Leonel Granado Saia

1. República Bolivariana De Venezuela
Instituto universitario politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión-Barcelona
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Leonel Granado
V-29859890

2. Índice
- Introducción
- Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
- Derivadas parciales.
- Diferencial total.
- Gradientes.
- Divergencia y Rotor.
- Plano tangente y recta normal.
- Regla de la cadena.
- Jacobiano.
- Extremos relativos.
- Multiplicadores de Lagrange.
- Teorema de Gauss, Ampere, Stoke y Green.
- Anexos
- Bibliografía

3. Introducción
El cálculo integral de funciones de varias variables reales es una materia fundamental en la
formación matemática básica, no sólo en las facultades de matemáticas, sino también en las de
ciencias y en las escuelas técnicas.
Además de ser imprescindible en muchas otras materias, como la teoría de la probabilidad, el
análisis de Fourier, las ecuaciones diferenciales y funcionales, etc. Además de los teoremas de
integración reiterada y del cambio de variables para integrales múltiples, se desarrollan otros
temas, como la integración de funciones dependientes de parámetros y las integrales de línea y
superficie. Con el fin de adecuar los temas a los conocimientos de los alumnos a los que va dirigido
el libro, se compaginan los conceptos teóricos con las demostraciones prácticas, reelaborando
muchas de las pruebas y distribuyendo los temas de forma que sean más cómodos de estudiar.

4. Desarrollo

5. Limite y continuidad de una función en el espacio R3
En este capítulo veremos los conceptos más importantes relacionados con la continuidad de funciones
de varias variables reales
Durante el presente tema, consideraremos ℝ 2 y ℝ 3 con sus correspondientes métricas euclídeas 𝑑 que
ya hemos introducido en el primer tema de la asignatura:
𝑑 ∶ (‫,ܠ‬ ‫)ܡ‬ ∈ ℝ2 × ℝ2 ⟶ 𝑑(‫,ܠ‬ ‫)ܡ‬ = ‖‫ܠ‬ − ‫‖ܡ‬ = √(‫1ݔ‬ − ‫1ݕ‬ ) 2 + (‫2ݔ‬ − ‫2ݕ‬ ) 2
𝑑 ∶ (‫,ܠ‬ ‫)ܡ‬ ∈ ℝ3 × ℝ3 ⟶ 𝑑(‫,ܠ‬ ‫)ܡ‬ = ‖‫ܠ‬ − ‫‖ܡ‬ = √(‫1ݔ‬ − ‫1ݕ‬ ) 2 + (‫2ݔ‬ − ‫2ݕ‬ ) 2 + (‫3ݔ‬ − ‫3ݕ‬ )
Veamos entonces como podemos definir el concepto de función real de varias variables reales, para ello,
distinguiéremos dos casos, las funciones escalares y las funciones vectoriales.

6. Función escalar
Dado un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 , una función escalar es una aplicación:
𝑓 ∶ 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ.
O lo que es lo mismo, una función escalar, es una aplicación de varias variables cuya imagen está
contenida en la recta real.
Función vectorial
Dado un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 , una función vectorial es una aplicación:
𝐟 ∶ 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 ⟶ ℝ𝑚 .
O lo que es lo mismo, una función vectorial, es una aplicación de varias variables reales cuya
imagen está contenida en el espacio euclídeo ℝ.

7. Derivadas parciales
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este concepto en
el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de la forma f :I⊂ →R ,
donde I⊂R es un intervalo abierto, y x0 ∈I un punto de dicho intervalo, se define la derivada de f en 0 x
como el límite:
𝑓` 𝑥0 = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − (𝑓(𝑥0)
ℎ
Desde el punto de vista geométrico, 𝑓` 𝑥0 corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
la función f (x) en el punto (𝑥0, 𝑓 𝑥0 y, por tanto, mide la mayor o menor inclinación de la gráfica de la
función en ese punto. La pendiente de la recta tangente es el valor de la tangente del ángulo que forma
con la horizontal.

8. Diferencia total
El diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a una
combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la fun
ción.
Formalmente el diferencial total de una función es una forma o forma pfaffiana y puede ser tratada
rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de
variables dependientes de la función.
Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:
Representación
En cálculo diferencial, el diferencial total de una función se puede representar de la si
guiente manera:
donde f es una función .

9. Gradiente
La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el
concepto de matriz Jacobiana.2
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla 𝛻 seguido de la función (atención a no
confundir el gradiente con la divergencia, esta última se denota con un punto de producto escalar
entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante 𝛻𝑓 o usando la
notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 .

10. Propiedades de el gradiente
-El gradiente verifica que:
𝛻 𝑓 + 𝑔 = 𝛻𝑓 + 𝛻𝑔
𝛻 𝑎𝑓 = 𝑎𝛻𝑓,3
con estas dos propiedades, el gradiente es un operador lineal.
-Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por ∅ = 𝑐𝑡𝑒.
-Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
-Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
-Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
-El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
𝛻𝑋 𝛻∅ = 0

11. Divergencia y Rotor.
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una
superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes
o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del
campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para
el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación

12. donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el
volumen que encierra dicha superficie S y 𝛻 es el operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el
campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo,
el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la
divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una
de sus propiedades sea que su divergencia es nula

13. Rotor
Se entiende por rotacional o rotor al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir
rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado
del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero
Aquí, 𝛻S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este
límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal
a 𝛻S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán
calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

14. El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente
ecuación:
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus
puntos.

15. Plano tangente y recta normal.
Plano tangente
Se llama plano tangente a una superficie en un punto al plano que contiene a todas las rectas tangentes
de todas las curvas trazadas sobre la superficie que pasan por el punto. Si no todas las tangentes están
sobre el mismo plano, entonces se dice que no existe el plano tangente.
Analíticamente, esto significa que, para que exista el plano tangente a una superficie en un punto de la
misma, la función que define la superficie ha de ser diferenciable en ese punto.
Si la función está expresada en forma explícita 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦), su plano tangente en el punto P ha de
contener todas las rectas tangentes a la superficie en el punto P. En particular, ha de contener las rectas
tangentes en las direcciones de los ejes x e y, por lo que los vectores: 𝑣 𝑡𝑥 = 1,0, 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) y 𝑣𝑡𝑦 =
0,1, 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) están contenidos en el plano.

17. Recta normal
Se llama recta normal a una superficie en un punto de la misma, a la recta que pasa por P(𝑋0, 𝑌0 , 𝑍0) y
tiene por vector director al vector normal a la superficie en dicho punto; es decir, la recta perpendicular
al plano tangente a la superficie en P.
Como vector normal a la superficie y se pueden usar de manera indistinta cualquiera de los vectores
gradiente 𝛻𝑓 𝑋0, 𝑌0 o 𝛻𝐹 𝑋0, 𝑌0 .
Las ecuaciones paramétricas de la recta normal son:
𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋0, 𝑌0, 𝑍0 + −𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 . −𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), 1
𝑡
O
𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋0, 𝑌0, 𝑍0 + 𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑡
Las ecuaciones simétricas de la recta normal son:
𝑥−𝑥0
−𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0)
=
𝑦−𝑦0
−𝑓𝑦(𝑥0,𝑦0)
=
𝑧−𝑧0
1
O
𝑥 − 𝑥0
𝐹𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
=
𝑦 − 𝑦0
𝐹𝑦 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
=
𝑧 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝐹𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

19. Regla de la cadena
En calculo Diferencial, la regla de la cadena no es más que la resultante de la derivada de la
composición de 2 funciones, a esto también se le conoce como composición de funciones y se ve más
a fondo en el calculo algebraico.
En términos más simples (entre comillas), si tenemos una variable nombrada como “y”, la cual
depende de una segunda variable “u”, que a su vez depende de una tercera variable del tipo “x”;
entonces, concluimos que la razón de cambio de “y” con respecto a “x” puede ser obtenida con el
producto proveniente de la razón de cambio de “y” con respecto a “u” multiplicado por la razón de
cambio de “u” con respecto a “x”.

20. Formula de la regla de la cadena
Antes de pasar a la formula debemos entender de donde proviene la formula, para esto analizaremos
su teorema el cual nos dice:
Si y = ƒ(u) es una función derivable de u
Si u = g(x) es una función derivable de x
Entonces podemos decir que:
y = ƒ(g(x)) es una función derivable de x
Y por tal podemos decir que: dy/dx= (dy/du)(du/dx)
o su equivalente: d/dx[ ƒ(g(x))] = ƒ´(g(x))g´(x)

21. Ejemplo

22. Extremos relativos
Los extremos relativos de una función escalar. Aunque la analogía con el caso de una variable es
total, hay algunas diferencias que surgen de manera natural por el paso a una dimensión superior.
En lo sucesivo trabajaremos con funciones escalares, definidas sobre un conjunto A ⊂ R n . Se dirá
que una tal función presenta un extremo relativo en un punto a ∈ o A, si existe un entorno V de a
contenido en A, tal que la diferencia f(x) − f(a) no cambia de signo cuando x ∈ V :
Máximo Si f(x) − f(a) ≤ 0
Mínimo Si f(x) − f(a) ≥ 0

23. Jacobiano
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz
jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al
matemático Carl Gustav Jacobi.
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función.
Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la
función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación
lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir,
dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose
del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una
aplicación cualquiera 𝐹: 𝑅 𝑛
→ 𝑅 𝑚
continua, es decir 𝐹 ∈ 𝐶 𝐾
(𝑅 𝑛
→ 𝑅 𝑚
se dirá que es diferenciable si
existe una aplicación lineal 𝑌 ∈ 𝐿(𝑅 𝑛
, 𝑅 𝑚
) tal que:

24. Multiplicadores de Lagrange.
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en
honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido
con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y
cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas,
una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos
donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos
estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la
función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

25. El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se
definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

26. Teorema de Green, teorema de Gauss y teorema de Stokes
Teorema de Green
Sea 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝐹𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦 ) una función diferenciable de dos variables en el plano, y sea D una
región del plano real. Sea C la frontera de D.
Entonces:

27. Teorema de Gauss
Sea V un volumen cerrado en el espacio, y S su frontera parametrizada (es decir, su "piel"),
entonces, si 𝐹: 𝑉∁𝑅3
→ 𝑅3
, es una función diferenciable en V,
Con este teorema, podemos convertir complicadas integrales de superficies, en integrales de
volúmenes.
-Calcular div(F).
-Encontrar la región de integración V (un volumen, es decir, variables).
-Calcular la integral con 3 variables.

28. Teorema de Stokes
Sea S una superficie del espacio y C su frontera (o límites), y sea 𝐹: 𝑆∁𝑅3
→ 𝑅3
una función diferenciable
en , entonces
Este teorema nos puede resolver problemas de integración cuando la curva en la que tenemos que integrar
es complicada.
También nos dice que si F tiene rotacional 0 en S, entonces su integral a lo largo de la curva C es cero.
Procedimiento
-Encontrar la región de integración S parametrizada (una superficie, es decir, 2 variables).
-Calcular rot(F) .
-Calcular la integral de 2 variables del rotacional de F.

29. Teorema de Ampere
La circulación del vector campo magnético a lo largo de una curva cerrada que rodea a un conductor
por el que circula una corriente de intensidad I, es igual al producto de la constante
µo (permeabilidad magnética del vacío) por la intensidad que penetra en el área limitada por la
curva.
• μ0 es la permeabilidad del vacío
• dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto
• IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, y será positiva o
negativa según el sentido con el que atraviese a la superficie.

30. Conclusión
Al concluir este trabajo de investigación sobre la deliberación y integración de funciones
variables pudimos analizar sus diversas definiciones y las formulas que normalmente son
utilizadas en estos tipos de problemas, con el objetivo de en un futuro podamos utilizar estas
herramientas que nos brindo la información recolectada de diversas paginas, podamos realizar
estos tipos de ejercicios y todo lo relacionado con estos problemas matemáticos.

31. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=jM8Wk
AIKAVM&t=1s
https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_
w0&t=29s
https://www.youtube.com/watch?v=WiGaKy_A
aeg

32. Bibliografía
Wilfred Kaplan. "Cálculo Avanzado". CECSA, impreso en México,editado en
1983.
Watson Fulks. "Cálculo Avanzado". Editorial Limusa S.A, México, impreso en
1973
Serge Lang. "Cálculo II". Fondo Educativo Interamericano. México,publicado
en 1976