p a p b p c
b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
(p será el semiperímetro)
FÓRMULA
DE HERÓN
hC
C
B
A
a
b
c H
4
b c a b c a a b c a b c
b
S
1
c b senA
ˆ
b c 2
a2
a2
2
c 2
60

61. 61

62. 62

63. 63