1. Escuela Escuela Profesional de Economía
Curso Microeconomía Avanzada
Aula 215D/209N
Actividad Práctica Dirigida No. 2
Slutsky
Profesor Econ. Guillermo Pereyra
Fecha 14 de Mayo del 2010
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1. Observe las siguientes identidades e intente describir su importancia
(a) E  P ,V  P , m≡m
(b) V  P , E  P.U ≡U
(c) X i P , E P , U ≡H i P , U 
(d) H i  P ,V  P , m≡ X i  P , m
 X j  H j  P ,U   X j
2. Demuestre la ecuación de Slutsky: = − X  P , E P , U 
 Pi  Pi m i
De las identidades del problema 1 tenemos X j  P , E P , U ≡H j  P ,U  . Queremos
analizar el impacto de un cambio en el precio sobre la demanda. Derivamos respecto al
precio del bien i y obtenemos:
 X j  X j  E  P ,U   H j  P ,U 
 = pero por el Lema de Shepard sabemos que la
 Pi  m  Pi  Pi
derivada de la función del gasto respecto al precio es H i  P ,U  , entonces reemplazando
 Xj  X j  H j P , U 
queda  H i  P , U = y reordenando estos resultados, se obtiene la
 Pi  m  Pi
 X j  H j  P ,U   X j
ecuación de Slutsky: = − X  P , E P , U  . El primer término del
 Pi  Pi m i
lado izquierdo de la ecuación, corresponde al efecto total. El primer termino del lado
derecho corresponde al efecto sustitución, y el siguiente al efecto ingreso.
3. Describa los bienes que satisfacen las siguientes condiciones
 Xi
(a) 0
 Pi
 Xi
(b) 0
 Pi
 Xi
(c) 0
 Pj
 Xi
(d) 0
 Pi
 Xi
(e) 0
m

2.  Xi
(f) 0
m
4. Si la función de utilidad está dada por U= X 1/ 2 X 1 /2 ,verificar que se cumple la ecuación
1 2
 X j  H j P , U   X j  X1
de Slutksy = − X i  P , E  P , U para .
 Pi  Pi m  P1
Primero encontramos las funciones de demanda marshalliana para el bien 1 y para el bien
2.
m m
X 1 *= , X 2 *= .
2P1 2P 2
Luego y en base a las demandas marshallianas, hallamos la función indirecta de utilidad.
1 /2 1 / 2 m 1 /2 m 1 /2 m
Si U= X 1 X 2  V P , m=    = 1 /2 1 / 2 .
2P1 2P 2 2P1 P2
Ahora tenemos que encontrar la función del gasto. Partiendo de la función de utilidad
m
indirecta V  P , m= 1 /2 1 / 2 hacemos V =U y m=E , entonces obtenemos el
2P1 P2
siguiente resultado E=2UP 1 / 2 P1 / 2 .
1 2
Ahora podemos obtener la función de demanda compensada a partir de la función del gasto.
 E P , U 
Sabemos, por el Lema de Shepard, que H 1  P ,U = . Como la función del
 Pi
1 /2 1 / 2
UP 1 / 2
2
gasto es E=2UP 1 P 2 , entonces, H 1  P1, U = 1 /2 .
P1
El efecto sustitución dentro de la ecuación de Slutsky, está representado por la siguiente
 H j  P , U
función , que para nuestro caso, donde estudiamos el impacto sobre la
 Pi
 H 1  P , U
demanda del bien 1 de un cambio en el precio del bien 1, es . Derivando
 P1
UP 1 /2
2
respecto al precio obtenemos el efecto sustitución ES=− 3 /2
.
2P1
El efecto ingreso dentro de la ecuación de Slutsky, está representado por la siguiente
Xj
función − X  P , E P , U  , que para nuestro caso, donde estudiamos el impacto
m i
sobre la demanda del bien 1 de un cambio en el precio del bien 1, queda como la siguiente
X1
ecuación − X  P , E  P , U . La derivada de la demanda marshalliana del bien 1
m 1
 X1 1
respecto al ingreso es = . Por lo tanto, el efecto ingreso se encuentra
 m 2P 1
X1 m
multiplicando − por X 1  P , E P , U  . Como X 1  P , m= ,tenemos que
m 2P 1
2UP 1 /2 P1 /2
1 2
reemplazar m por la función del gasto E y queda X 1  P , E P , U = . Y ahora
2P 1
ya nos encontramos en condición de estimar el efecto ingreso. El resultado es el siguiente

3.  X1 1 2UP 1/ 2 P 1/ 2
1 2 UP 1/ 2
2
EI =− X  P , E  P , U =−   =− .
m 1 2P 1 2P1 2P 1
3/ 2
El efecto total es la suma del efecto sustitución con el efecto ingreso ET =ESEI ,
UP 1 /2
ET =− 3/22 . Ahora reemplazamos U por V para tener todo en términos de precios e
P1
m
ingreso. El resultado es ET =− 2 . De esta manera tenemos estimado el lado derecho
2P 1
de la ecuación de Slutsky.
 X 1  H 1  P ,U   X 1
La ecuación de Slutsky es = − X  P , E P , U  . Sabemos que el
 P1  P1 m 1
 H 1  P , U  X 1 m
lado derecho es igual a − X 1 P , E  P ,U =− 2 . Necesitamos
 P1 m 2P 1
estimar el lado izquierdo de la ecuación. Se trata del cambio en la demanda del bien 1
m
 
provocado por un cambio en su precio.  X1 2P 1 m . Se verifica el
= =− 2
 P1  P1 2P 1
cumplimiento de la ecuación de Slutsky.
5. Si la función de utilidad está dada por U= X 1 X 2 ,verificar que se cumple la ecuación de
 X j  H j P , U   X j  X2
Slutksy = − X i  P , E  P , U para .
 Pi  Pi m  P2
6. Si la función de utilidad está dada por U= X 1 X 2 ,verificar que se cumple la ecuación de
 X j  H j P , U   X j  X1
Slutksy = − X i  P , E  P , U para .
 Pi  Pi m  P2
7. Considere un consumidor cuyas preferencias vienen representadas por la función de
utilidad U=  X 1X 2 .
(a) Derive las funciones de demanda marshallianas de ambos bienes.
(b) Demuestre que estas funciones de demanda verifican las condiciones de homogeneidad y
de agregación de Engel, expresadas ambas en términos de las elasticidades resultantes
para cada uno de los bienes.
(c) Calcule las funciones de demanda compensada de los bienes, y justifique los resultados
obtenidos comparándolas con las funciones de demanda marshallianas.