ALGEBRA POLINOMIOS

1.  PROFESORA: ANA MONTOYA ROMERO

2. ¿Quéesun polinomio?
Unpolinomio es una expresión en la cual se combinan letras y números mediante las
operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación. Se los designa con una
letra mayúscula y entre paréntesis la variable que interviene enel mismo. Ejemplo
P(x)= 4 x3 – 5 x6 + x–x 2
Cada término del polinomio recibe el nombre de Monomio y está formado de la
siguiente manera:
x3Coeficiente 4 Parte literal

3. Características
1. Grado Relativo de un Polinomio: Estado dado por el mayor exponente de la variable referida.
 Ejemplo:
 - P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7 GR(x) = 7 (mayor exponente de “x” ) ;
GR(y) = 5 (mayor exponente de “y” )
 - Q(x, y) = 6x4y5 – 2x5y3 – y6 GR(x) = 5 ; GR(y) =6

4. 2. Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el monomio de mayor grado.
6 9 8 ( suma de los exponentes)
G.A (Q) = 9 ( se escoge el mayor)

5. POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos que presentan ciertas características particulares
relacionadas a los exponentes de las variables o a los coeficientes de las
mismas.
Los más importantes son:
1. Polinomio Ordenado
Es aquel donde los exponentes de la variable van aumentando o
disminuyendo.
Ejemplo :
P(x, y) = x16 – 2x10 + x2 + 1
Polinomio Ordenado Descendente
Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10
Polinomio Ordenado Ascendente

6. 2. Polinomio Completo
Es aquel donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el
mayor, hasta el término independiente.
Ejemplo :
P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5 4 términos
Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 5 términos
En todo polinomio se cumple :
Número de términos = grado + 1
Nota: El término
independiente es un
término de grado cero
así:
4 = 4x0

7. 3. Polinomio Homogéneo
Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
Ejemplo :
( el grado absoluto de cada monomio es
el mismo)
3. Polinomio Idénticamente Nulo
Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el
resultado es siempre cero.
P(x)  0x3 + 0x2 + 0x + 0 entonces P(x)  0
P(x, y) =   
º2
2
º2º2
2
yxyx6 

8. Valornumérico deun polinomio
Al sustituir la variable x de un polinomio por un número se
obtiene el valor numérico del polinomio.
Así el valor numérico en 3 del polinomio P(x)=2x3- x+4 es
P(3)= 2·33 -3+4= 55
Cuando al calcular el valor numérico de un polinomio paraun
determinado número obtenemos 0 concluimos que dicho
número es raíz del polinomio.
Si P(a) = 0  x= a esRaíz deP(x)
Si P(a) = 0  P(x)es divisible por(x– a)
Si P(a) = 0  P(x)es múltiplo de (x– a)

9. Ejercicio
■ Dado P(x)= x 4 + x 3 – 7 x2 – x + 6, indicar cuál de los
siguientes valores de x es raíz de P(x):
a. x = 1 b.x = 3
a. Reemplazo x por 1 y verifico si da 0
P(1)= 1 4 + 1 3 – 7. 12 – 1+ 6
P(1)= 1 + 1 – 7 – 1+ 6
P(1)= 8 – 8
P(1)= 0  x= 1 esraíz deP(x)
b. Reemplazo xpor 3 y verifico si da 0
P(3)= 3 4 + 3 3 – 7. 32 – 3+ 6
P(3)= 81 + 27 – 63 – 3 + 6
P(3)= 48  x=3 No esraíz de P(x)
Si x= a esRaíz deP(x)
 P(a) = 0

10. Operaciones entre polinomios
Suma yResta
P(x)=8x4+x2-5x-4
Q(x)=3x3+x2-3x-2
Se suman los coeficientes de igual grado:
P(x)  8 x4 +0 x3 + 1 x2 - 5 x – 4  Esconveniente completar y ordenar el polinomio
polinomio
8 x4+3 x3 +2 x2 –8 x – 6
Para sumar o restar polinomios
sumamos o restamos términos
semejantes ( son los que tienen
la misma parte literal)
Q(x)  3 x3 + 1 x2 -3 x - 2

11. Multiplicación
P(x)=x3 -5x - 4
Q(x)=3x2 -3x – 2
Hallaremos P(x) . Q(x) = (x3 -5x – 4) . (3x2 -3x – 2)
Debemos aplicar la propiedad distributiva. Para evitar equivocarnos,podemos
completar el primer polinomio y luego multiplicar éste polinomio por cada
término del segundo polinomio:
(x3+ 0x2 -5x – 4) .3x2 = 3 x 5 + 0 x4 – 15 x 3 – 12 x2
-3 x 4
3 x5 - 3 x4
- 0 x 3 + 15 x 2 + 12 x
- 2 x3 – 0 x 2 + 10 x + 8
– 17 x3 + 3 x2 + 22 x + 8
(x3 + 0x2 -5x – 4) . (–2)=
Sumamos los términos
semejantes
(x3 + 0x2 -5x – 4) . (- 3x)= +

12. Ejercicios Desarrollados
1. Dado el polinomio P(x; y) = xa-2yb+5 + 2xa-3yb + 7xa-1yb+6
Donde: G.A. = 17  G.R.(x) = 4
Calcular: (a - b)2
SOLUCIÓN:
Usando el dato que G.R (x) = 4 significa que el mayor exponente de “x” es 4 entonces
buscamos el mayor e igualamos.
El mayor será a – 1 = 4 entonces despejamos y resulta a = 5
Ahora reemplacemos en el polinomio P(x; y) = x3yb+5 + 2x2yb + 7x4yb+6 ;
Luego G.A = 17 ; se tiene los grados (b+8) ; (b+2) ; (b+10) escogemos el mayor e
igualamos a 17
b + 10 = 17 entonces despejamos y resulta b = 7
Finalmente lo que nos piden ( a- b)2 = ( 5 – 7) 2 = 4 … RESPUESTA = 4

13. 2. Calcular la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es un polinomio
completo.
P(x) = 5xm+2 – 3x4 + 4x2 + 3x + 2m
SOLUCIÓN:
El dato dice polinomio completo significa que los exponentes de las variables
deben “completos” ; si observamos que exponente falta?
¡ Bien ! ; falta el exponente 3; entonces igualamos m+2 = 3 donde resulta
m = 1; Luego reemplazamos en el polinomio.
P(x) = 5x1+2 – 3x4 + 4x2 + 3x + 2(1) = P(x) = 5x3 – 3x4 + 4x2 + 3x + 2
Ahora los coeficientes serán : 5 ; -3 ; 4 ; 3 ; 2
Calculamos la suma de los coeficientes : 5 -3 +4+3 +2 = 11
RESPUESTA = 11

14. 3. Se tienen los polinomios:
M(x) = 3x2 + (b + 3)x + c2 – 3 y N(x) = (7 – a)x2 + (2b + 1)x + 1
Donde: M(x) = N(x)
Hallar: E = a – b – c
SOLUCIÓN
Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los términos de igual grado
son iguales, es decir :
7- a = 3 b+3 = 2b +1 c2 – 3 = 1
7 – 3 = a 3 – 1 = 2b – b c2 = 1 +3
a = 4 b = 2 c2 = 4 ; c = 2
Piden E = a – b – c = 4 – 2 – 2 = 0
RESPUESTA = 0

15. 4. Dado P(x)= 2 x3 – 5 x2 + k x+ 2 calcular k sabiendo que P(-1) = -9.
Que P(-1) = - 9 significa que cuando reemplazo a "x “ por -1, al resolver
las operaciones, obtengo como resultado -9, luego:
P(-1)= 2 (-1)3 – 5 (-1) 2 + k (-1)+ 2 como P(-1) = -9 , reemplazo P(-1)
por -9
-9 = -2 – 5 – k + 2
K= -5 +9
K = 4
RESPUESTA = 4

16. 5. Calcule el valor de a, bycpara que P(x) y Q(x)sean iguales
P(x)= (x + 3) ( x2 + a x+ b) y Q(x)= cx3 + 4 x 2 + 5x +6
 Efectuamos el producto indicado en P(x) P(x)= x 3 + a x 2 + b x + 3 x 2 +3 a x + 3 b
Agrupamos los términos de igual grado: P(x)= x 3 + a x 2 + 3 x 2 + b x +3 a x
+ 3 b P(x)= 1x 3 + (a + 3 ) x 2 + (b + 3 a ) x + 3 b
 Para que P(x) = Q(x)se debe cumplir que: 1 x3 = cx3  c= 1
(a + 3 )x 2 = 4 x2  a + 3 = 4  a = 4 – 3  a = 1
(b +3 a ) x = 5 x  b +3 a = 5
3 b = 6  b = 6 : 3 b = 2
Conesta igualdad
verificamos los valores
hallados

17. TAREA
1. En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:
P(x) = xa+b-6 + (a – b)x + 3xa-b
Calcular: “ab”
2. Si: P(x) es completo y ordenado ; Hallar: “b”
P(x) = axa+b – xa+2 – x2a + 3xa + xa-1
3. El polinomio es idénticamente nulo:
P(x) = (m - 3)x4 + (n2 - 4)x3 + (n - 2)x2 + px + c – 4 ; Calcule (m + n + p) / (c +1)
4. Sea P(x) un polinomio idénticamente nulo:
P(x) = (m + n + 3)x2 + (2m + n - 1)x + n - 2
Hallar: E = (m + n)50

18. 5. Señale el grado del polinomio entero y ordenado en forma estrictamente decreciente.
P(x) = x12-2a + x2a-4 + x4-2ª
6. Si: P(x) = 5x5 – 3x2 + 7x + 15 Hallar: P(-1)
7. Si: P(x) = x4 – 2x2 + 1 Hallar: P[P[P[P[P(0)]]]]
8. Si: P(x) = 3x + 2 Hallar: P(5x) – 5P(x)
9. Multiplicar:
(x2 + 2x – 1) (x2 – 5x + 2) =
(x + 9) (x2 – 9x + 81) =
(x – 5) (x2 + 5x + 25) =

19. GRACIAS!!!