control 2

1. -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.120.240.360.50.62
0.76
0.88
0.97
0.97
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2
0.4
Root Locus
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(seconds-1
)
PRÁCTICA No. 2
REDES DE COMPENSACION EN ADELANTO MEDIANTE LGR
1. OBJETIVO
 Conocerla compensaciónmediante redesde adelantode sistemas
 Realizarel ajuste de gananciadel lugargeométricode lasraíces(LGR),para compensarun
sistema.
2. FUNDAMENTOTEORICO
 Conocerlosconceptosde respuestaenel tiempoylugargeométricode raíces
 Conocerlosmétodosde diseñode controladoresenadelanto
3. TRABAJO EXPERIMENTAL
3.1. Para cada uno de loscasos siguientesdeterminarmatemáticamente lafunciónde
transferenciadel compensadoryverificarsi cumple losrequerimientosenel Matlab.
 Dado un sistemade doble poloenel origen;diseñaruncompensadortal que lospolos
dominantesenlazocerradose ubiquens= -1± j 1
Seala funciónde transferencia del sistema:
𝐺( 𝑠) =
1
𝑠2
Diseñode CompensadorMétodode la Bisectriz:
Polodeseado: 𝑠 𝑑 = −1 ± 𝑗 1
∠
1
𝑠2 |
𝑠 𝑑 = −1± 𝑗 1
= −2𝛼 = 180(2𝑙 + 1)
2𝛼 = 2 × 135 = 270
∴ 𝜙 = 270 − 180 = 90
𝜙
2
= 45

2. Polo Deseado
ab
x-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
0
0.5
1
1.5
2
0.86
0.94
0.985
0.5
1
1.5
2
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(se
X
X O
Luegohallamoslaubicacióndel poloyel cero:
𝑡𝑔(22.5) =
𝑥
1
→ 𝑥 = 0.4142
𝑡𝑔(67.5) =
𝑏 + 𝑥
1
→ 𝑏 + 𝑥 = 2.4142
Cero: 𝑠 = −1 + 0.4142 = −𝟎. 𝟓𝟖𝟓𝟖
Polo: 𝑠 = −1 − 2.4142 = −𝟑. 𝟒𝟏𝟒𝟐
F.T. del compensador:
𝐺𝑐( 𝑠) = 𝐾𝑐
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛼𝑇
= 𝐾𝑐
𝑠 + 0.5858
𝑠 + 3.4142
Donde: 𝑇 = 1.7071 y 𝛼 = 0.1716
F.T. del Sistema Compensado
𝐺𝑐( 𝑠) 𝐺( 𝑠) = 𝐾𝑐
(𝑠 + 0.5858)
𝑠2(𝑠 + 3.4142)
HallamosKcon la condiciónde magnitud:
| 𝐾
(𝑠 + 0.5858)
𝑠2(𝑠 + 3.4142)
|
𝑠 𝑑 = −1± 𝑗 1
= 1
𝐾 = 𝐾𝑐 = 4.8284
∴ 𝑮 𝒄( 𝒔) = 𝟒. 𝟖𝟐𝟖𝟒
(𝒔 + 𝟎. 𝟓𝟖𝟓𝟖)
(𝒔 + 𝟑. 𝟒𝟏𝟒𝟐)
45°
45°
Polo Deseado

3. 0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Ssc
Sc
F.T. del Sistema CompensadoFinal:
𝐺𝑐( 𝑠) 𝐺( 𝑠) = 4.8284
(𝑠 + 0.5858)
𝑠2(𝑠 + 3.4142)
=
4.8182𝑠 + 2.8283
𝑠3 + 3.4142𝑠2
F.T. Sistema CompensadoLazo cerrado:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺( 𝑠) 𝐺( 𝑠)
1 + 𝐺( 𝑠) 𝐺( 𝑠)
=
4.8182𝑠 + 2.8283
𝑠3 + 3.4142𝑠2 + 4.8182𝑠 + 2.8283
Grafica del LGR del sistema sincompensar y del sistema compensado:
Grafica de respuestaen el tiempodel sistemasin compensary del sistemacompensado:
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-6
-4
-2
0
2
4
6
0.34
0.6
0.0220.050.0750.110.16
0.22
0.34
0.6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
0.0220.050.0750.110.160.22
Root Locus
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(seconds-1
)
Ssc
Sc

4. -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.090.20.30.420.54
0.68
0.84
0.95
0.95
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
Root Locus
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(seconds-1
)
 Dado un sistemacuyafunciónde transferenciaeste dadaycon realimentaciónunitaria;
diseñaruncompensadorde adelantotal que lospolosdominantesenlazocerradose
ubiquens= -2 ± j 3.
𝐺( 𝑠) =
5
𝑠(0.5𝑠 + 1)
=
10
𝑠2 + 2𝑠
=
10
𝑠(𝑠 + 2)
Usamos el métodode laBisectriz paradiseñarel compensador:
Polodeseado: 𝑠 𝑑 = −2 ± 𝑗 3
∠
5
𝑠(0.5𝑠+1)
|
𝑠 𝑑 = −2± 𝑗 3
= −𝛼 − 𝛽 = ±180(2𝑙 + 1)
= −𝛼 − 𝛽 = −123.7 − 90 = −213.7
∴ 𝜙 = 213.7 − 180 = 33.7
𝜙
2
= 16.85
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
0
1
2
3
4
5
6
0.160.340.50.64
0.76
0.86
0.94
0.985 1
2
3
4
5
6
Root Locus
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(seconds-1
)
X
Polo Deseado
OX
16.85º 16.85º
b a

5. Luegohallamoslaubicacióndel poloyel cero:
𝑡𝑔(11.3) =
𝑎
3
→ 𝑎 = 0.5995
𝑡𝑔(11.3 + 16.85 × 2) =
𝑎 + 𝑏
3
→ 𝑎 + 𝑏 = 3
Cero: 𝑠 = −2 − 0.5995 = −2.5995
Polo: 𝑠 = −2 − 3 = −5
F.T. del compensador:
𝐺𝑐( 𝑠) = 𝐾𝑐
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛼𝑇
= 𝐾𝑐
𝑠 + 2.5995
𝑠 + 5
Donde: 𝑇 = 0.3847 y 𝛼 = 0.5199
F.T. del Sistema Compensado
𝐺𝑐( 𝑠) 𝐺( 𝑠) = 𝐾𝑐
(𝑠 + 2.5995)
(𝑠 + 5)
10
(𝑠2 + 2𝑠)
𝐾 = 10𝐾𝑐
HallamosKcon la condiciónde magnitud:
| 𝐾
(𝑠 + 2.5995)
(𝑠2 + 2𝑠)(𝑠 + 5)
|
𝑠 𝑑 = −2± 𝑗 3
= 1
𝐾 = 15
𝐾𝑐 =
𝐾
10
= 1.5
∴ 𝑮 𝒄( 𝒔) = 𝟏. 𝟓
(𝒔 + 𝟐. 𝟓𝟗𝟗𝟓)
(𝒔 + 𝟓)
F.T. del Sistema CompensadoFinal:
𝐺𝑐( 𝑠) 𝐺( 𝑠) = 1.5
(𝑠 + 2.5995)
(𝑠 + 5)
10
(𝑠2 + 2𝑠)
=
15𝑠 + 38.9925
𝑠3 + 7𝑠2 + 10𝑠
F.T. Sistema CompensadoLazo cerrado:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺( 𝑠) 𝐺( 𝑠)
1 + 𝐺( 𝑠) 𝐺( 𝑠)
=
15𝑠 + 38.9925
𝑠3 + 7𝑠2 + 25𝑠 + 38.9925

6. Grafica del LGR del sistema sincompensar y del sistema compensado:
Grafica de respuestaen el tiempodel sistemasin compensary del sistemacompensado:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0.68
0.88
0.060.120.20.280.38
0.52
0.68
0.88
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0.060.120.20.280.38
0.52
Root Locus
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(seconds-1
)
Ssc
Sc
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
Ssc
Sc

7.  Considere el sistemaconfunciónde transferenciade lazoabiertoG(s).Grafiqueel lugar
geométricode raícespara el sistema.Determineel valorde Ktal que el factor de
amortiguamientorelativode lospolosdominantesenlazocerradosea0.5. Después,
determine todoslospolosenlazocerrado.
𝐺( 𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠2 + 4𝑠 + 5)
Solucion:
Determinamosel LGRenMatlab de la funciónde transferenciadadaygráficamente
ubicamosel puntodonde 𝜀 = 0.5
En la graficase ve que el valorde Kpara unfactor de amortiguamientorelativoigual a0.5
es 4.3.
∴ 𝐺( 𝑠) =
4.3
𝑠(𝑠2 + 4𝑠 + 5)
Lazo Cerrado:
𝐶( 𝑠)
𝑅(𝑆)
=
4.3
𝑠( 𝑠2 + 4𝑠 + 5) + 4.3
=
4.3
𝑠3 + 4𝑠2 + 5𝑠 + 4.3
𝐶( 𝑠)
𝑅(𝑆)
=
4.3
(𝑠 + 2.7505)(𝑠 + 0.6247 + 𝑗1.0831)(𝑠 + 0.6247 − 𝑗1.0831)
Los polosde lazocerrado son:
𝑠 = −2.7505 𝑠 = −0.6247 − 𝑗1.0831 𝑠 = −0.6247 + 𝑗1.0831
Root Locus
Real Axis (seconds-1
)
ImaginaryAxis(seconds-1
)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.720.84
0.92
0.98
0.140.30.440.580.720.84
0.92
0.98
123456
System: G2
Gain: 4.3
Pole: -0.624 + 1.08i
Damping: 0.5
Overshoot (%): 16.3
Frequency (rad/s): 1.25
0.140.30.440.58

8. Aplicandounaentradaescalonobtenemoslasiguientegrafica:
3.2. Hacer un programa para resolvercadaunode los casosanterioresenMatlab,partiendodel
problema
%Programa para diseño de Compensador en Adelanto-Metodo de la
Bisectriz
clc
n=input('ingrese numerador de la F.T. sistema=');
d=input('ingrese denominador de la F.T. sistema=');
s=input('Polo Deseado=');
G=tf(n,d);
a=cart2pol(real(s),imag(s));
a=a*180/pi;
d1=roots(d);
def=real(s)-d1(1:end);
[alfa]=cart2pol([def],imag(s));
alfa=sum(alfa*180/pi);
if alfa>180
o=alfa-180;
elseif alfa<180
o=180-alfa;
end
ang=a/2-((180-(90+(180-a)))+o/2);
y=tand(ang)*imag(s);
z=real(s)-y;
x=tand(ang+o)*imag(s);
p=real(s)-x;
T=-1/z;
alf=-1/(p*T);
[c,r,k]=tf2zp(n,d);
[A,B]=zp2tf(c,r,1);
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
Amplitude

9. num=conv([1 -z],[A]);
den=conv([1 -p],[B]);
K=inv(abs(polyval(num,s)/polyval(den,s)));
Kc=K/k;
[nc,dc]=zp2tf(z,p,Kc);
disp('F.T. del Compensador')
Gc=tf(nc,dc)
disp('F.T. del Sistema Compensado')
Gf=series(G,Gc)
disp('F.T. del Sistema-Lazo Cerrado')
S=feedback(Gf,1)
figure
rlocus(G),hold on,rlocus(Gf),legend('Ssc','Sc'),grid
figure
step(feedback(G,1)),hold on,step(feedback(Gf,1)),legend('Ssc','Sc'),grid
3.3. Construiruninstrumentovirtual donde se puedaingresarel sistemaycompensadoryse halle
la funciónde transferenciageneral ylasgraficasdel LGR y respuestaenel tiempoante una
entradaescalónunitaria.
DIAGRAMA DE BLOQUES DEL VI:

10. PANEL FRONTAL DEL VI
4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES

5. BIBLIOGRAFIA
