Este documento presenta conceptos sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando coordenadas polares de ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en este sistema, y cómo calcular el área de una región plana usando integración en coordenadas polares. También muestra ejemplos de gráficas comunes como rosas de varios pétalos y cardioides.

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Cabudare – Edo. Lara
Página Web
Alumna:
Karla Mujica
C.I: 26.820.598

2. OBJETIVO TERMINAL / OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Objetivo Terminal
Diferenciar los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y el plano real en la
aplicación de resolución en los problemas inherentes a la ingeniería.
Objetivos Específicos
1. Emplear el sistema de coordenadas polares.
2. Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa.
3. Obtener las gráficas de las ecuaciones en coordenadas polares.
4. Calcular el área de una región plana en coordenadas polares.
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
Sistema de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de
los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se
denomina sistema de referencia.
Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es
la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman
el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio
bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano
o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede
resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o
esféricas puede simplificarnos la vida.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El
conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Hasta aquí hemos usado siempre coordenadas cartesianas. En ocasiones es conveniente usar
otros sistemas de las mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las coordenadas polares, que
permiten expresar ciertas curvas en forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus
coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las cartesianas, podemos usar las
coordenadas cilíndricas o esféricas.
En general, es posible definir muchos sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio. Más
adelante veremos cómo relacionar una curva o superficie expresada en las cartesianas, con el

3. mismo objeto expresado en otro sistema de las mismas. A esto lo llamamos transformación de
coordenadas.
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se
cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones
de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
Este sistema de referencia está constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el
ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos después el
origen como polo y el semieje no negativo de las x como eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el
punto P cuyas coordenadas polares so r y  , escritas como par ordenado ( r,  ), se localiza como
sigue.
1. Encuentre el lado terminal del ángulo  dado en radianes, medido en sentido contrario de
las manecillas del reloj ( si  > 0 ) a partir del semieje positivo de abscisas ( eje polar)
como lado inicial.
2. Si r  0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
3. Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r del
polo. Se puede describir la coordenada radial r como la distancia dirigida de P al polo, sobre
el lado terminal del ángulo 
4. Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que  .
5. Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
6. Si r = 0, no importa cuál sea el ángulo  las coordenadas polares ( 0,  ) representan al
origen cualquiera que sea la coordenada angular  Por supuesto, el origen o polo es el
único punto para el cual r = 0
para ejemplos ver el archivo al final de la unidad
Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes
sistemas de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas
rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos
ocuparemos de la conversión del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno
de los sistemas respectivos.

4. GRÁFICASDE ECUACIONESEN COORDENADAS POLARES
Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos valores de
θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y).
Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la
ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ.
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores
mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además, debe
identificar el rango de valores de θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta es
apropiada. Se deduce que muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares sencillas
Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación
polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la
ecuación dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las mismas de
una ecuación polar, es mantener siempre presente que representan las coordenadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares,
podemos graficar funciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente
es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas
funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a
partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r
con respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable independiente y generalmente va de 0 a 2π.

5. INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una variedad de gráficas de las mismas,
el próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de ecuaciones
en dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe
tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo
que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el
área de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el
de encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites
no entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores
de ). 
La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de intersección que sean "puntos
simultáneos", aquellos a los que se llega en el mismo instante (valor de 
CALCULAR EL ÁREA DE UNAREGIÓN PLANA COORDENADAS RECTANGULARES
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de
coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como
elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por:

6. Consideremos la función dada por r= f(), donde f es continua y no negativa en el
intervalo   ,   . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región, partimos el
intervalo   ,   en n subintervalos iguales    <  <  <........<  <  = 
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el
área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es
necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo   ,   .
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una región polar es determinar los
límites de integración. Un buen dibujo de la región puede ayudar mucho en estos casos.

7. ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipode gráficoseconoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil
ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatropétalos.
La función para estegráficoes:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamosahora el gráficollamado Rosa de tres pétalos.
Analógicamentealgráficodela rosa de cuatropétalos, este gráficoes
parecidoperotienesólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un
ejemplo es el siguiente:

8. ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguientegráficoescomo los dos anteriores, peroahora con ocho
hojaso pétalos, talcomo lo vemos en la siguientefuncióngraficada:

9. UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un casointeresantey especialque se puede dar es el que se muestra en
la gráfica que vemos a continuación, dondese aprecia una rosade
tres pétalos precisamentedentrodeotra rosa de tres pétalos u
hojas. Veamos:

10. CARDIOIDES
A continuaciónsepresenta el tipode gráficoque se denomina
cardioide. Para esteejemplose presenta una cardioidesimétricacon
respectoal eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemosobservar
que se distingue una figura comode un corazón, razón por la cual se
llama este gráficocardioide. La funciónque lo ha generadoes: