1. Tema 6: Endomorfismos
7 de noviembre de 2012
1. Vectores y valores propios
Definici´n 1 Sea f un endomorfismo sobre un espacio vectorial real E. Un
o
vector v ∈ E se denomina vector propio de f si existe un escalar r ∈ R tal
que:
f (v) = r · v
El escalar r se denomina valor propio de f . Diemos que v es un vector
propio de valor propio r ( Abreviadamente VEP y VAP respectivamente ).
Proposici´n 1 Sea f ∈ LR (E; E) y r ∈ R. Sea el conjunto:
o
Vf (r) = {v ∈ E | f (v) = r · v}
Entonces,
1. r es un VAP de f si y s´lo si {0} = Vf (r)
o
2. Vf (r) = Ker(f − r · IE )
3. Vf (r) es un subespacio vectorial de E.
Si r es un VAP de f , el conjunto Vf (r) recibe el nombre de subespacio
propio f asociado a r.
Definici´n 2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. El polinomio cara-
o
ter´
ıstico de A, denotado pA (x), es:
a11 − x ... a1n
pA (x) = |A − x · In | = .
. .. .
.
. . .
an1 ... ann − x
Obs´rvese que el anterior determinante es un polinomio de grado n.
e
Proposici´n 2 Sean B1 , B2 dos bases de un espacio vectorial E y f ∈ LR (E; E).
o
Si A = [f ]B1 y B = [f ]B2 , entonces pA (x) = pB (x).
Este resultado permite introducir la siguiente definici´n:
o
1

2. Definici´n 3 Sea E un espacio vectorial real de dimensi´n n. Sea f un endo-
o o
morfimo sobre E. Se llama polinomio caracter´ ıstico de f , y se denota pf (x),
al polinomio:
pf (x) = |[f ]B − x · In |
donde B es una base arbitraria de E.
La ecuaci´n |[f ]B − x · In | = 0 se llama la ecuaci´n caracter´
o o ıstica de f . El
conjunto de soluciones reales de |[f ]B − x · In | = 0 se denota σ(f ) y recibe el
nombre de espectro de f .
σ(f ) = {r ∈ R | |[f ]B − r · In | = 0}
Proposici´n 3 El espectro de un endomorfismo f es igual al conjunto de sus
o
valores propios.
Proposici´n 4 Sea σ(f ) = {λ1 , . . . λr } el espectro de un endomorfismo f ( en
o
donde λi = λj , si i = j). Sea S = {v1 , . . . vr } un conjunto de vectores propios
no nulos tales que f (vi ) = λi vi . Entonces, S es libre.
Proposici´n 5 Sea σ(f ) = {λ1 , . . . λr } el espectro de un endomorfismo f . Sea
o
Bi una base del subespacio propio Vf (λi ). Entonces, el conjunto S = B1 ∪. . .∪Br
es libre.
2. Diagonalizaci´n
o
En esta secci´n, trataremos de encontrar las condiciones suficientes o nece-
o
sarias y suficientes que debe exigirse a una base para que la matriz asociada a
un endomorfismo sea lo m´s sencilla posible.
a
2.1. Diagonalizaci´n de un endomorfismo
o
Definici´n 4 Un endomorfismo f sobre un espacio vectorial E se llama dia-
o
gonalizable si existe una base N tal que [f ]N es una matriz diagonal.
Ciertamente, la matriz [f ]N es diagonal si y s´lo si N = {v1 , v2 , . . . , vn } es una
o
base de vectores propios.
Proposici´n 6 Sea f un endomorfismo diagonalizable. Entonces, su polinomio
o
caracter´
ıstico descompone totalmente en R, es decir, todas sus ra´ son reales.
ıces
Proposici´n 7 (Teorema elemental de diagonalizaci´n) Sea f un endomorfis-
o o
mo tal que su polinomio caracter´ ıstico descompone completamente en R y todas
sus ra´
ıces son simples ( una ra´ es simple si su multiplicidad algebraica es 1 ):
ız
pf (x) = (−1)n · (x − λ1 )(x − λ2 ) · . . . · (x − λn )
Entonces, f es un endomorfismo diagonalizable.
Definici´n 5 Sean E un espacio vectorial real de dimensi´n n, f un endomor-
o o
fismo sobre E y λ un valor propio de f . Entonces,
2

3. La multiplicidad geom´trica de λ, denotada m(λ), es la dimensi´n del
e ¯ o
subespacio propio de f asociado a λ. Es decir: m(λ) = dim(Vf (λ)).
¯
La multiplicidad algebraica de λ, denotada m(λ), es el mayor n´merou
natural s tal que el polinomio (x − λ)s es divisor de pf (x).
Es decir: m(λ) = s si y s´lo si pf (x) = (x − λ)s q(x) y q(λ) = 0.
o
Proposici´n 8 Sea λ un valor propio de un endomorfismo f . Entonces,
o
1 ≤ m(λ) ≤ m(λ)
¯
Proposici´n 9 (Teorema general de diagonalizaci´n) Un endomorfismo f es
o o
diagonalizable si y s´lo si:
o
1. Su polinomio caracter´
ıstico pf (x) descompone completamente en R:
pf (x) = (−1)n · (x − λ1 )m(λ1 ) · . . . · (x − λr )m(λr )
2. La multiplicidad geom´trica m(λi ) y la multiplicidad algebraica m(λi ) de
e ¯
cada valor propio λi coinciden.
2.2. Diagonalizaci´n de una matriz
o
Definici´n 6 Sean A, B dos matrices cuadradas de orden n. Se dice que A
o
y B son semejantes si existe una matriz regular P de orden n tal que: B =
P −1 · A · P .
Definici´n 7 Una matriz A de orden n se llama diagonalizable si es seme-
o
jante a una matriz diagonal.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces existe un unico endomor-
´
fismo fA sobre Rn tal que [fA ]C = A, donde C es la base can´nica de Rn . A
o
partir de este hecho, los conceptos: vector propio, valor propio, espectro, mul-
tiplicidad geom´trica y multiplicidad algebraica, referidos a una matriz A, son
e
los ya definidos para el endomorfismo fA .
Proposici´n 10 (Teorema general de diagonalizaci´n)
o o
Una matriz A es diagonalizable si y s´lo si lo es el endomorfismo fA , es
o
decir, si y s´lo si:
o
1. Su polinomio caracter´
ıstico pA (x) descompone completamente en R.
2. La multiplicidad geom´trica m(λi ) y la multiplicidad algebraica m(λi ) de
e ¯
cada valor propio λi coinciden.
3. Teorema de Cayley-Hamilton
Sean q(x) = am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 un polinomio de grado m
y A una matriz cuadrada de orden n . Se denota q(A) a la siguiente matriz de
orden n:
q(A) = am · Am + am−1 · Am−1 + . . . + a1 · A + a0 · In
3

4. Proposici´n 11 Sean A, B matrices cuadradas de orden n y q(x) un polinomio.
o
Si A y B son semejantes, entonces tambi´n lo son q(A) y q(B).
e
Definici´n 8 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Un polinomio q(x) recibe
o
el nombre de polinomio anulador de A si: q(A) = On .
Proposici´n 12 (Teorema de Cayley-Hamilton)
o
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces, su polinomio caracter´
ıstico
es un polinomio anulador de A. Es decir:
pA (A) = On
Ejemplo
Consideramos el siguiente endomorfismo de R3 :
f
R3 −→ R3
(x, y, z) −→ (x + y, x + 3y − z, 2y + z)
Vamos a calcular su polinomio caracter´ ıstico, espectro y la tabla completa de
multiplicidades. A partir de estos datos deduciremos que este endomorfismo no
diagonaliza.
En primer lugar, obtenemos la matriz asociada a f en la base can´nica:
o
 
1 1 0
[f ]C = A =  1 3 −1 
0 2 1
A continuaci´n, calculamos el polinomio caracter´
o ıstico de f :
 
1−x 1 0
pf (x) = pA (x) =  1 3−x −1  = (1 − x)2 (3 − x) − (1 −
0 2 1−x
x) + 2(1 − x) = (1 − x)[(1 − x)(3 − x) − 1 + 2] = (1 − x)(x2 − 4x + 4) =
(1 − x)(x − 2)2
A partir de este punto, obtenemos el espectro de f : σ(f ) = {1, 2}.
Finalmente, elaboramos la tabla completa de multiplicidades. Para ello,
unicamente nos falta conocer la dimensi´n del subespacio de vectores pro-
´ o
pios de valor propio 2 (n´tese que la dimensi´n del subespacio de autovec-
o o
tores de valor propio 1 es necesariamente 1):
m(2) = dim Ker(f − 2IR3 ) = 3 − r(A − 2I3 ) = 3 − 2 = 1
Por tanto:
λ m(λ) m(λ)
1 1 1
2 1 2
4