El documento explica los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica racional entera compuesta por variables y constantes combinadas mediante operaciones matemáticas. Explica que los polinomios están constituidos por monomios y que su grado depende del mayor exponente de la variable. También describe los elementos de un polinomio como la variable, el grado, los coeficientes y el término independiente.

1. Polinomios
Por Rose Molina

2. Expresiones algebraicas
Conjunto de variables y constantes (letras y números) combinadas por operaciones matemáticas (suma,
resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) en un número limitados de estos.
Ejemplos:
1) P(x) = 2x2 + 11
2) Q(x) = 20x7 – 5x1/3 + 1/2
3) R(x) = 7x5 + √2x2 – x/3
4) F(x,y) = x5y-2 + 5xy2 + √7
5) T(x,y,z) = xy2z2 + 3/(x2yz) + xyz-3
n una expresión algebraica ninguna variable
(x,y,z,…) podrá formar parte de algún exponente y/o
índice del signo radical
«NO son expresiones algebraicas».

3. Polinomios
Son expresiones algebraicas racionales enteras y están
constituidos por una varias variables y constantes.

4. Polinomios
«Por definición y en forma práctica se dice que un polinomio es la suma de monomios»

5. Ejemplo de polinomios
P(x) = 7x2 + 2x + 7
Q(y) = 3x – 9
R(x) = x3 + 4x2 + π
M(x) = x – 2x3 + 8x5 + 4x2 + √3
T(x,y) = 4x3y + 3x2y2 + 8
NOTA: Recuerde que en todo polinomio los exponentes deben ser números enteros
positivos. Además, el mayor exponente expresa el Grado del Polinomio.

6. Concepto
Donde:
● n: es el grado del polinomio,
además n ∈ Z+
● a0: coeficiente principal, tal
que a0 ≠ 0
● an: es el término
independiente
Polinomio de una sola variable

7. Elementos y partes
de un polinomio
Tenemos los siguientes elementos o partes del
Polinomio:
●Variable: La variable para este polinomio es «x».
●Grado del Polinomio: Es el mayor exponente de
la variable «x«, entonces sería: «n«.
●Coeficientes: Son los siguientes números reales:
a0, a1, a2, …, an.
●Coeficiente principal: Es el coeficiente del término
que contiene el grado del polinomio: a0.
●Término Independiente: Es aquel donde no está
presente la variable «x«, en este caso sería : an.

8. Consejo
Por lo general, aunque no es regla, se ordena el
polinomio de forma descendente con respecto al
exponente de la variable:
1. x² + x + 1
2. 7x³ + 1
3. 3x³ + 2x² + x + 5

9. Es el producto de un número real
por una o varias variables
Ejemplo:
−5x²
También lo podemos escribir
como
-5 * x² o 5 * x * x
Monomio
Un monomio puede no tener
coeficiente, por ejemplo x². En
realidad, su coeficiente, seria 1. Seria
equivalente a decir
1 * x²

11. Leyes y propiedades de exponentes

12. Exponente con fracción

13. Clase 8

14. Multiplicación de exponentes
Vamos a multiplicar el binomio 2x+3 por el monomio 4x. Para ello,
multiplicamos 2x por 4x y 3 por 4x
El producto 2x⋅4x se simplifica multiplicado sus coeficientes y sumando los
exponentes de sus partes literales (1 y 1):

15. Multiplicación de exponentes
(x + 2) (6x + 1)

16. Multiplicación de exponentes

17. Productos notables

18. Productos notables

19. Binomio al cuadrado Binomio al cubo

20. Ejemplo
Aplicar la fórmula de la suma al cuadrado para calcular el
cuadrado ( 2x + 1)²

21. Ejemplo

22. Ejemplo

23. Ejemplo
También podemos calcular el producto sin fórmula:
El resultado es el
mismo, pero es más
rápido utilizar la
fórmula

24. Factorización
01
Factorizar un polinomio, es descomponerlo en dos o más
polinomios llamados factores, de modo que , al multiplicarlos, se
obtenga el polinomio original.

25. Factorización
La factorización de polinomios, significa, transformar una suma algebraica
en un producto de factores.
La factorización, es el proceso
contrario a la multiplicación, el cual
no está sujeta a reglas específicas, su
operación depende la práctica
adquirida.

26. Objetivo de la factorización
En esencia, la factorización es la transformación de un polinomio en un producto indicado de
factores primos.
El objetivo de toda factorización, es expresar el polinomio, en un producto de factores
primos.

27. Métodos de factorización

28. Si multiplicamos los factores (a-b)(a+b) obtenemos a² – b² que viene hacer el
polinomio original.
De aquí es que siempre decimos que la multiplicación y factorización son procesos inversos.

29. Ejemplo
El polinomio:
P(y) = y4 – 13y² + 36
P(y) = (y² – 4)(y² – 9)
Pensar un número que
multiplicado de 36 y sumado
de 13

30. Nos preguntamos ¿(y² – 4)(y² – 9) son los factores primos?
No, porque aún se pueden descomponer en:
y² – 4 = (y – 2)(y + 2)
y² – 9 = (y – 3)(y + 3)
Entonces:
P(y) = y4 – 13y² + 36 ⇒ P(y) = (y – 2)(y + 2)(y – 3)(y + 3)

31. Importante
● Si un Polinomio está escrito como una
multiplicación de factores primos, se dice
que el Polinomio está Factorizado.
● En la factorización de un polinomio cuando
descomponemos todos los factores y ya no
sean posibles descomponerlos más,
habremos expresado dicho polinomio como
una multiplicación de factores primos.

32. Ejemplo
Sea el Polinomio: P(x) = x² – 4
Para factorizar se puede emplear la propiedad de diferencia de cuadrados:
a² – b² = (a+b)(a-b)
⇒ P(x) = (x+2)(x-2)
El Polinomio P(x) se ha expresado en un Producto de Factores Primos, los
cuales son: (x+2) y (x-2)

33. Ejemplo
Sea el Polinomio: P(x) = x² + 2x +1
⇒ P(x) = (x+1)(x+1) = (x+1)²

34. Clase 9

35. Factor común de un polinomio
1. Conseguimos el mayor factor común entre 24 y 16 (MCD)
24 16 2
12 8 2
6 4 2
3 2
2*2*2= 8

36. Factor común de un polinomio
2. Conseguimos los factores comunes de las variables y la mayor potencia
común.
x y y son las variables comunes
Las máxima potencia en común de x y y es 6 y 3 respectivamente

37. Factor común de un polinomio
3. El factor común entonces quedaría como:
Procedemos a factorizar
● Se divide los coeficientes
● Se restan los exponentes

38. Factor común de un polinomio
(MCD)
32 60 2
16 30 2
8 15
2 * 2= 4
Encontramos la variables en común y sus máximo
exponentes
Factorizamos

39. Factor común de un polinomio
(MCD)
56 72 30 2
28 36 15
2
Encontramos la variables en común y sus máximo
exponentes
Factorizamos
Operamos

40. Factorización de binomios
Los binomios factorizables son:
● la diferencia de dos cuadrados (x2-y2),
● la diferencia de dos cubos (x3-y3) y
● la suma de dos cubos (x3+y3).

41. Factorización de binomios
La factorización de la diferencia de dos cuadrados (x2-y2) es:

42. Factorización de diferencia de dos
cuadrados
Recordatorio

43. Factorización de diferencia de dos
cuadrados
Recordatorio

44. Factorización de diferencia de dos
cuadrados
Recordatorio

45. Ley de signos

46. Recordatorio
Mayor

47. Ecuaciones

48. Ecuaciones
Consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita x para que se
umpla la igualdad.
Podemos comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la
incógnita x por la solución.

49. Ecuaciones
2 - x = x - 8
- x - x = - 8 - 2
-2x = -10
X = -10 /-2
X = 5
Comprobación
2 - 5 = 5 - 8
-3 = -3

50. Ecuaciones
2x - 1 = 5x + 8
2x - 5x = 8 + 1
-3x = 9
x = 9/-3
x = -3
Comprobación
2(-3) - 1 = 5(-3) + 8
-7 = -7

51. Ecuaciones
3 + 3x - 1 = x + 2 + 2x
3x - x - 2x = 2 - 3 + 1
0 = 0
Esto significa que la
incógnita (x) puede
tomar cualquier
valor.
Comprobación
Ejemplo: -5
3 + 3(-5) - 1 = -5 + 2 + 2(-5)
3 - 15 - 1 = -5 + 2 - 10
-13 = -13
Comprobación
Ejemplo: 100/3
3 + 3(100/3) - 1 = (100/3) + 2 + 2(100/3)
3 + 100- 1 = 100/3 + 2 + 200/3
102 = 102

52. Clase 10

53. Ecuaciones
3x - x - 2x = 2 - 3 + 1
2x - 2x = -1 + 1
0x = 0
0=0
Esto significa que la
incógnita puede tomar
cualquier valor, por lo que la
solución es
Comprobación
3(-26) - (-26) -2 (-26)= 2-3+1
0 = 0

54. Ecuaciones
2(1 + 2x) = 10
1 + 2x = 10/2
1 + 2x = 5
2x = 5 - 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Comprobación
2(1 + 2(2)) = 10
2 (5) = 10
10 = 10

55. Ecuaciones
-2(3x - 2) = -2
3x - 2 = -2/-2
3x - 2 = 1
3x = 1 + 2
3x = 3
x = 3/3
x = 1
Comprobación
-2(3(1) - 2) = -2
-2(3 - 2) = -2
-2(1) = -2
-2 = -2
*Otra forma de resolver

56. Hoja de Trabajo
1) x - 3 = 3 - x
1) 3x + 1 = 3 - ( 2 - 2x)
1) 12x + 5 = 41
1) 7x + 2 + 4x = 5x + 32
1) 5 (2 + x ) = 2x + 31
1) 3x + 7 – 5y = 6
1) 12x + 5 = 41
1) 8x - 4x = 4
1) -2 (1 +x) = x
1) X + 1 = 6
1) 3 + x - 2 = 3 + 1
1) 2 - 5x = 17
1) 4 x - x = 2x - 5
1) 3x - 2 = x + 3
1) 5x - 2 = 3x + 1

57. Ecuaciones
Comprobación
1 - (½) : 3 = (5 (½)) : 3
⅚ = ⅚
Objetivo: eliminar el denominador,
multiplicando toda la ecuación por ese
número
Recuerda que cuando multipliques
por cualquier número se debe hacer
en ambos lados de la ecuación)

58. Ecuaciones
Objetivo: eliminar el denominador,
multiplicando toda la ecuación por ese
número
Si multiplicamos por 3 la ecuación,
desaparecen las fracciones cuyo
denominador es 3. Pero quedará la
fracción cuyo denominador es 2. Para
eliminar los denominadores de un solo
paso, multiplicamos la ecuación por el
MCM
El MCM es 6, por lo tanto multiplicamos por 6
la ecuación.
Recuerda que cuando multipliques por
cualquier número se debe hacer en ambos
lados de la ecuación)

59. Ecuaciones
En esta ecuación tenemos una fracción,
pero está multiplicando al paréntesis.
Podemos multiplicar toda la ecuación por
su denominador o bien operar con ella.
Opción 1

60. Ecuaciones
En esta ecuación tenemos una fracción,
pero está multiplicando al paréntesis.
Podemos multiplicar toda la ecuación por
su denominador o bien operar con ella.
Opcion 2

61. Ecuaciones
Hemos obtenido una igualdad falsa. Esto significa que no
existe ningún valor para x que haga que la ecuación se
cumpla. Por tanto, la ecuación no tiene ninguna solución.

62. Ecuaciones
Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar la fracción
de la izquierda: