1. Universidad de La Frontera
Ingenier´ Inform´tica
ıa a 12 de diciembre de 2010
Gabriel Seguel, Eduardo Calfu˜anco, German Retamal
n
´
CALCULO
CON
LATEX
Funciones
Profesor: Victor Vargas
1

2. Funciones
En matem´ticas, una funci´n f es una relaci´n entre un conjunto
a o o
dado x (el dominio) y otro conjunto de elementos y (el codominio) de forma
que a cada elemento x del dominio le corresponde un unico elemento del
´
codominio f (x). Se denota por:
f :x→y
En este caso y se llama IMAGEN del elemento x. Para definir
una funci´n existen varias formas:
o
1.- Describiendo caracter´ısticas de la funci´n o enunciando la funci´n.
o o
2.- Por f´rmulas matem´ticas.
o a
Ejemplo:
Si x = {n´meros naturales } = {1,2,3,4}
u
Si y = {n´meros naturales } = {a,b,c,d}
u
Podemos definir la funci´n f de manera que cada elemento del
o
dominio le corresponda su cuadrado en el codominio.
Graficamente:
2

3. La gr´fica de la funci´n se escribe como conjunto de puntos.
a o
f (x) = {(x, y)(y = f (x))}
En c´lculo representamos gr´ficamente, en el plano cartesiano los puntos
a a
de la funci´n.
o
Y un ejemplo de una funci´n gr´fica:
o a
TIPOS DE FUNCIONES
1.- Funci´n Constante: f(x)= k, donde k es un n´mero. (Paralela
o u
al eje x, o la altura de y = k)
Su Gr´fica:
a
3

4. 2.- Funci´n Identidad: f : R → R tal que f (x) = x, su gr´fica es
o a
una recta diagonal que bisecta el primer y el tercer cuadrante.
Su Gr´fica:
a
3.-Funci´n Cuadr´tica: f : R → R tal que f (x) = ax2 + bx + c,
o a
su gr´fica tiene forma de par´bola.
a a
Su Gr´fica:
a
4

5. 4.-Funci´n C´bica: f : R → R tal que f (x) = ax3 + bx2 + cx + d.
o u
Su Gr´fica:
a
5.-Funci´n N-´sima: f : R → R tal que f (x) = xn .
o e
Su gr´fica tiene forma de par´bola si n es par. Si n es impar se
a a
comportar´ como Funci´n C´bica.
a o u
Su Gr´fica:
a
5

6. 6.-Funci´n Lineal: f : R → R tal que f (x) = ax + b.
o
Su Gr´fica:
a
7.-Funci´n Polinomial: f : R → R tal que f (x) = a0 + a1 x +
o
2 n
a2 x ...an x . Su gr´fica tiene forma de par´bola si n es par. Si n es impar se
a a
comportar´ como Funci´n C´bica.
a o u
Su Gr´fica:
a
6

7. 8.-Funci´n Exponencial:
o
a.- f : R → (o, ∞) tal quef (x) = ex .
b.- f : R → (o, ∞) tal quef (x) = ax a < 0.
Su Gr´fica:
a
ıtmica: f : (0, ∞) → R tal que f (x) = logb (x)
9.-Funci´n Logar´
o
donde b < 0.
Su Gr´fica:
a
7

8. Funci´n sobreyectiva: Una funci´n f : x → y es sobreyectiva, si
o o
est´ aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen Imf = y, o
a
en palabras m´s sencillas, cuando cada elemento de y es la imagen de como
a
m´ınimo un elemento de x.
Graficamente:
Funci´n inyectiva: Una funci´n f : x → y es inyectiva si a cada
o o
valor del conjunto x (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto
y (imagen) de f Es decir, a cada elemento del conjunto x le corresponde un
solo valor de y tal que, en el conjunto x no puede haber dos o m´s elementos
a
que tengan la misma imagen.
Graficamente:
8

9. Funci´n biyectiva: Una funci´n f : x → y es biyectiva, si es al
o o
mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Graficamente:
9

10. ´
PARIDAD DE UNA FUNCION
Las funciones se pueden clasificar seg´n su paridad, estas pueden ser
u
pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad
satisfacen una serie de relaciones particulares de simetr´ con respecto a in-
ıa,
versas aditivas. Las funciones pares e impares son importantes en muchas
areas del an´lisis matem´tico, especialmente en la teor´ de las series de po-
´ a a ıa
tencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potencias
de las funciones de potencia que satisfacen cada condici´n:o
n
La func´on x
ı´
a.- Es una funci´n par si n es un entero par,
o
b.- Es una funci´n impar si n es un entero impar.
o
Funciones pares: Sea f (x) una funci´n de valor real de una variable real.
o
Entonces f es par si se satisface la siguiente ecuaci´n para todo x en el
o
dominio de f :
f (x) = f (−x)
Desde un punto de vista geom´trico, una funci´n par es sim´trica con
e o e
respecto al eje y, lo que quiere decir que su gr´fica no se altera luego de una
a
reflexi´n sobre el eje y.
o
Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto,x2 ,x4 ,cos(x).
Funciones impares: Sea f (x) una funci´n valor real de una variable real.
o
Entonces f es impar si se satisface la siguiente ecuaci´n para todo x en el
o
dominio de f :
−f (x) = f (−x)
Desde un punto de vista geom´trico, una funci´n impar posee una
e o
simetr´ rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir
ıa
que su gr´fica no se altera luego de una rotaci´n de 180 grados alrededor del
a o
origen.
Ejemplos de funciones impares son el valor absoluto,x,x3 ,seno(x).
10

11. Propiedades:
a.- La unica funci´n que es tanto par e impar es la funci´n constante que es
´ o o
id´nticamente cero (o sea f (x) = 0 para todo x).
e
b.- La suma de una funci´n par y una impar no es ni par ni impar, a menos
o
de que una de las funciones sea el cero.
c.- La suma de dos funciones par es una funci´n par, y todo m´ltiplo de una
o u
funci´n par es una funci´n par.
o o
d.- La suma de dos funciones impares es una funci´n impar, y todo m´ltiplo
o u
constante de una funci´n impar es una funci´n impar.
o o
e.- El producto de dos funciones pares es una funci´n par.
o
f.- El producto de dos funciones impares es una funci´n par.
o
g.- El producto de una funci´n par y una funci´n impar es una funci´n impar.
o o o
h.- El cociente de dos funciones pares es una funci´n par.
o
i.- El cociente de dos funciones impares es una funci´n par.
o
j.- El cociente de una funci´n par y una funci´n impar es una funci´n impar.
o o o
k.- La derivada de una funci´n par es una funci´n impar.
o o
l.- La derivada de una funci´n impar es una funci´n par.
o o
m.- La composici´n de dos funciones pares es una funci´n par, y la composi-
o o
ci´n de dos funciones impares es una funci´n impar.
o o
n.- La composici´n de una funci´n par y una funci´n impar es una funci´n
o o o o
par.
o.- La composici´n de toda funci´n con una funci´n par es par (pero no vice
o o o
versa).
p.- La integral de una funci´n impar entre −A y +A es cero (donde A es
o
finito, y la funci´n no posee ninguna as´
o ıntota vertical entre −A y A).
q.- La integral de una funci´n par entre −A y +A es el doble de la integral
o
entre 0 y +A (donde A es finito, y la funci´n no posee ninguna as´
o ıntota ver-
tical entre −A y A).
11

12. ´
ALGEBRA DE FUNCIONES
Si dos funciones f y g est´n definidas para todos los n´meros reales,
a u
entonces es posible hacer operaciones num´ricas reales como la suma, resta,
e
multiplicaci´n y divisi´n (cociente) con f (x) y g(x).
o o
Suma de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x) cualesquiera, la suma
de f (x) + g(x), denotada por f (x) + g(x), es otra funci´n definida por
o
(f + g)(x) = f (x) + g(x). El dominio de f (x) + g(x) es la intersecci´n de sus
o
respectivos dominios. √
Ejemplo 1: Dadas dos funciones definidas en los reales por, f (x) = + 16 + x2
y g(x) = 2x2 − 3, determinar f (x) + g(x).
√
Resp.: (f + g)(x) = + 16 + x2 + 2x2 − 3
Resta de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x) cualesquiera, la difer-
encia de f (x) y g(x) denotada por, f (x) − g(x), es otra funci´n definida por
o
(f − g)(x) = f (x) − g(x). El dominio de f (x) − g(x) es la intersecci´n de sus
o
respectivos dominios.
x
Ejemplo 2: Dadas dos funciones, f (x) = x−2 , y g(x) = 5x − 1, definidas en
los reales, determinar f (x) − g(x).
x
Resp.: f (x) − g(x) = x−2 − (5x − 1)
f (x) − g(x) = x−(x−2)(5x−1
x−2
x−(5x2 −11x+2)
f (x) − g(x) = x−2
x−5x2 +11x−2
f (x) − g(x) = x−2
−5x2 +12x−2
f (x) − g(x) = x−2
12

13. Producto de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x), deno-
tada por f (x) ∗ g(x), es otra funci´n definida por, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x),
o
el dominio de f (x) ∗ g(x) es la intersecci´n de sus respectivos dominios.
o
1
Ejemplo 3: Dadas dos funciones f (x) = (x2 − 9) y g(x) = x−3 ,definidas en
R, determinar f (x) ∗ g(x).
1
Resp: f (x) ∗ g(x) = (x2 − 9)( x−3 )
2 −9
f (x) ∗ g(x) = xx−3
(x−3)(x+3)
f (x) ∗ g(x) = x−3
f (x) ∗ g(x) = x − 3
Divisi´n de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x) cualesquiera, el co-
o
ciente de f (x) y g(x), denotado por f (x) , es otra funci´n definida por, f (x)
g(x)
o g
= f (x) , y g no puede ser igual a 0 por que tendriamos una indeterminaci´n.
g(x)
o
√ 1
Ejemplo 4: Dadas las funciones f (x) = ± x − 1 y g(x) = x2 −4 , definidas en
R, determinar f (x) e igualmente su dominio:
g √
f (x) x−1
Resp: g(x)
= 1
x2 −4
f (x) √
g(x)
= ( x − 1)(x2 − 4)
Luego: √
f (x) = x − 1
x−1≥0
x≥1
Dominio f (x) = [1, +∞)
13

14. Y Dominio de g(x)
g(x) = x21
−4
x2 − 4 = 0
x2 = 4
x = ±2
Dominio g(x) = x ∈ R ∧x = ±2
´
FUNCION INVERSA
Se define que una funci´n f es una funci´n uno a uno, si y solo si
o o
cada elemento del rango de f est´ asociado con exactamente a un elemento
a
de su dominio x. En general, una funci´n f es uno a uno si cada elemento
o
del recorrido de la funci´n es imagen de un unico elemento del dominio.
o ´
Es precisamente esta propiedad la que se requiere para que la regla de inver-
si´n sea una funci´n. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de
o o
una funci´n, determinar si la funci´n dada es uno a uno.
o o
Gr´ficamente una funci´n es uno a uno si solo si ninguna recta horizon-
a o
tal corta su gr´fica mas de una vez.
a
Definici´n: Sea f una funci´n uno a uno, con dominio x y recorrido y. La
o o
inversa de f es una funci´n g con dominio y y recorrido x; para lo cual:
o
f (g(x)) para cada x en y
g(f (x)) para cada y en x
14

15. TRASLACIONES DE FUNCIONES
Sea y = f (x) una funci´n.
o
La funci´n y = f (x + h) es la funci´n f (x) trasladada h unidades en hori-
o o
zontal. Si h > 0 el desplazamiento es hacia la izquierda y si h < 0 es hacia
la derecha.
La funci´n y = f (x) + k es la funci´n f (x) desplazada k unidades en
o o
vertical. Si k > 0 el desplazamiento es hacia arriba y si k < 0 el desplaza-
miento es hacia abajo.
15

16. FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
1.- Una funci´n f (x) es estrictamente creciente si dados dos pun-
o
tos, x1 y x2 del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) < f (x2)
EJEMPLO:
2.- Una funci´n f (x) es estrictamente decreciente si dados dos
o
puntos, x1 y x2 del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) > f (x2)
EJEMPLO:
3.- Una funci´n f (x) es creciente si dados dos puntos, x1 y x2 del
o
dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) ≤ f (x2)
4.- Una funci´n f (x) es decreciente si dados dos puntos, x1 y x2
o
del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) ≥ f (x2)
16