Solucionario del EP No. 1 Microeconomía Avanzada.

1. Escuela Escuela Profesional de Economía
Curso Microeconomía Avanzada
Aula 215D/209N
Actividad Examen Parcial No. 1
Teoría del Consumidor
Profesor Econ. Guillermo Pereyra
Fecha 30 de Abril del 2010
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1. Dada la función de utilidad U=mín { X 1 , X 2 }
(a) Determinar la función de demanda ordinaria del bien 1
Como U=mín { X 1 , X 2 } entonces X 2 = X 1 y dados los precios y el ingreso, la recta
m
de presupuesto es m=P1 X 1P 2 X 2 . Es decir m=P1 X 1P 2 X 1  X 1 *= .
P1P 2
(b) Determinar la función de demanda compensada del bien 1
Este problema es el dual. Se trata de minimizar el gasto sujeto a la restricción de utilidad:
Min m=Min P1 X 1 P 2 X 2  s. a. U=mín { X 1 , X 2 } . Como X 2 = X 1 , reemplazamos en
la función de utilidad U=mín {X 1 , X 1 }=X 1 y entonces podemos escribir X 1 *=U que
viene a ser la demanda compensada a la Hicks.
(c) Determinar la función del gasto
La demanda compensada a la Hicks correspondiente al bien 2 es X 2 *=U . Podemos
reemplazar las demandas compensadas en la recta de presupuesto para encontrar la
función del gasto del consumidor E=P1 UP 2 U =U  P1P 2  .
(d) Compruebe si las demandas ordinarias cumplen con la ley de Walras
Primero determinamos la demanda ordinaria del bien 2, siguiendo el mismo procedimiento
m
de la parte (a). El resultado es X 2 *= . La recta de presupuesto es
P1 P 2
m=P1 X 1P 2 X 2 y reemplazando las demandas ordinarias de los bienes 1 y 2,
m m mP 1mP 2 m P 1P2 
m=P1  P 2  = = =m y se cumple la Ley de
P1P 2 P 1P2 P1P 2 P 1P2
Walras.
(e) Compruebe si la demanda ordinaria del bien 1 es homogénea de grado cero en precios e
ingreso
m
La demanda del bien 1 está dada por X 1 *= ; si multiplicamos el ingreso y los
P1P 2
tm m
precios por un t mayor a la unidad, X 1 **= = =X 1 * . En consecuencia
tP 1tP 2 P1P 2
la demanda del bien 1 sigue siendo la misma si se incrementa el ingreso y los precios en la

2. misma proporción. La demanda es homogénea de grado cero en precios e ingreso.
(f) Compruebe la agregación de Cournot en el caso del bien 1
La agregación de Cournot está dada por 1, P S 12, P S 2 =−S 1 .Si es la proporción del
1 1
ingreso que se gasta en el bien i. En este caso se trata de analizar el impacto de un cambio
en el precio del bien 1, sobre la demanda del bien 1 y sobre la demanda del bien 2.
m
Tomando la demanda ordinaria del bien 1, X 1 *= , se obtiene la elasticidad
P1P 2
dX 1 P 1 dX 1 m
precio de demanda mediante la siguiente función 1, P = . =−
1
dP 1 X 1 dP 1  P 1P 2 2
m P1 m P1 P1
1, P =− =− =−
y entonces 1
P 1P2 2 X 1 P 1P2 2 m P 1P 2 . De otro lado
P 1P 2
dX 2 P 1 dX 2 m
tenemos la elasticidad cruzada de demanda  2,P = . =− , y
1
dP1 X 2 dP1 P 1P 22
m P1 m P1 P1
 2,P =− 2
=− 2
=−
entonces 1
P 1P 2 X 2  P1P 2  m P 1P2 . En consecuencia,
P 1P2
reemplazando en la agregación de Cournot para el bien 1, obtenemos
P1 P1 P1 P1
1, P S 12, P S 2 =−  S 1−  S 2=− S 1S 2 =− . Pero
1 1
P 1P 2 P1P 2 P 1P2 P1 P 2
m
 P 1  P1
como P1 X 1 P 1P2 P1 y entonces −S 1=− y se cumple la
S 1= = = P 1P2
m m P1P 2
agregación de Cournot para el bien 1.
(g) Compruebe la agregación de Engel
La agregación de Engel está dada por 1, m S 12, m S 2=1 . Se trata de analizar el impacto
de un cambio en el ingreso del consumidor sobre la demanda de los bienes 1 y 2. Tomando
m
la demanda ordinaria del bien 1, X 1 *= , podemos estimar la elasticidad ingreso
P1P 2
dX m dX 1 1
para el bien 1, 1, m= 1 . = , en consecuencia
dm X 1 m P1P 2
1 m 1 m
1, m= = =1
P1 P 2 X 1 P1P 2 m .
P 1P 2
m
Tomando la demanda ordinaria del bien 2, X 2 *= , podemos estimar la
P1 P 2
dX 2 m dX 2 1
elasticidad ingreso para el bien 2,  2,m = . = , en consecuencia
dm X 2 m P1 P 2
1 m 1 m
 2,m = = =1
P 1P2 X 2 P 1P 2 m . Y reemplazando en la agregación de Engel se
P1 P 2

3. P1 X 1 P 2 X 2 m
obtiene 1, m S 12, m S 2=S 1S 2=  = =1 .
m m m
2. Dada la función de utilidad U= X 1  X 2
(a) Determinar la función de demanda ordinaria del bien 1
Dada la función de utilidad U= X 1  X 2 , la tasa subjetiva de cambio es TSC =1 . En
consecuencia, dados el precio del bien 1, el precio del bien 2 y el ingreso del consumidor, la
demanda ordinaria del bien 1 es:
P1
0 si 1
P2
m P
X 1 *  0 ,  si 1 =1
P1 P2
m P
X 1 *= si 1 1
P1 P2
(b) Determinar la función de demanda compensada del bien 1
Este problema es el dual. Se trata de minimizar el gasto sujeto a la restricción de utilidad:
Min m=Min P1 X 1 P 2 X 2  s. a. U= X 1X 2 . En consecuencia la demanda compensada
del bien 1
P
si 1 1  X 1 *=0
P2
P m
si 1 =1  X 1 *  0 ,   X 1 *  0 , U 
P2 P1
P m
si 1 1  X 1 *=  X 1 *=U
P2 P1
(c) Determinar la función del gasto
P1
si 1  X 1 *=0  X 2 *=U  E =P 2 U
P2
P m
si 1 =1  X 1 *  0 ,   X 1 *  0 , U  E P 2 U , P1 U
P2 P1
P m
si 1 1  X 1 *=  X 1 *=U  E=P1 U
P2 P1
(d) Compruebe si las demandas ordinarias cumplen con la ley de Walras
P1 m
si 1  X 1 *=0  X 2 *= . La recta de presupuesto es m=P1 X 1P 2 X 2 y
P2 P2
reemplazando las demandas ordinarias de los bienes 1 y 2, en la ecuación de la recta de

4. m
presupuesto tenemos P1 0 P2  =m y se cumple la Ley de Walras.
P2
P1 m
si =1  X 1 *  0 ,  . Si la demanda del bien 1 es cero entonces el gasto del
P2 P1
m
consumidor va a ser P1 0 P2  =m . Si la demanda del bien 1 es m/P1 entonces el
P2
m
gasto del consumidor va a ser P1  P 2 0=m . En consecuencia siempre se cumple
P1
la Ley de Walras.
P m m
si 1 1  X 1 *=  X 2 *=0 y el gasto del consumidor es P1  P 2 0=m y se
P2 P1 P1
cumple la Ley de Walras.
(e) Compruebe si la demanda ordinaria del bien 1 es homogénea de grado cero en precios e
ingreso
P1
si 1  X 1 *=0 y al multiplicarse los precios y el ingreso por un t mayor que uno la
P2
demanda por el bien 1 sigue siendo la misma, igual a cero.
P m
si 1 =1  X 1 *  0 ,  y al multiplicarse los precios y el ingreso por un t mayor que
P2 P1
uno la demanda por el bien 1 sigue siendo la misma.
P m
si 1 1  X 1 *= y al multiplicarse los precios y el ingreso por un t mayor que uno la
P2 P1
demanda por el bien 1 sigue siendo la misma.
(f) Compruebe la agregación de Cournot en el caso del bien 1
La agregación de Cournot está dada por 1, P S 12, P S 2 =−S 1 .Si es la proporción del
1 1
ingreso que se gasta en el bien i. En este caso se trata de analizar el impacto de un cambio
en el precio del bien 1, sobre la demanda del bien 1 y sobre la demanda del bien 2.
P1
Tomando la demanda ordinaria del bien 1, en el caso que 1  X 1 *=0 y el gasto en
P2
el bien 1 es cero y entonces el primer término del lado izquierdo de la agregación de
Cournot es cero. La demanda ordinaria del bien 2 es m/P2, que no depende del precio del
bien 1 y en consecuencia, la elasticidad precio de demanda cruzada es cero. Por lo tanto el
segundo término del lado izquierdo de la agregación de Cournot también es cero y da como
resultado cero que es igual al gasto en el bien 1. Por lo tanto se cumple la agregación de
Cournot.
P1 m
En el caso que =1  X 1 * 0 ,  y la demanda del bien 2 no depende del precio del
P2 P1
bien 1. En este caso la elasticidad precio de demanda es infinita y la elasticidad precio
cruzada es cero y no se cumple la agregación de Cournot.

5. P1 m
En el caso que 1  X 1 *= y la demanda del bien 2 es cero. La elasticidad precio
P2 P1
dX m m P
1, m= 1 =− 2 1 =−1
de demanda del bien 1 es dm X 1 P1 m . El gasto del bien 2 es cero y se
P1
cumple la agregación de Cournot.
(g) Compruebe la agregación de Engel
La agregación de Engel está dada por 1, m S 12, m S 2=1 . Se trata de analizar el impacto
de un cambio en el ingreso del consumidor sobre la demanda de los bienes 1 y 2.
Si la demanda del bien 1 es cero, la demanda del bien 2 es m/P2 y la elasticidad ingreso de
m
demanda del bien 2 es igual a la unidad. Entonces 0S 2= =1 y se cumple la
m
agregación de Engel.
Si la demanda del bien 1 es una horizontal entre cero y m/P1, podemos evaluar la
agregación de Engel en ambos extremos del intervalo. Si la demanda del bien 1 es cero
sabemos que se cumple. Si la demanda del bien 1 es m/P1, la demanda del bien 2 es cero. La
m
elasticidad ingreso de demanda del bien 1 es la unidad y entonces S 10= =1 y se
m
cumple la agregación de Engel.
P1 m
Finalmente, si 1  X 1 *= y la demanda del bien 2 es cero y, considerando lo que
P2 P1
acabamos de concluir más arriba, se cumple la agregación de Engel.
3. Comente la exposición realizada en el Aula. En una escala de 0 a 20, evalúe al equipo
expositor y al equipo jurado y explique sus razones.