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Representación gráfica de funciones
- 1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES DOMINIO ݂ ݉ܦ ൌ ܦሺ݂ሻ ൌ ሼݔ ∈ Թ ോ ݂ሺݔሻ ∈ Թሽ Si no se indica lo contrario de forma explícita, el dominio de la función será el mayor posible, es decir, el conjunto de todos los números reales para los que tiene sentido la expresión algebraica de la función. • ݂ función polinómica, ݂ሺݔሻ ൌ ܲሺݔሻ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ Թ • ݂ función racional, ݂ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻ ொሺ௫ሻ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ሼݔ ∈ Թ ܳሺݔሻ⁄ ് 0ሽ ൌ ൌ Թ ∖ ሼݔ ∈ Թ ܳሺݔሻ⁄ ൌ 0ሽ • ݂ cociente de funciones, ݂ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻ ሺ௫ሻ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ሼݔ ∈ ܦሺ݃ሻ ∩ ܦሺ݄ሻ ݄ሺݔሻ⁄ ് 0ሽ • ݂ función radical de índice impar, ݂ሺݔሻ ൌ ඥ݃ሺݔሻ మశభ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ܦሺ݃ሻ • ݂ función radical de índice par, ݂ሺݔሻ ൌ ඥ݃ሺݔሻ మ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ሼݔ ∈ ܦሺ݃ሻ ݃ሺݔሻ⁄ 0ሽ • ݂ función logarítmica, ݂ሺݔሻ ൌ ݈݃ ݃ሺݔሻ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ሼݔ ∈ ܦሺ݃ሻ ݃ሺݔሻ⁄ 0ሽ • ݂ función exponencial, ݂ሺݔሻ ൌ ݃ሺݔሻሺ௫ሻ ⟹ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ሼݔ ∈ ܦሺ݃ሻ ∩ ܦሺ݄ሻ ݃ሺݔሻ⁄ 0ሽ ∪ ሼݔ ∈ ܦሺ݃ሻ ∩ ܦሺ݄ሻ ݃ሺݔሻ⁄ ൌ 0, ݄ሺݔሻ ് 0ሽ • ݂ función trigonométrica ൞ ݂ሺݔሻ ൌ ݊݁ݏ൫݃ሺݔሻ൯ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ܦሺ݃ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ܿݏ൫݃ሺݔሻ൯ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ܦሺ݃ሻ ݂ሺݔሻ ൌ ݃ݐ൫݃ሺݔሻ൯ ⟹ ܦሺ݂ሻ ൌ ൛ݔ ∈ ܦሺ݃ሻ ܿݏ൫݃ሺݔሻ൯⁄ ് 0ൟ SIMETRÍA a) Simetría Par (simetría respecto al eje ܱܻ) ࢌ función par ⟺ ݂ሺെݔሻ ൌ ݂ሺݔሻ, ∀ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ b) Simetría Impar (simetría respecto al punto ܱሺ0, 0ሻ) ࢌ función impar ⟺ ݂ሺെݔሻ ൌ െ݂ሺݔሻ, ∀ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ • Si una función es par o impar, basta hacer el estudio para ݔ 0 y, por simetría, obtener la gráfica para ݔ 0.
- 2. PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES PERIODICIDAD ࢌ función periódica ⟺ ∃ܶ ∈ Թ ݂ሺݔሻ⁄ ൌ ݂ሺݔ ܶሻ, ∀ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ ࢀ ⟶ Período de ࢌ (menor valor real que cumple la condición) • Esta característica aparece asociada a algunas funciones de tipo trigonométrico. • En el caso de funciones periódicas, basta construir la gráfica en un período y, después, repetir ese tramo sucesivamente. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES a) Puntos de corte con el eje ࡻࢄ: ݕ ൌ 0, ݂ሺݔሻ ൌ 0 b) Punto de corte con el eje ࡻࢅ: ݔ ൌ 0, ݕ ൌ ݂ሺ0ሻ • Los puntos de corte con ܱܺ son de la forma ሺݔ, 0ሻ, donde ݔ es solución de la ecuación ݂ሺݔሻ ൌ 0. • La función puede presentar ninguno, uno o varios puntos de corte con el eje ܱܺ. • El punto de corte con ܱܻ, si existe, siempre es único, coincidiendo con ሺ0, ݂ሺ0ሻሻ. CONTINUIDAD a) ࢌ continua en ࢞ ⟺ ݂ሺݔሻ ൌ ݈݅݉ ௫→௫బ ݂ሺݔሻ b) ࢌ continua en ሺࢇ, ࢈ሻ ⟺ ݂ continua en ݔ , ∀ݔ ∈ ሺܽ, ܾሻ Es interesante identificar las posibles discontinuidades que presenta la función, así como el tipo de estas: • ࢞ ൌ ࢞ discontinuidad evitable ⟺ ⟺ ൞ ݔ ∉ ܦሺ݂ሻ , ݈݅݉ ௫→௫బ ݂ሺݔሻ ∈ Թ o ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ , ݈݅݉ ௫→௫బ ݂ሺݔሻ ∈ Թ , ݂ሺݔሻ ് ݈݅݉ ௫→௫బ ݂ሺݔሻ • ࢞ ൌ ࢞ discontinuidad inevitable de 1ª especie de salto finito ⟺ ⟺ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ݈݅݉ ௫→௫బ ష ݂ሺݔሻ ∈ Թ ݈݅݉ ௫→௫బ శ ݂ሺݔሻ ∈ Թ ݈݅݉ ௫→௫బ ష ݂ሺݔሻ ് ݈݅݉ ௫→௫బ శ ݂ሺݔሻ • ࢞ ൌ ࢞ discontinuidad inevitable de 1ª especie de salto infinito ⟺ ⟺ ە ۔ ۓ ݈݅݉ ௫→௫బ ష ݂ሺݔሻ ൌ േ∞ o/y ݈݅݉ ௫→௫బ శ ݂ሺݔሻ ൌ േ∞
- 3. PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES SIGNO a) ݂ሺݔሻ 0 ⟹ gráfica por encima del eje ܱܺ b) ݂ሺݔሻ ൏ 0 ⟹ gráfica por debajo del eje ܱܺ • Para estudiar el signo de ݂ hay que tener en cuenta las regiones determinadas por los intervalos de definición (dominio), así como las posibles discontinuidades y las abscisas de los puntos de corte con el eje ܱܺ (si estos existen). ASÍNTOTAS a) Asíntotas Verticales (AV): ݈݅݉ ௫→ష ݂ሺݔሻ ൌ േ∞ ⟺ ݔ ൌ ܿ AV por la izquierda ݈݅݉ ௫→శ ݂ሺݔሻ ൌ േ∞ ⟺ ݔ ൌ ܿ AV por la derecha • Para determinar las asíntotas verticales se estudia el límite de la función en aquellos valores que dan problemas de existencia. • La existencia de asíntotas verticales da lugar a ramas infinitas en un punto. • Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. • Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales. • Las funciones racionales tienen asíntotas verticales en los valores de ݔ que anulan el denominador. b) Asíntotas Horizontales (AH): ݈݅݉ ௫→ିஶ ݂ሺݔሻ ൌ ݇ ∈ Թ ⟺ ݕ ൌ ݇ AH cuando ݔ → െ∞ ݈݅݉ ௫→ାஶ ݂ሺݔሻ ൌ ݇ ∈ Թ ⟺ ݕ ൌ ݇ AH cuando ݔ → ∞ • Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales. • Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales. • En funciones racionales, ݂ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻ ொሺ௫ሻ : ݃ܲ ݀ܽݎሺݔሻ ൏ ݃ܳ ݀ܽݎሺݔሻ ⟹ ݕ ൌ 0 AH ݃ܲ ݀ܽݎሺݔሻ ൌ ݃ܳ ݀ܽݎሺݔሻ ⟹ ݕ ൌ ௧ ሺ௫ሻ ௧ ொሺ௫ሻ AH • Para conocer la posición de la gráfica respecto de la asíntota horizontal ݕ ൌ ݇, se estudia el signo de ݂ሺݔሻ െ ݇ cuando ݔ → െ∞ o/y cuando ݔ → ∞, según corresponda, de modo que la gráfica estará por encima o por debajo de la asíntota según que esa diferencia sea, respectivamente, positiva o negativa.
- 4. ݔ → േ∞ cuando ݔ → ∞ cuando ݔ → െ∞ PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES ASÍNTOTAS c) Asíntotas Oblicuas (AO): ݈݅݉ ௫→േஶ ሺ௫ሻ ௫ ൌ ݉ ∈ Թ ∖ ሼ0ሽ ݈݅݉ ௫→േஶ ሾ݂ሺݔሻ െ ݉ݔሿ ൌ ݊ ∈ Թ ቑ ⟹ ݕ ൌ ݉ݔ ݊ AO cuando • Las asíntotas oblicuas solo se estudian dónde no haya asíntotas horizontales. • La posición de la curva respecto de la asíntota oblicua ݕ ൌ ݉ݔ ݊, se deduce estudiando el signo de ݂ሺݔሻ െ ሺ݉ݔ ݊ሻ cuando ݔ → െ∞ o/y cuando ݔ → ∞, según corresponda. La gráfica se encuentra por encima de la recta si la diferencia es positiva, y por debajo, si es negativa. • Se deben hallar los posibles puntos de corte entre la curva y la asíntota oblicua. • Las funciones polinómicas no tienen asíntotas oblicuas. • En funciones racionales, ݂ሺݔሻ ൌ ሺ௫ሻ ொሺ௫ሻ : ݃ܲ ݀ܽݎሺݔሻ ൌ ݃ܳ ݀ܽݎሺݔሻ 1 ⟹ ݕ ൌ ܿ ݁݀ ݁ݐ݊݁݅ܿ ሺ௫ሻ ொሺ௫ሻ AO RAMAS PARABÓLICAS a) ݈݅݉ ௫→ାஶ ݂ሺݔሻ ൌ േ∞ ∄ AO cuando ݔ → ∞ ቋ ⟹ ݂ presenta rama parabólica b) ݈݅݉ ௫→ିஶ ݂ሺݔሻ ൌ േ∞ ∄ AO cuando ݔ → െ∞ ቋ ⟹ ݂ presenta rama parabólica • Las ramas parabólicas son ramas infinitas en el infinito. DERIVABILIDAD a) ࢌ derivable en ࢞ ∈ ࡰሺࢌሻ por la izquierda ⟺ ⟺ ∃ ݈݅݉ →ష ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ ∈ Թ ⟹ ݂ᇱሺݔ ିሻ ൌ ݈݅݉ →ష ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ b) ࢌ derivable en ࢞ ∈ ࡰሺࢌሻ por la derecha ⟺ ⟺ ∃ ݈݅݉ →శ ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ ∈ Թ ⟹ ݂ᇱሺݔ ାሻ ൌ ݈݅݉ →శ ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ c) ࢌ derivable en ࢞ ∈ ࡰሺࢌሻ ⟺ ⟺ ∃ ݈݅݉ → ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ ∈ Թ ⟹ ݂ᇱሺݔሻ ൌ ݈݅݉ → ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ d) ࢌ derivable en ሺࢇ, ࢈ሻ ⟺ ݂ derivable en ݔ, ∀ݔ ∈ ሺܽ, ܾሻ Conviene identificar los puntos del dominio en los que la función no es derivable: • ݂ no continua en ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ ⟹ ݂ no derivable en ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ • ∃ ݂ᇱሺݔ ିሻ, ∃ ݂ᇱሺݔ ାሻ ݂ᇱሺݔ ିሻ ് ݂ᇱሺݔ ାሻ ൠ ⟹ ݂ no derivable en ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ ⟶ ݔ punto anguloso • ݈݅݉ →ష ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ ൌ േ∞ ݈݅݉ →శ ሺ௫బାሻିሺ௫బሻ ൌ േ∞ ቑ ⟹ ݂ no derivable en ݔ ∈ ܦሺ݂ሻ ⟶ ⟶ ቐ ݔ punto anguloso (un límite infinito y el otro real) ݔ punto de retroceso (un límite ∞ y otro െ ∞) ݔ punto de inflexión con tangente horizontal (los dos límites ∞ o െ ∞)
- 5. PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES MONOTONÍA a) ݂ᇱሺݔሻ 0 ⟹ ࢌ creciente b) ݂ᇱሺݔሻ < 0 ⟹ ࢌ decreciente • Se estudia el signo de ݂ᇱ en las regiones determinadas por los intervalos de definición de la función y por aquellos puntos en los que ݂ᇱ se anula, o bien, no existe. EXTREMOS RELATIVOS a) ݂ᇱሺݔሻ = 0 ݂ᇱᇱሺݔሻ < 0 ൠ ⟹ ࢞ máximo de ࢌ ⟺ ⟺ ൫ݔ, ݂ሺݔሻ൯ máximo de la curva ݕ = ݂ሺݔሻ b) ݂ᇱሺݔሻ = 0 ݂ᇱᇱሺݔሻ > 0 ൠ ⟹ ࢞ mínimo de ࢌ ⟺ ⟺ ൫ݔ, ݂ሺݔሻ൯ mínimo de la curva ݕ = ݂ሺݔሻ • Son los puntos del dominio en los que la función pasa de creciente a decreciente (máximos) o de decreciente a creciente (mínimos). • Los posibles extremos relativos de una función derivable son los puntos solución de la ecuación ݂ᇱሺݔሻ = 0. • Otro criterio para localizar los extremos relativos de funciones derivables es este: ݂ᇱሺݔሻ = 0 ݂ᇱሺݔ ିሻ > 0 ݂ᇱሺݔ ାሻ < 0 ቑ ⟹ ࢞ máximo de ݂ ⟺ ൫ݔ, ݂ሺݔሻ൯ máximo de la curva ݕ = ݂ሺݔሻ ݂ᇱሺݔሻ = 0 ݂ᇱሺݔ ିሻ < 0 ݂ᇱሺݔ ାሻ > 0 ቑ ⟹ ࢞ mínimo de ݂ ⟺ ൫ݔ, ݂ሺݔሻ൯ mínimo de la curva ݕ = ݂ሺݔሻ • También pueden ser máximos o mínimos los extremos de los intervalos de definición de la función (si están incluidos), así como los puntos del dominio en los que esta no es derivable, por lo que es preciso estudiar los valores que toma ݂ en un entorno de dichos puntos. • De entre todos los máximos, aquel en el que la función alcanza el mayor valor es el máximo absoluto. • De entre todos los mínimos, será mínimo absoluto el punto en el que la función toma el menor valor. • Una función puede no presentar extremos (relativos ni absolutos), o bien, sí tener algún extremo relativo, pero no el correspondiente absoluto. CURVATURA a) ݂ᇱᇱሺݔሻ > 0 ⟹ ࢌ convexa b) ݂ᇱᇱሺݔሻ < 0 ⟹ ࢌ cóncava • Se estudia el signo de ݂ᇱᇱ en las regiones determinadas por los intervalos de definición de la función y por aquellos puntos en los que ݂ᇱᇱ se anula, o bien, no existe.
- 6. PROPIEDADES CARACTERIZACIÓN OBSERVACIONES PUNTOS DE INFLEXIÓN ݂ᇱᇱሺݔሻ = 0 ݂ᇱᇱᇱሺݔሻ ≠ 0 ൠ ⟹ ࢞ punto de inflexión de ࢌ ⟺ ⟺ ൫ݔ, ݂ሺݔሻ൯ punto de inflexión de la curva ݕ = ݂ሺݔሻ • Son los puntos del dominio en los que cambia la curvatura de la función. • En el caso de las funciones dos veces derivables, los posibles puntos de inflexión son las soluciones de la ecuación ݂ᇱᇱሺݔሻ = 0. • Otro criterio para localizar los extremos relativos de funciones derivables es este: ݂ᇱᇱሺݔሻ = 0 ݊݃݅ݏ ݂ᇱᇱሺݔ ିሻ ≠ ݊݃݅ݏ ݂ᇱᇱሺݔ ିሻ ൠ ⟹ ࢞ punto de inflexión de ݂ ⟺ ⟺ ൫ݔ, ݂ሺݔሻ൯ punto de inflexión de la curva ݕ = ݂ሺݔሻ • También pueden ser puntos de inflexión los puntos del dominio de la función en los que no existe ݂ᇱᇱ . TABLA DE VALORES Construir una tabla de valores, sustituyendo en la expresión algebraica de la función ݔ por los valores ݔ correspondientes a los puntos característicos que han surgido a lo largo del estudio realizado. A menudo conviene calcular también otros puntos que faciliten la representación gráfica. GRÁFICA La gráfica de la función ݂ es el lugar geométrico de los puntos ሺ,ݔ ݕሻ del plano que satisfacen la ecuación ݕ = ݂ሺݔሻ. • Graduar los ejes convenientemente para representar todas las características de ݂. • Dibujar las posibles asíntotas. • Representar los puntos ሺ,ݔ ݂ሺݔሻሻ contenidos en la tabla de valores.