ejercicicios resueltos sobre transformada de laplace y serie de fourier

1. Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Escuela de Mantenimiento Mecánico
Transformada de Laplace y serie de Fourier
AUTORES : Isaias Suarez CI : 19.323.444
TUTORES : Jose luis Morillo
CABUDARE, MARZO DEL 2012

2. 1.) UTILIZAR LA DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y
RESOLVER LA SIGUIENTE FUNCION
5 2
F t t 7 5 cos 3 t
3

3. 2.) UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE
RESOLVER. SIMPLIFIQUE LOS RESULTADOS.
7 4t 2
a) F t e ( c os 2 5t 2 c osh 2 3t 4t 7 )
2 3
3 sen3t
b) F t t 6 senh 2t 5
5 t2
3 3 5
c) F t L F" t si F t c os 2t 2e 3t t
4 5
Resolución problema parte A:
Aplicando linealidad
Se multiplica y se divide la tercera transformada por 7!
Se aplica el primer teorema de traslación y tablas

4. Simplificando
Resolución del problema parte B.
Aplicando linealidad
Multiplicando por t en la primera transformada y división por t en la
segunda transformada, por tablas se obtiene:

5. Resolviendo:
Resolución problema parte C:
L f t s 2 .L f t s. f (0) f ' (0) ____(1)
asi
3 3 4 entonces 3 5
f (t ) cos 2t 2e 3t t f (0) 2
4 5 4 4
3 12 3 entonces
f ' (t ) sen 2t 6e 3t t f ' (0) 6
2 5
3 3 5
L f t L cos 2t 2e 3t t
4 5

6. Aplicando linealidad:
3 3t 3 t5
L f t L cos 2t 2L e .5!.L
4 5 5!
3 s 1 1 1
L f t 2 2 72
4 s2 4 s 2
4 s 3 s6
Sustituyendo en (1)
3 s 2 72 5
L f t s2 s 6
4 s2 4 s 3 s6 4
simplificando
3 s3 2s 2 72 5
L f (t ) s 6
4 s2 4 s 3 s4 4
3.-Aplicar Tabla, simplificación y método correspondiente para
1
determinar L f s F t
Resolución problema parte A
3
7 s 5
1 4 5 s 5 7 7s 4 4 5
a) L 2 3
3 9 s 2
10s 25 8s 2 18 s 2 4
3 s 12 7
4
Aplicamos factorización y separamos las fracciones:
L⁻¹ L⁻¹

7. Aplicando linealidad
Por tablas:
Resolución del problema parte B
1 4s 7 6s 4
b) L
5 17 1
s2 s s2 s 20
3 4 3
Completando el cuadrado perfecto
Se le suma a la primera fracción 5/6 y -5/6, a la segunda fracción se le suma 1/6 y
-1/6

8. Aplicando linealidad:
Por tablas:
Resolución del problema parte C
1 s2 2s 3
c) L
s2 2s 2 s 2 2s 5
Se aplica el método de fracciones parciales para escribir la fracción en
varias fracciones

9. Igualamos coeficientes
(I)
0 (II)
(III)
(IV)
Sustituimos en (II) Y (IV)

10. Por consiguiente:
Completando cuadrado perfecto
Aplicando linealidad
Por tablas
4.) Utilizar el teorema de Convolución y determine:
2 5
L1
s3 s 2 2

11. Aplicando el método de convolucion
Integrando obtenemos

12. 5.) Determine el semiperiodo del seno de Fourier para
F x 4x ; 0 x 1 Realizar el espectro de la función.
La serie de Fourier resulta

13. 6.) DESARROLLE LA EXPANSIÓN Y REALICE EL ESPECTRO DE FOURIR DE
LA FUNCIÓN
1 si 0 x 1
F x T=2
2 x si 1 x 2

14. Entonces
Finalmente