Actividades reveladoras del pensamiento(Fotografías)

Actividades reveladoras del pensamiento:
Una alternativa para desarrollar competencias
matemáticas en alumnos del nivel medio
superior para un curso de Matemáticas

Tesista: Lic. Fernando Hernández Reyes
Profesor titular: Dra. Ángeles Domínguez Cuenca
Profesor tutor: Mtra. Adriana del Carmen Cantú Quintanilla
Escuela de Graduados en Educación del Tecnológico de Monterrey

18 de Noviembre de 2011
1

Introducción
 Hoy en día, la RIEMS ha traído consigo diversos retos para las instituciones
educativas debido a su propuesta de una educación por competencias.

Introducción
 En el sector curricular de Matemáticas, ha exigido a los docentes innovar en
la manera en que organizan y dirigen sus cursos para crear verdaderas
experiencias de aprendizaje significativo.

Introducción
 En el estudio realizado, se pudo comprobar que las actividades reveladoras
del pensamiento o Model-Eliciting Activities (MEA) resultan ser una
alternativa que permiten desarrollar competencias matemáticas en alumnos
de este nivel educativo y apoyar la evaluación formativa.

Antecedentes
 ¿Qué se sabe de las Model-Eliciting Activities (MEA)?
1. Que son actividades de modelación matemática en la que los alumnos,
reunidos en equipos de trabajo, construyen y aplican un modelo para
resolver situaciones reales (Lesh, Hoover, Hole, Kelly y Post, 2000).

Antecedentes
2. Que se han establecido seis principios para diseñarlas:
• Principio de construcción de modelos.
• Principio de realidad.
• Principio de documentación.
• Principio de autoevaluación.
• Principio de reutilización y transmisión.
• Principio del prototipo eficaz.

Antecedentes
3. Que han sido utilizadas en diversos cursos de nivel superior como:
a) Diefes-Dux y Verleger (2009) para reflexionar acerca de la
capacidad de los estudiantes de ingeniería para cumplir con los
últimos dos principios.
b) Diefes y Salim (2009) para identificar la manera en cómo aprenden
los estudiantes de ingeniería a través de las MEA.
c) Domínguez (2009) para presentar las ventajas de emplear MEA
dentro de la evaluación formativa en un curso de ingeniería.
d) Aliprantis y Carmona (2003) para analizar el pensamiento que
revelan los estudiantes de nivel educativo básico.

Objetivos
 Objetivo general: Desde la Teoría de los Modelos Mentales de Johnson-
Laird (1983), identificar los modelos mentales y las competencias que
desarrolla el alumno del nivel medio superior cuando construye modelos
matemáticos en las MEA.

Objetivos
 Objetivos particulares:
 Identificar y describir los modelos mentales que emplean los estudiantes
para modelar matemáticamente una situación problemática.
 Reflexionar acerca del uso de actividades de modelación como
actividades de aprendizaje y de desarrollo de competencias, con el fin de
establecer su utilidad dentro de un curso de matemáticas de bachillerato.
 Determinar el grado de viabilidad de la innovación que representa el uso
de MEA en el nivel medio superior.
 Validar los aspectos surgidos del trabajo con las MEA, susceptibles a ser
utilizadas en otros cursos o instituciones.

Pregunta de investigación
 El estudio pretendió responder a la pregunta:
¿Cuáles son los modelos mentales, los conocimientos y las
competencias que manifiesta un alumno que participa en MEA dentro de
un curso de matemáticas en el nivel medio superior y cómo los revela?

Limitaciones del estudio
 El estudio estuvo limitado a:
 Los alumnos de cuarto semestre de la institución de estudio.
 Tres grupos de dicha generación que cumplieran con los criterios de
inclusión y de exclusión descritos en la metodología.
 Ser realizado durante el calendario 2011A, de los meses de febrero a
abril.
 Ser implementado al final de los módulos temáticos de modelación
lineal y cuadrática, del curso de matemáticas.
 Las limitaciones espaciales de la institución.

Metodología
 Tipo de estudio:
 Enfoque mixto, predominantemente cualitativo.
 Diseño de investigación-acción educativa (Elliott, 2000)
 Participantes:
 El profesor que implementó las MEA.
 Los alumnos de los tres grupos seleccionados.
 Fuentes de recolección de datos:
 Resultados de los instrumentos de selección de grupos de trabajo.
 Evidencias del trabajo de los alumnos.
 Notas de campo.
 Focus group.
 Instrumento de autoevaluación y coevaluación.

Recolección de datos
 Para esta etapa, se aplicó un diseño de muestreo probabilístico por racimos:
 Primera fase. Selección de los grupos de trabajo.
 Participantes:
 383 alumnos de los 12 grupos de cuarto semestre.
 Instrumentos utilizados:
 Examen de conocimientos de medio término del curso:
 Elaborado por el profesor de acuerdo con los temas del mismo.
 41 % de confiabilidad con el método K-R20 (Kuder y Richardson,1937).
 Test psicométrico Dominó o D48:
 Elaborado por Edgar Anstey en 1944.
 85% a 91% de confiabilidad con el método factorial (Costa, 1996).
 Con los resultados se eligieron tres grupos: uno de puntaje mayor, otro de
puntaje menor y otro de puntaje promedio.

 Después de seleccionar a los tres grupos de trabajo:
 Segunda fase. Implementación de las MEA.
 Participantes:
 104 alumnos de los 3 grupos seleccionados.
 Evidencias del trabajo de cada uno de los 26 equipos que se
conformaron en total:
 8 equipos del grupo con menor puntaje.
 9 equipos en los grupos con mayor puntaje y puntaje promedio.
 Notas de campo:
 Elaboradas por el profesor aplicador.
 Instrumento de autoevaluación y coevaluación.

 Después de finalizar la implementación, se eligieron dos equipos para:
 Tercera fase. Focus group.
 Participantes:
 24 alumnos de los 3 grupos seleccionados.
 Lista de preguntas de profundidad para cada grupo:
 2 equipos de cada uno seleccionados bajo un muestreo
teórico intencionado

Análisis de datos
 Para analizar los datos se aplicaron las siguientes técnicas:
 Para los resultados de la primera fase:
 Obtención de estadísticos descriptivos de cada instrumento.
 Análisis hermenéutico apoyado con diagramas de caja y bigote.
 Para los datos obtenidos en la segunda fase y la tercera fase:
 Análisis hermenéutico de las evidencias de trabajo a través de la
obtención de patrones y categorías de estudio (Mayan, 2001).
 Triangulación de datos para las notas de campo y los focus
group.
 Triangulación del investigador haciendo equipo con un profesor
del área de matemáticas y uno del área de psicología.

Resultados
 De la primera fase, en el primer instrumento:
 10 de los 12 grupos tuvieron en promedio entre 7 y 8 aciertos por
lo que su nivel de conocimientos es muy similar.

Resultados
 El tercer cuartil se situó entre los 8 y 9 aciertos, por lo que el 75%
obtuvo menos de 10 aciertos. Si se hablara en términos de
calificaciones el 75% tendría calificaciones menores a 70.

Resultados
 Por otra parte, se observa que el rango intercuartílico tiene sus
cotas entre los 6 y los 9 aciertos, por lo que el 50% de los alumnos
tendría entre 40 y 65 de calificación.

Resultados
 De la primera fase, en el segundo instrumento:
 Las medias aritméticas de 10 de los 12 grupos se encuentran entre
los 30 y los 34 aciertos. De acuerdo con la interpretación del test
D48, estos promedios indican un nivel medio de CI.

Resultados
 El rango intercuartílico tiene cotas en 28 y 39 aciertos para 9 de los 12
grupos, lo cual indica que el 50% de los alumnos tiene un nivel medio
o inferior al término medio de coeficiente intelectual.

Resultados
 El tercer cuartil de 11 de los 12 grupos es inferior a los 39 aciertos, lo
cual continúa representando un nivel medio. 0

Resultados

 Por lo tanto, la principal deducción es que los alumnos de cuarto
semestre tienen un nivel medio o inferior al término medio de
coeficiente intelectual.
 Esto abrió la reflexión respecto a la habilidad que podrían tener los
alumnos para resolver las MEA.

Resultados
 En la segunda fase, la primera MEA solicitaba obtener el costo por
habitación que maximizara las ganancias de un hotel bajo la condición
de que por cada dólar de aumento, perdería una de las 80
habitaciones que tenía.

Resultados
 La línea estratégica que siguieron los equipos fue:

Resultados
 A partir de esta línea, los modelos mentales fueron:
Modelo mental Código Descripción
Ganancia Total con GT-AC Se obtiene la ganancia tras calcular los ingresos totales y
Aumento Constante restarle los gastos totales, y compara las ganancias con
precios que tienen una diferencia constante entre ellos.
Ganancia Total con GT-AA Se obtiene la ganancia tras calcular los ingresos totales y
Aumento Aleatorio restarle los gastos totales, y compara las ganancias con
precios que no tienen una diferencia constante entre sí.
Ganancia Total con GT-AM Se obtiene la ganancia tras calcular los ingresos totales y
Aumento Mixto restarle los gastos totales, y compara las ganancias con
precios que tienen o no, una diferencia constante entre sí.
Ganancia por GH-AC Se obtiene la ganancia total después de obtener la
Habitación con ganancia de cada habitación, y realiza una comparación
Aumento Constante entre precios con una diferencia constante entre ellos.
Ganancia por GH-AA Se obtiene la ganancia total después de obtener la
Habitación con ganancia de cada habitación, y realiza una comparación
Aumento Aleatorio entre precios con una diferencia que no es constante.
Ganancia por GH-AM Se obtiene la ganancia total después de obtener la
Habitación con ganancia por habitación, y realiza una comparación entre
Aumento Mixto precios que tienen o no, una diferencia constante entre sí.

Resultados
 En general, respecto a los modelos matemáticos utilizados:
 El 100% utilizó un modelo aritmético, el 70% lo complementó con uno
tabular, el 12% intentó aplicar uno algebraico, el 9% utilizó un gráfico
de barras y el 6% simbolizó sus datos pero sin expresión algebraica.
 El 21% empleó un solo modelo matemático, el 60% empleó otro
modelo para complementar el aritmético, el 15% utilizó tres modelos y
solo un equipo intentó emplear los cuatro tipos.
 El uso de modelos tabulares es menor para grupos con menor nivel de
habilidad pero la cantidad de modelos matemáticos decrece conforme
estos aumentan.
 El uso de modelos algebraicos y de modelos gráficos resultó ser
bastante raro en esta implementación.

Resultados
 En general, respecto a los modelos mentales revelados:
 El 88% utilizó un modelo mental en el que obtenían la ganancia del
hotel a través de la diferencia entre los ingresos y los gastos totales.
 El 39% utilizó modelos mentales con un aumento constante en el
precio, el 36% consideró un aumento aleatorio y el 25% empleó
incrementos constantes y aleatorios.
 El uso de modelos GT-AC se ve reducido en grupos con nivel de
habilidad bajo, predominando los aumentos aleatorios al precio. Sin
embargo, en el resto de los grupos, el uso de cierto tipo de modelo
mental es relativamente el mismo.
 El nivel de habilidad influye en el tipo de modelos mentales que los
estudiantes emplean.
 Solo el 42% llegó a la respuesta correcta y que el 39% se haya
acercado con su respuesta de $70.

Resultados
 En la segunda MEA se solicitaba elegir el plan de telefonía celular que
minimizara los gastos de una persona con una necesidad inicial de
180 minutos al mes, con la posibilidad de utilizar hasta 360 minutos
según se requiriera.

Resultados
 A partir de esta línea, los modelos mentales fueron:
Modelo mental Código Descripción
Elección del Plan más EP-CU El alumno calcula los costos de aquellos planes
Cercano a Una necesidad cuya cantidad de minutos gratis sea cercana a la
solicitada y tenga un costo menor para los minutos
adicionales. Esto se realiza de manera similar para
cada necesidad.

Elección del Plan con EP-MU El alumno calcula los costos de aquellos planes
Minutos de sobra para cuya cantidad de minutos gratis sea cercana a la
una Necesidad solicitada y ofrezca al cliente mayor cantidad de
minutos de la que pueda necesitar.

Elección del Plan más EP-CA El alumno calcula los costos de aquél plan de pago
Cercano para Ambas que incluya ambas necesidades y que tenga un
necesidades costo menor para los minutos adicionales.

Elección del Plan con EP-MA El alumno calcula los costos de aquél plan de pago
Minutos de sobra para que incluya ambas necesidades y que ofrezca
Ambas necesidades mayor cantidad de minutos de la que pueda
necesitar.

Resultados
 En general, respecto a los modelos matemáticos utilizados:
 El 100% utilizó un modelo aritmético para presentar sus resultados, el
55% utilizó un modelo tabular, el 3% utilizó un modelo gráfico y el 6%
empleó un modelo algebraico junto otros modelos.
 El 45% empleó un solo modelo matemático, el 51% empleó otro
modelo para complementar el aritmético, y solo un equipo intentó
emplear cuatro modelos matemáticos.
 Es interesante reconocer que el grupo con puntaje promedio aplicó
modelos tabulares en un 78% y que el grupo con puntaje mayor intentó
aplicar modelos tabulares aunque fuera de manera parcial en un 89%.
 Existe bastante similitud entre los modelos empleados por cada grupo
ya que la idea general fue comparar los costos.
 El uso de modelos algebraicos y de modelos gráficos resultó ser
prácticamente nulo. La razón estribó en que la comparación de gastos
no requirió de una expresión algebraica sino de un proceso aritmético.

Resultados
 De la tercera fase, de los focus group, de las notas de campo y del
instrumento de autoevaluación y coevaluación, se obtuvo lo siguiente:
 Una serie de patrones para cada unidad de análisis.
Unidad de análisis Patrones
- La actividad fue un reto para nuestras habilidades y conocimientos.
Conocimientos - Aplicamos las matemáticas para calcular ganancias y/o costos para planes de pago.
- Queríamos aplicar lo que vimos en el tema pero ni supimos cómo.
- Nos dimos cuenta de nuestros errores y supimos como corregirlos.
MEA - Lo que más se nos dificultó fue redactar la carta y explicar los procedimiento por escrito.
- Aplicamos las matemáticas en la vida real y lo que hicimos si puede ser útil en un futuro.
- Lo que más se nos dificultó fue redactar la carta y explicar nuestros resultados por escrito.
- Hicimos comparaciones entre los resultados que íbamos obteniendo para elegir al mejor.
- Al principio fue complicado comprender el problema.
Competencias - Nos preocupamos cuando otros equipos llegaban a diferentes resultados que el nuestro.
matemáticas - Queríamos aplicar lo que vimos en el tema pero ni supimos cómo.
- Para nuestros cálculos, usamos calculadora.
- Quisimos hacer una gráfica o una fórmula pero no supimos cómo organizarla.
- Es diferente explicar nuestros resultados a escribirlos.
Estrategia de - No aplica. Esta unidad será analizada a través de otras fuentes.
aprendizaje

Resultados
 Una serie de patrones respecto al grado de cumplimiento de las
competencias descritas en el PISA.
Competencias Patrones
Pensar y razonar Competencia fomentada

Argumentar inferencias Dificultades para hacerlo por escrito, no así de forma oral.

Comunicar resultados Competencia fomentada

Modelar una situación Competencia satisfactoriamente desarrollada

Plantear y resolver problemas Dificultades para comprender el planteamiento en la parte
inicial del proceso

Representar objetos matemáticos Competencia no cumplida satisfactoriamente

Usar lenguaje formal y operacional Competencia desarrollada de manera parcial

Usar tecnología Uso de la calculadora solo para fines operacionales

Resultados
 Una serie de patrones respecto al cumplimiento de los seis
principios de las MEA (Lesh et al, 2000).
Principio Patrones

Principio de construcción de modelos Se cumplió

Principio de realidad Se cumplió

Principio de documentación Se cumplió

Principio de autoevaluación No se cumplió de manera satisfactoria

Principio de reutilización Se cumplió aunque mantuvieron algunas reservas

Principio de prototipo eficaz No se cumplió de manera satisfactoria

Conclusiones
 Los estudiantes de educación media superior:
 Aplican modelos mentales que les permiten interpretar y resolver
aritméticamente un problema, así como para argumentar sus ideas.

 Elaboran modelos matemáticos que son, inicialmente, aritméticos.
Además, emplean modelos tabulares o cuasi-tabulares para
complementar su estrategia aunque no con suficiente formalidad.

 Tienen conocimientos que les permiten abordar problemas de
modelación matemática con seguridad y confianza. No obstante, el
poco uso o la falta de significado de ciertos conceptos provoca que
sus modelos mentales se vean limitados (Johnson-Laird, 2010).

 Desarrollan competencias relacionadas con altos niveles de
desempeño en el PISA y en la ENLACE. En este aspecto, se
verifica que continúan desarrollándolas paulatinamente.

Conclusiones

 Respecto al desarrollo de competencias:
 Fomentan competencias matemáticas PISA en un nivel de
desempeño entre el 4 y el 5 ya que, aunque no desarrollen modelos
muy complejos ni evalúen adecuadamente sus estrategias, pueden
trabajar estratégicamente con un buen razonamiento e intuir
aspectos derivados de sus respuestas.

 Se corrobora que su capacidad de redacción aún está limitada pero
se sigue desarrollando, por lo que las MEA fueron una excelente
oportunidad de fomentar competencias comunicativas.

 El trabajo colaborativo y cooperativo se convirtió en una actividad
de discusión y respeto por los puntos de vista del otro.

Conclusiones
 Respecto a las hipótesis del estudio:
 Se comprobó que los alumnos emplean modelos aritméticos como
primera estrategia para resolver un problema, a pesar de conocer
conceptos y herramientas algebraicas.

 Se comprobó que los conocimientos previos de los alumnos
influyen en la elaboración de los modelos mentales y matemáticos
revelados a través de las MEA.

 Se concluyó que las MEA revelan el pensamiento crítico del
alumno, al considerar las capacidades descritas por Campos
(2007): clarificar, enjuiciar y evaluar información.

 Se comprobó que las MEA motivan al alumno a aplicar sus
conocimientos y le brindan aprendizajes significativos.

Perspectivas

 ¿Influye la autoconfianza del alumno en las MEA o, en todo caso, su
nivel de habilidad para sacar el mejor provecho de ellas?

 Si se implementan las mismas MEA en diferentes momentos del
curso. ¿Desarrollarán los mismos modelos sin el trabajo previo en el
tema como ocurrió en esta investigación? ¿Habrá alguna diferencia o
alguna relación entre aplicarlas al inicio o al final de un curso?

 Dados los modelos matemáticos revelados, surge la inquietud de
implementar MEA en todos los niveles del bachillerato. ¿En qué
momento de la trayectoria académica se elaboran modelos
matemáticos más complejos?

Referencias
Aliprantis, C. D. y Carmona, G. (2003). Introduction to an Economic Problem: A models and modeling perspective. En
Lesh, R. y Doerr, H. (Eds.), Beyond constructivism: models and modeling perspectives on mathematics problem
solving, learning, and teaching [Versión electrónica]. (pp. 255-264). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Campos, A. (2007). Pensamiento crítico. Técnicas para su desarrollo. Bogotá, Colombia: Magisterio.
Costa, K. M. (1996). Manual de pruebas de inteligencia y aptitudes. Distrito Federal, México: Plaza y Valdés.
Elliott, J. (2000). El cambio educativo desde la investigación-acción (Manzano, P., Trad.) (3a. ed.). Madrid, España:
Morata. (Trabajo original publicado en 1991).
Diefes-Dux, H. A. y Verleger, M. A. (2009, Octubre). Student Reflections on Peer Reviewing Solutions to Model-Eliciting
Activities. Ponencia presentada en la 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, Santo Antonio, Texas.
Diefes-Dux, H. A. y Salim, A. (2009, Julio). Problem formulation during Model-Eliciting Activities: Characterization of first-
year student’s responses. Ponencia presentada en el Research in Engineering Education Symposium, Palm Cove,
Queensland.
Domínguez, A. (2009, Septiembre). Actividades reveladoras del pensamiento: más que una forma de aprendizaje activo.
Ponencia presentada en el 10º Congreso Nacional de Investigación Educativa, Veracruz, México.
Johnson-Laird, P. N. (1983). Mental Models: Towards a Cognitive Science of Language, Inference, and Consciousness
[Versión electrónica]. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.
Johnson-Laird, P. N. (2010). Mental models and human reasoning. PNAS, CVII (43). 18243-18250. Recuperado el 23 de
febrero de 2011 en http://www.pnas.org/content/107/43/18243.full.pdf+html
Kuder, G. F. y Richardson, M. W. (1937). The theory of the estimation of test reliability. Psychometrika, II (3). 151-160. doi:
10.1007/BF02288391
Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A. & Post, T. (2000). Principles for developing thought- revealing activities for
students and teachers. En A. Kelly, R. Lesh (Eds.), Research Design in Mathematics and Science Education. 591-
646. Recuperado el 2 de febrero de 2011 en http://www.cehd.umn.edu/rationalnumberproject/00_2.html
Mayan, M. J. (2001). Una introducción a los métodos cualitativos: Módulo de entrenamiento para estudiantes y
profesores. Alberta, Canadá: International Institute for Qualitative Methodology.

¡Muchas gracias! 

“Calificamos de complejas aquellas cosas que no entendemos;
eso significa que todavía no hemos encontrado la manera
correcta de pensar en ellas”
Tsutomu Shimomura

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