1) Un polinomio está compuesto de la suma de monomios. 2) Los monomios son expresiones algebraicas que contienen letras y números. 3) Para sumar, restar, multiplicar o dividir polinomios, se aplican operaciones a los monomios individuales.

1. POLINOMIOS

2. POLINOMIOS
Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de
letras y números.
Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene
productos (“y por tanto divisiones”) de potencias de letras y números.
x, y, … , z se denomina VARIABLES
a es el COEFICIENTE
(un número real) a.x ×y × ×z
n
... m p
El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p . (n, m, … , p son Números naturales).
Observa, que como todo número real a, se puede poner como:
a = a ×x 0
Los números reales son monomios de grado cero..

3. REPASO DE OPERACIONES CON MONOMIOS.
SUMA O RESTA (SOLAMENTE SI SON SEMEJANTES):
Ejemplos: 7 × 2 + 3 × 2 − x2 = 9 × 2
x x x
4 ×p 3 × 2 − 2 ×p 3 × 2 = 2 ×p 3 × 2
q q q
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:
Ejemplos: 5 × 2 × ×y 2 × 3 = 15 × 2 ×y 2 × 3
x 3 z x z
1
( 2 ×p 2
×q 3
) : ( 4 ×p 2
×q 2
) = ×
2
q

4. POLINOMIOS.
Un POLINOMIO, esta compuesto por sumas o restas de MONOMIOS.
Un POLINOMIO DE VARIABLE x, y de grado n es de la forma:
n −1 n −2
an x + an −1 x
n
+ an −2 x + .... + a1 x + a0
1
Habitualmente, solemos representar los polinomios mediante una letra
mayúscula, y entre paréntesis las variables, o abusando de notación
solamente por una letra mayúscula :
Ejemplos P ( x ) = 7 × + 3 × − 9;
x3 x2 S = 4 × 2 − 2 × +1
z z
A los coeficientes (números) de cada monomio, se les denomina
TÉRMINOS, siendo a n el TÉRMINO PRINCIPAL (el término del
monomio de mayor grado), y a 0 el TÉRMINO INDEPENDIENTE (el
término del monomio de grado cero),.

5. POLINOMIOS.
Un POLINOMIO, decimos que esta ordenado y es completo, cuando
los monomios que lo componen están ordenados de mayor a menor
grado, y ningún término es cero
Ejemplos
P ( x) = 7 × 3 + 3 × 2 − x − 9; es ordenado y completo
x x
S ( x ) = 4 × 2 − 2 × 4 +1; ni esta ordenado ni es completo
z z
Se denomina VALOR NUMÉRICO de un polinomio, al valor que toma
dicho polinomio cuando se sustituyen las variables por números:
Ejemplo: Si P ( x ) = 5 × 2 + 2, para x = 3, P ( 3 ) = 5 × 2 + 2 = 47
x 3
Si P(x) es un polinomio de variable x, y r es un número tal que P(r) = 0,
decimos que r es una RAÍZ del polinomio P(x):

6. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
SUMA O RESTA: (se suman o restan monomios semejantes):
Ejemplo:
Si P ( x ) = x 2 + 2 x + 3; Q ( x ) = x 5 − 3x +1;
P ( x ) − Q ( x ) = ( x 2 + 2 x + 3) − ( x 5 − 3x +1) =
= −x 5 + x 2 + ( 2 − ( −3 ) ) x + ( 3 −1) =
= −x 5 + x 2 + 5 x + 2

7. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
MULTIPLICACIÓN: (se multiplica cada uno de los monomios por
los monomios del polinomio a multiplicar. Y se suman):
Ejemplo: Si P ( x ) = x + 2 x + 3; Q ( x ) = x 5 − 3x +1;
2
P ( x ) × ( x ) = ( x 2 + 2 x + 3) × x 5 − 3x + 1) =
Q (
= x 7 + 2 x 6 + 3 x 5 − 3x 3 − 5 x 2 − 7 x + 3
x2 + 2 x + 3
x5 − 3x + 1
x2 + 2 x + 3
− 3x 3 − 6 x 3 − 9 x
x 7 + 2 x6 + 3x5
x 7 + 2 x 6 + 3 x 5 − 3x 3 − 5 x 2 − 7 x + 3

8. IDENTIDADES NOTABLES DE MONOMIOS.
Teniendo en cuenta que una POTENCIA enésima de un polinomio es un
producto de n veces, podemos deducir (“multiplicando”) las siguientes
igualdades (“denominadas IDENTIDADES NOTABLES”):
( A(x) + B(x) ) ² = A(x) ² + 2. A(x).B (x) + B(x) ²
( A(x) - B(x) ) ² = A(x) ² - 2. A(x).B (x) + B(x) ²
( A(x) + B(x) ) . ( A(x) - B(x) ) = A(x) ² - B(x) ²
( 3x + 2 y ) = 9 x 2 +12 xy + 4 y 2 ;
Ejemplos: 2
( x − 2) g x + 2) = x2 − 4
(

9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
DIVISIÓN: (se divide el polinomio por cada uno de los monomios
del polinomio a dividir):
Ejemplo: Si P ( x ) = x − 4 x +1; Q ( x ) = x 2 + x +1;
3
P ( x ) : Q ( x ) = ( x 3 − 4 x + 1) : ( x 2 + x + 1) =
DIVIDENDO = ( x − 1) ; con resto − 4 x+2
x3 − 4x +1 x2 + x + 1 DIVISOR
− x3 − x 2 − x x −1 COCIENTE
− x2 − 5x + 1
x2 + x + 1
−4 x + 2 RESTO

10. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
Si Efectuamos una división de polinomios P(x) : Q(x), resultando de
cociente C(x) y de resto R(x), se cumple:
P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
Ejemplo:
Si P ( x ) = x 3 − 4 x +1; Q ( x ) = x 2 + x +1;
Como P ( x ) : Q ( x ) = ( x 3 − 4 x + 1) : ( x 2 + x + 1) =
= ( x − 1) ; con resto − 4 x + 2
Se cumple: ( x 3 − 4 x + 1) = ( x 2 + x + 1) g x − 1) − 4 x + 2
(

11. REGLA DE RUFFINI. EL TEOREMA DEL RESTO.
Si P(x) es un polinomio, para efectuar la división: P(x) : (x-a), podemos
aplicar la Regla de Ruffini.
Ejemplo:
( 1.x 4
− 4 x3 + 0 x 2 + 6 x −1) : ( x − ( −3 ) ) =( x 3 − 7 x 2 + 21x − 57 ) cuyo RESTO es 170
+1 − 4 + 0 + 6 −1
( −3) -3 21 - 63 171
1 -7 21 - 57 170
TEOREMA DEL RESTO.- el resto de la división P(x) / (x-a) es igual a
P(a)
Ejemplo:
El resto de la división ( 1. x 4 − 4 x 3 + 0 x 2 + 6 x −1) : ( x − ( −3 ) )
( 4 3 2
)
Es: P ( −3 ) = 1. ( −3 ) − 4 ( −3 ) + 0 ( −3 ) + 6 ( −3 ) −1 = 170

12. CÁLCULO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO.
Cualquier raíz entera a de un polinomio P(x) es divisor del término
independiente.
Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio P(x), aplicaremos
el teorema del Resto, a todos los divisores del termino independiente
Ejemplo:
Si P ( x ) = x 3 − x 2 + 4 x − 4
Si tiene raíces enteras serán divisores de -4, es decir será alguno de los
números -4, -2, -1, 1, 2, 4
Como:
P(-4) = -100 , P(-2) = -24, P(-1) = -10, P(1) = 0, P(2) = 8, P(4) = 60
Se tiene que la única raíz entera de P(x) es 1

13. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
Para factorizar un polinomio de grado 2, de la forma:
P ( x ) = ax 2 + bx + c
1) Si la ecuación de P(x) = 0 , no tiene raíces no se puede factorizar.
2) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r como raíz única P(x) = a.(x-r) 2.
3) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r y s como raíces P(x) = a.(x-r).(x-s).
Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2, podemos intentar
factorizar el polinomio aplicando la regla de Ruffini, utilizando divisores
(“enteros o algún fraccionario”) divisores del término independiente, por
lo menos hasta llegar a un factor de grado 2, y aplicar el punto anterior.
Ejemplo: Si P x = x3 − x 2 − 2 x + 2
( ) Aplicando Ruffini para x = 1
( )(
P ( x ) = ( x −1) g x 2 − 2 ) = ( x −1) g x − 2 g x + 2
( )