1. UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA
FACULTAD DE ARQUITECTURA E
INGENIERÍAS CIVIL Y DEL AMBIENTE
PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA
AMBIENTAL
MONOGRAFÍA
“INTEGRALES”
PRESENTADO POR:
DÍAZ FUENTES, KATERIN ISABEL
ASIGNATURA:
CALCULO II
DOCENTE:
RONNY GONZALES MEDINA
AREQUIPA, PERÚ
2015
2. RESUMEN
La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies
curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.
Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de
arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann,
hay también integrante líneas generales.
Una integral puede ser indefinida o indefinida.
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar
cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral
indefinida de f, y se designa por ∫ f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial
de x).
2
3. ÍNDICE
RESUMEN..............................................................................................................................II
ÍNDICE ...................................................................................................................................III
INTRODUCCIÓN...................................................................................................................1
CAPÍTULO 1. AREAS Y DISTANCIAS..........................................................................2
1.1. GENERALIDADES.............................................................................................2
1.2. AREAS Y DISTANCIAS ....................................................................................2
1.1.1. AREA...............................................................................................................2
1.1.1. 1 PROBLEMA DEL AREA............................................................................2
1.1.1. DISTANCIA ....................................................................................................3
1.1.2. 1 PROBLEMA DE LA DISTANCIA..............................................................3
CAPÍTULO 2. INTEGRALES ...........................................................................................4
2.1. CONCEPTO........................................................................................................4
2.2. INTEGRAL DEFINIDA.......................................................................................4
2.3.1. PROPIEDADES ..............................................................................................4
2.4. INTEGRALES INDEFINIDAS...........................................................................5
2.4.1. PROPIEDADES.............................................................................................5
2.4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO...........................................6
CAPÍTULO 3. APLICACION DE INTEGRALES...........................................................8
3.1. PROBLEMAS DE APLICACION .......................................................................8
CONCLUSIONES..................................................................................................................9
REFERENCIAS ...................................................................................................................10
3
4. 1
INTRODUCCIÓN
En nuestra vida hemos tenido que saber distintos campos que abarcan las
ciencias, una de ellas es la Matemática, es necesario que en momentos de nuestra
vida la utilizemos, uno por ejemplo es saber hallar el área de un campo o de un lugar
específico, es fácil hallar la superficie de una figura plana pero cuando se trata de
curvas y funciones, las cosas se complican, distintos pensadores de la antigüedad
trataron de arreglar este problema, por eso desarrollaron una manera de
aproximarse al área así nace las integrales, como una aproximación al área debajo
de una curva, de tal manera que podamos saber con certeza de cuanta superficie se
habla.
5. 2
CAPÍTULO 1. AREAS Y DISTANCIAS
1.1. GENERALIDADES
Recordemos que el desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte
para calcular el área bajo una curva.
El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el
intervalo [a,b] nos llevó a definir una sumatoria de Riemann y el área entre la
curva y el eje horizontal se calculó tomando el límite de la suma de Riemann
cuando n---> . Todo esto fue para f(x)>0 en [a,b].1
1.2. AREAS Y DISTANCIAS
1.1.1.AREA
El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la
función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de
aproximación:2
x
[f (¿¿ 1)∆ x+f (x2) ∆x +…+f (xn) ∆ x]
A=lim Rn=lim ¿
n→ ∞ n→ ∞
1.1.1. 1 PROBLEMA DEL AREA
El problema del área, el problema de la distancia; tanto el valor del
área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por
un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o
bien exactamente como el límite de una suma.
6. 3
Se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada sub-
intervalo.
Se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada sub-
intervalo.
Se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada sub-
intervalo.
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones
incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo
en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una
notación a este tipo de límites.3
1.1.1. DISTANCIA
La distancia es el espacio recorrido en un período.2
1.1.2. 1 PROBLEMA DE LA DISTANCIA
Considere ahora el problema de la distancia: hallar la distancia
recorrida por un objeto durante cierto período, si se conoce la velocidad
del objeto en todos los momentos.
Si la velocidad permanece constante, entonces el problema de la
distancia es fácil de resolver por medio de la fórmula:
Distancia = velocidad x tiempo
Pero si la velocidad varía, no es fácil hallar la distancia recorrida.2
7. 4
n
CAPÍTULO 2. INTEGRALES
2.1. CONCEPTO
Sea f una función acotada y positiva en [a; b]. Se dice que el conjunto
G(f, a, b) tiene área cuando:
ínf {S (f , P): P∈ P[a,b]} ={I (f , P)∈ P[ a,b]} ¿
Dicho valor común es, por definición, el valor del área y lo
representaremos por λ(G ( f ,a , b )) . Cuando esto ocurre, se dice también
que la función f es integrable en [a,b] y, por definición, la integral de f en
[a,b]Ö es igual a λ(G (f ,a,b)) . Simbólicamente escribimos: 4
b
∫f (x) dx=λ(G( f ,a,b))
a
2.2. INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función continua definida para a≤x ≤b . Dividimos el
intervalo [a, b] en n sub-intervalos de igual ancho
∆ x=
b−a
. Sean
x0=a
y
xn=b
y además
x0
,
x1
, ...,
xn
los puntos extremos de
cada sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal
que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, ..., n.
Entonces la integral definida de f de a - b es el número
b n
∫f (x)dx=lim ∑f (ti)∆ x .
a n→∞ i=1
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede
utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de
cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de
la integral definida es válida aun cuando f(x) tome valores negativos.3
8. 5
2.3.1. PROPIEDADES
b
1. ∫c dx=c ( b−a) donde c es una constante
a
2. Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las
siguientes propiedades son verdaderas:
b b
∫c .f (x)dx=c∫f (x) dx
a a
b b b
∫[f ( x)+ g ( x )]dx=∫f ( x) dx +∫g ( x) dx
a a a
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
a
3. Si x está definida para x = a entonces ∫f (x)dx=0
a
b a
4. Si f es integrable en [a, b] entonces ∫f (x)dx=−∫f (x)dx
a b
5. Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos
intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces5
c b c
∫f (x)dx=∫f (x)dx+∫f (x)dx
a a b
2.4. INTEGRALES INDEFINIDAS
Sean f y F dos funciones. Se dice que F es una primitiva (o
antiderivada) de la función f si F’(x) = f(x) para todo valor posible de x.
El siguiente resultado es de una importancia crucial, ya que nos
garantiza que cualquier primitiva de una función puede ser obtenida
mediante la adición de una constante a una primitiva conocida. Esta será la
base del segundo teorema del cálculo integral o Regla de Barrow.
Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es también una
primitiva de F en el intervalo I si y sólo si
G(x) = F(x) + C
9. 6
para todo valor de x, siendo C una constante.
Como una notación, cualquier primitiva de la función f se indicara por
∫f (x)dx
y se denominara, genéricamente, integral indefinida de f.6
2.4.1. PROPIEDADES
1. ∫0 dx=C .
2. ∫kdx =kx +C
3. ∫kdx=k∫f ( x ) dx
4. ∫[f ( x) ± g( x)]dx=∫f ( x)dx ±∫g( x) dx
5. ∫ xn xn +1
dx=
n+1
+C 6
2.4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Dada una función integrable f :[a,b]→ R , podemos definir una nueva
función F : [a , b ]→ R por:
x
F(x)=∫f (t )dt para todo x x∈ [ a , b]
a
Observa que aquí la variable es x – el límite superior de la integral. Por
eso, es obligado no usar la misma letra x como variable de la función f en el
integrando. F(x) es la integral de la función f en el intervalo [a, x].
10. 7
Por definición
+¿.a.c
f ¿
−¿.a. x
f ¿
¿
G¿
G (¿)−λ ¿
F ( x)=λ¿
. Por supuesto, si f es positiva entonces
F(x)=λ(G (f .a.c)) es el área del conjunto ordenado de f entre a y x. No
x
debes olvidar en lo que sigue que F (x)=∫f (t ) dt se ha definido en
a
términos de áreas. A la función F la llamaremos la función área de f en [a, b].
x
A veces hay que considerar funciones de la forma H (x )=∫f (t)dt en
c
donde a < c < b y x ϵ [a,b] ; por lo que es necesario precisar lo que se
x
entiende por ∫f (t )dt cuando x < c. El convenio que se hace es que:
c
v u
∫f (t )dt=−∫f (t)dt
u v
cualesquiera sean los números u y v. La justificación de este convenio
es que, con él, la igualdad:
y z x
∫f (t ) dt+∫f (t)dt +∫f (t )dt=0
x y z
se cumple cualesquiera sean los puntos x, y, z del intervalo [a, b].
Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha
x
llevado de f a F(x)=∫f (t )dt Nuestro problema es: ¿Cómo podemos
a
recuperar la función f a partir del conocimiento de la función área de f? El
resultado que sigue, uno de los más útiles del Cálculo, establece una
relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el concepto de
área y el de tangente a una curva, pues dicho resultado afirma que la
pendiente de “la curva área de f”, y=F (x), en un punto x es igual a
f (x)
11. 8
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Sea f :[a,b]→R R una
función integrable y definamos F :[a ,b] →R por:
x
F(x)=∫f (t )dt
a
para todo xϵ [a,b] . Entonces:
i) F es continua en [a, b].
ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es
derivable en dicho punto siendo F
'
(c)=f (c) . En particular, si f es continua
en [a,b], entonces F es derivable en [a, b]i y F
'
(x)=f (x) para todo
xϵ [a,b] .7
12. 9
3
3 3
CAPÍTULO 3. APLICACION DE INTEGRALES
3.1. PROBLEMAS DE APLICACION
1. Calcula el área de un bosque que se encuentra limitado por la
curva y=x
3
−2 x
2
+x y la tangente a ella en el origen de coordenadas.
I. Calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto (0,0), para
ello calculamos la derivada de nuestra función:
y'
=3 x2
−4 x +1
y' (0 )=1( pendiente)
La recta tangente tiene por ecuación y = x.
II. Calculamos las soluciones de: x
3
−2x
2
+x=x . Son 0 y 2 (límites de
integración.
III. Obtenemos la función diferencia:
y=x3
−2 x2
+ x −x=x3
−2 x2
( ) ( 3 2
) x4
2 x3
IV. Buscamos su primitiva: G x =∫
V. G(0)=0 ,
G(2)=
−4
G(2 )−G( 0)=
−4
3
x −2x dx=
4
−
3
El área buscada es: ∣−4
∣=
4
u
2
. 8
13. 10
CONCLUSIONES
El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función
continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de
aproximación.
La función f es integrable en [a,b] y, por definición, la integral de f en [a,b]Ö
es igual a λ(G(f ,a,b)) .
La integral de una función es el área bajo esta curva.
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar
cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida
de f, y se designa por ∫ f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x).
