Parametrización de controladores estabilizantes y sensibilidad mezclada

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Introducción Descripción del sistema Parametrización de todos los controladores estabilizantes Sensibilidad mezclada Suspensión activa de medio carro R
Parametrización de controladores
estabilizantes y sensibilidad mezclada
R. Galindo
Monterrey, México
FIME-UANL
Agradecimientos a Yu Tang de la UNAM y Leo Carrazco de la
UANL
24 de Mayo de 2013

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1 Introducción
2 Descripción del sistema
3 Parametrización de todos los controladores estabilizantes
4 Sensibilidad mezclada
5 Suspensión activa de medio carro
6 Robot rotacional planar
7 Conclusiones
8 Antecedentes
Enfoque en la frecuencia
Enfoque en espacio de estados
9 Trabajos posibles

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Estabilidad
Factorizaciones coprimas derecha (f.c.d.) e izquierda (f.c.i.) de la
planta nominal
P (s) = (sI A) 1
B = N (s) D 1 (s) = ˜D 1 (s) ˜N (s) sobre <H∞
en términos de A y B
Solución de la ecuacion Diophantina o identidad de Aryabhatta
XN + YD = Im
Fórmulas de la parametrización de YJBK de uno y dos g.d.l. que
estabilizan a P (s)
Desempeño
Condiciones sobre el parámetro libre del controlador K (s) para
estabilidad fuerte y resolviendo un problema de sensibilidad
mezclada cuando ˙qd
(t) = 0, i.e., minimización de kSolk∞ sujeta a
la ecuación algebraica de restricción, kSolk∞ = Tu∆y∆h ∞
Aplicación
Simulación de un sistema de suspensión activa de medio carro, y
de un robot rotacional planar de dos g.d.l.

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Los algoritmos de Chiang y Safonov, 1992 [2] que usan las
fórmulas de Nett, et al. 1984 [2] pueden producir controladores
de alto orden,
Ej. G22 (s) =
2
6
4
s 1
s(s 2)
0
s 1
s(s 2)
1
0 s 1
s(s 2)
3
7
5. Si L =
2
4
9 5 0 0
0 0 0 0
0 0 9 5
3
5
T
, aplicando
el resultado de Nett, et al. 1984,
Si F =
4 1 0 0
0 0 4 1
=) N (s) = 1
(s+1)2
2
4
s 1 0
s 1 s (s 2)
0 s 1
3
5 y
D (s) = s(s 2)
(s+1)2 I2, igual que en el enfoque de la frecuencia, o
Si F =
6 6 4 1
0 1 2 0
=) D (s) = s(s 2)
(s+1)4
s2 (4s + 1)
1 s2 + 4s + 6
y
N (s) = 1
(s+1)4
2
4
(s 1) s2 (1 s) (4s + 1)
s2 2s + 2 s s4 2s3 2s2 + 15s + 1
s 1 s2 + 4s + 6 (s 1)
3
5

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La solución analítica no es evidente en el enfoque de la frecuencia
Se requiere análisis de estabilidad en los resultados de Galindo, et
al. 2002 [5] y de Galindo, et al. 2004 [1]
K (s) estable es de interés práctico desde el punto de vista de
rompimiento de lazo y fallas, o minimizando errores numéricos
Sistemas mecánicos, eléctricos, hidráulicos y neumáticos,
modelados por E–L , considerando q (t) análogas, linealizados,
con información completa del estado, y completamente
actuados, satisfacen n = 2m con x(t) =
q (t)
˙q (t)
2 <n
La suspensión activa mejora el manejo del vehículo y la seguridad,
ante d (t) de la carretera y con la fuerza de transferencia de masa
Fmasstransfer (t) por frenado y aceleración
En este trabajo8
<
:
se garantiza estabilidad:
i) se relaja la suposición de B no singular de Galindo, et al. 2002 [5]
ii) no se requieren BL y CR de Galindo, et al. 2004 [1] y Galindo, 2007 [5]

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Espacio de estados Frecuencia Estabilización fuerte
Popov, 1961 [5]46
!
Rosembrock, 1974 [6]50
!
Youla et al. 1974 [2]
Kuˇcera, 1975 [4] #
Youla et al. 1976 [1] #
Kuˇcera, 1979 [3] #
Desoer et al. 1980 [3] #
Zames 1981[6]52
!
#
Doyle y Stein 1981 [4] #
. # #
Nett et al. 1984 [2] 2
! Glover 1984 [4][5] #
# Vidyasagar 1985 [3]55
!
h
#
Francis y Doyle
1987 [6]
#
Doyle et. al. 1989 [5] . #
# McFarlane y Glover 1992 [1] 53
!
#
Chiang y Safonov
1992 [2]
! ! ! ! ! !
Zeren y Özbay
1999 [5]
# #
Vilanova, et al. 2006 [4]
Campos y Zhou
2001 [1]

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Galindo et al. 2000 [2][1] 62
!
Galindo, 2002 [4][3]64
!
Galindo et al. 2002 [5] &
Galindo et al. 2004 [1]68
!
Galindo y Pérez
2003 [6]
Galindo, 2005 [2] # Tesis Pérez
Galindo 2006 [3]
Galindo acept. 2006
pub. 2008 [4]
Galindo, 2007 [5]72
!
Galindo y Garza
2007 [1]
Galindo, 2008 [2]73
!
Tesis Garza
Gaspar y Galindo
2009 [3]
Galindo, 2009 [1] Tesis Bonilla
Galindo y Carrazco
2009 [4]
#
Bonilla y Galindo
2011 [3]
Galindo acept. 2011
pub. 2013 [2]
Conejo y Galindo
2011 [4]
Galindo et al. 2012
Galindo y Conejo 2012 [1]
Conejo y Galindo 2013
Tesis Conejo
Trabajos posibles 74
! Martínez y Galindo 2012 [2] Tesis Martínez

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Se asume,8
>>>><
>>>>:
que la no-linealidad está en el conjunto de ∆ (s) admisible,
kd(t)k2 < ∞, k∆(s)k∞ < ∞
información completa del estado (conocido, estimado o puede medirse)
˜F, ˜G, In, ˜J es una realización LTI, MIMO, de parámetros concentrados,
causal, y fuertemente estabilizable
˜K (s) = ˜D 1
k (s) ˜Nk (s) estabiliza a sIn ˜F
1 ˜G y
˜K (s) I ˜J ˜K (s)
1
estabiliza a sIn ˜F
1 ˜G + ˜J,
o en un esquema observador-controlador ˜J es cancelada por el
observador =)
Subsistema controlable (F, G, In) de la descomposición canónica
de Kalman de ˜F, ˜G, In
Dado que las u (t) son L.I., existe un cambio de base tal que,
P (s) := (sI A) 1
B, A =
0 A12
A21 A22
, B =
0
Bm
(1)
8
<
:
(A, B, I) es una realización mínima, satisfaciendo la
propiedad de entrelazamiento par (p.i.p.)
Bm 2 <m m y A12 son no-singulares, y n = 2m es par

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Lemma
f.c.i. y f.c.d. de P (s) = (sIn A) 1
B sobre <H∞ son,
˜D (s) =
NΦ (s) A 1
12 0
Φ(s)TmA 1
12 Φ(s)
, ˜N (s) =
" 1
(s+a)2 Im
1
(s+a)
Im
#
Bm (2)
N (s) = 1
(s+a)2
A12
sIm
, D (s) = B 1
m NΦ (s) (3)
respectivamente, donde Φ(s) := NΦ (s) D 1
Φ (s),
NΦ (s) := 1
(s+a)2 s2Im sA22 A21A12 , DΦ(s) := 1
(s+a) (sIm + Tm)
(4)
Una solución analítica de la ecuación Diophantina sobre <H∞ es,
X (s) = D 1
Φ (s) A21 + aTmA 1
12 M , Y (s) = D 1
Φ (s)Bm (5)
a 2 < > 0, y M := aIm + Tm + A22.

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Theorem
El conjunto de todos los controladores de uno y dos g.d.l. que estabilizan a
P (s) = (sI A) 1
B es,
K(s) = B 1
m Θ 1(s) A21 + (aTm + Ψ (s) NΦ (s)) A 1
12 M
Kr(s) = B 1
m Θ 1(s)Ω (s)
(6)
Θ(s) := Im
1
(s+a)2 Ψ (s), Ψ(s) 2 <H∞ satisface
det Im
1
(s+a)2 Ψ (s) 6= 0 y Ω(s) = Ω1(s) Ω2(s) 2 <H∞ son
parámetros libres, y NΦ (s) := 1
(s+a)2 s2Im sA22 A21 .
Si Ψ = ψIm, entonces K(s) y Kr(s) son estables ()
ψ < a2
(7)
Se seleccionan Θ(s) y Ω(s) resolviendo un problema de
sensibilidad mezclada

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Para ∆ (s) multiplicativa a la salida,
Un g.d.l. Dos g.d.l.
Toh := lims!∞ N(s)Nk(s) Toh := lims!∞ N(s)Q(s)
Tol := lims!0 N(s)Nk(s) Tol := lims!0 N(s)Q(s)
Sol := I Tol Sol := I Tol
Proponiendo Proponiendo
Ψ := ψ a2 A 1
12 A 1
21 + a2Im Ω1 = A 1
12 y Ω2 = 0
Toh = 1
wh
0 0
A21 + (atmIm + Ψ) A 1
12 M
Toh = 1
wh
0 0
A 1
12 0
Sol =
"
1
a2tm
ψ
a a Im
1
atm
A12M
0 Im
#
Sol =
"
1 atm
Im 0
0 Im
#
ωh es una frecuencia ﬁja en la banda de AF de P (s)

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Una solución exacta a kSolk∞ = Tu∆y∆ ∞
es,
Theorem
Sean ˙qd (t) = 0 y Tm = tmIm.
Los valores óptimos de ψ y para un modelo de ∆ (s) multiplicativo a la
salida son,
ψ =
a2 (1 atmb)
1 + a3tmm
(8)
=
atmwh
atm A 1
12 ∞
+ wh wh jatm 1j
(9)
donde,
b :=
1
wh
A21 + a
h
(tm + a) Im aA 1
12 A 1
21
i
A 1
12 ∞
m := 1
a2
1
wh
A21 + a (tm + a) A 1
12 ∞
b
(10)

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-
6
1
wh
kA21 + a[(tm + a)Im aA 1
12 A 1
21 ]A 1
12 k∞
1
wh
kA21 + a(tm + a)A 1
12 k∞
1
atm
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
a2 ψ
kSol(1,1)k∞
kToh(2,1)k∞
Figure: Función de intersección para una conﬁguración de un g.d.l.

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-
6
1
wh
kA 1
12 k∞
1
XXXXXXXXXXXXXX
1 1
atm
1
kSol(1,1k∞
kTohk∞
Figure: Función de intersección para una conﬁguración de dos g.d.l.

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Ψ = ψ a2 A 1
12 A 1
21 + a2Im para simpliﬁcar Sol(1, 1)
∞
y para
asegurar que el lim
t !∞
ess = 0. Si Ψ (s) = ψIm, entonces Sol(1, 1)
∞
estará en términos de kA12A21k∞ que no es deseable para
algunas aplicaciones.
Un g.d.l.,
Sol(1, 1)
∞
=
kA21+a(tm+a)A 1
12 k∞
wh(1+a3tmm)
(11)
Si tm ! 0 =) kTohk∞ = Sol(1, 1)
∞
! 1
wh
A21 + a2A 1
12 ∞
y
ψ ! a2, así, K (s) tiende a ser inestable
Dos g.d.l.,
Sol(1, 1)
∞
= 1 wh
atm(kA 1
12 k∞
+wh) whjatm 1j
(12)
Si tm ! 1/a, entonces kTohk∞ = Sol(1, 1)
∞
!
kA 1
12 k∞
kA 1
12 k∞
+wh
Solución de sensibilidad mezclada: wh " y tm suﬁcientemente
pequeño tal que K (s) y Kr (s) sean estables

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Example
6
-
:
φ
:
9
Vm
d1
:
9
d2
6 6
Vroad1Vroad2
bs1bs2k2 k1
hFact2
hFact1
Fmasstransfer

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Example
r1 r
8
I : m
8
Se : Fmasstransfer
Vm
r 1 r
0
I : J
ωJ
0 r TF
d1
TF
d 1
2
r 0Se : Fact1
r1 r
8
C : k1
0
R : bs1
8
Sf : Vroad1
0 r Se : Fa
r1 r
8
C : k2
0
R : bs2
r 0
8
Sf : Vroad2
Las masas no amortiguadas (llantas) fueron despreciadas en el
modelo de [Dauphin-Tanguy et al. 1999]
Fmasstransfer (t) medible y Vroadi (t) no medibles

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Example
La descripción en espacio de estados del sistema perturbado es,
˙x (t) =
0 A12
A21 A22
x (t) +
0
Bm
u (t) + Hd (t) (13)
A12 está mal condicionada
si d2 + d1 Jm
(= A12 =
"
1
m
1
J d1
1
m
1
J d2
#
A21 =
k1 k2
d1k1 d2k2
A22 =
2
4
(bs2+bs1)
m
(d2bs2 d1bs1)
J
(d2bs2 d1bs1)
m
(bs1d2
1+bs2d2
2)
J
3
5
Bm =
1 1
d1 d2
, H =
2
6
6
4
1 0 0
0 0 1
bs1 1 bs2
d1bs1 0 d2bs2
3
7
7
5 (14)
u (t) := Fact1 (t) Fact2 (t)
T
, A12, C11 y Bm son no singulares,
d (t) := Vroad1 (t) Fmasstransfer (t) Vroad2 (t)
T
,
x (t) := x (t) x (t) JwJ mVm
T

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Example
[Gao et al. 2007],
Parameter Value Unit
m 1794.4 Kg
J 3443.05 Kg m2
d2 1.271 m
d1 1.716 m
k2 66824.4 N/m
k1 18615 N/m
bs2 1190 Ns/m
bs1 1000 Ns/m
Table: Valores medios de los parámetros de P (s)
Polos estables y ningún cero de transmisión =)
P(s) satisface la p.i.p..

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Example
Dos g.d.l., a = 2 y Tm = 2Im,
Un g.d.l., a = 70 y Tm = 70Im,
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz =) usando el cambio de
base de [Galindo, 2007],
Dos g.d.l.,
A =
2
6
6
4
2 0 1 0
0 2 0 1
40533.7 15.51 1093 0.06
26698.75 48.45 101.76 0.59
3
7
7
5 (15)
Un g.d.l.,
A =
2
6
6
4
70 0 1 0
0 70 0 1
29030.3 19.53 1025 0.06
33618.09 4848.32 101.76 68.59
3
7
7
5 (16)
det sIm A11 es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular

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Example
Sea ˙qd (t) = 0,
wh "=) Toh(2, 1)
∞
#,
wh
Toh(2, 1)
∞
Dos g.d.l.
wh
Toh(2, 1)
∞
Un g.d.l.
100000 0.0844 100000 0.6586
200000 0.0441 250000 0.2634
300000 0.0298 500000 0.1317
400000 0.0225 1000000 0.0659
500000 0.0181 5000000 0.0154
Tabla 2. Minimización de Toh(2, 1)
∞

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Example
Dos g.d.l.,
2 [3.6623, 3.9276] y ψ 2 [ 11.597, 0.8562]
=) ψ < a2 = 4 =) K (s) y Kr (s) son estables
(17)
Un g.d.l.,
ψ 2 [372780, 374010]
=) ψ > a2 = 4900 =) K (s) es inestable
(18)
Para esta aplicación, con un g.d.l. K (s) es estable si wh # pero
ess " , o si a = tm # pero se detrimenta el desempeño
En un g.d.l. ess " puede compensarse agregando T 1
ol(2, 1)
en la
referencia resolviendo regulación

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Example
r(t) = [1, 1.25, 0, 0]T
, x(0) = 0,
Vroad1 (t) = 0.1 sin (300t), t 10 (dos g.d.l.) o t 0.5 (un g.d.l.),
Fmasstransfer (t) = 1, t 15 (dos g.d.l.) o t 1 (un g.d.l.), y
Vroad2 (t) = 0.1 sin (300t), t 20 (dos g.d.l.) o t 1.5 (un g.d.l.)
y (t) para dos g.d.l. y (t) para un g.d.l.

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u (t) para dos g.d.l. u (t) para un g.d.l.

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Example
8
>>>>>>><
>>>>>>>:
Dos g.d.l.,
wh "=) ess #,
wh "=) ku (t)k2 "
Un g.d.l.,
Sol(1, 1)
∞
y ess no cambian para wh 2 [100000, 5000000],
y (t) tiene un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las d (t) que
son atenuadas
d (t) permanece como pequeñas oscilaciones en y (t)
El tiempo de respuesta y ku (t)k2 son menores en dos g.d.l. que
en un g.d.l.

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Example
-x
6
y
@
@
@
@
@
@
@
@
i
i
L@
@
L
l1
lc1
lc2
q1
q2
6
?

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Example
Las matrices de las ecuaciones E-L son,
M(q(t)) =
θ1 + θ2 + 2θ3 cos q2(t) θ2 + θ3 cos q2(t)
θ2 + θ3 cos q2(t) θ2
(19)
Co(q(t), ˙q(t)) =
θ3 ˙q2(t) sin q2(t) θ3(˙q1(t) + ˙q2(t)) sin q2(t)
θ3 ˙q1(t) sin q2(t) 0
(20)
G(q(t)) = g
θ4 cos q1(t) + θ5 cos(q1(t) + q2(t))
θ5 cos(q1(t) + q2(t))
(21)
donde θ1 := m1l2
c1 + m2l2
1 + I1, θ2 := m2l2
c2 + I2, θ3 := m2l1lc2,
θ4 := m1lc1 + m2l1, y θ5 := m2lc2.
Los puntos de equilibrio están dados por ˙qe (t) = 0 y,
ue = g
θ4 cos q1e + θ5 cos(q1e + q2e)
θ5 cos(q1e + q2e)
(22)
La posición de equilibrio superior es q1e = π/2, q2e = 0, y ue = 0

logo
Example
[Kelly y Santibáñez, 2003]
Parameter Value Unit
l1 0.450 m
lc1 0.091 m
lc2 0.048 m
m1 23.902 kg
m2 3.880 kg
I1 1.266 kg m2
I2 0.093 kg m2
g 9.81 m/s2
Table: Valores de los parámetros

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Example
En el modelo linealizado ,
A =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
16.95 0.688 0 0
12.963 19.177 0 0
3
7
7
5 , B =
2
6
6
4
0 0
0 0
0.458 0.835
0.835 11.332
3
7
7
5
(23)
A21 y Bm son no singulares
Polos en 4.61, 3.856, 4.61 y 3.856, y ningún cero de
transmisión, así P(s) satisface la p.i.p.
det (sIm A11) no es un polinomio Hurwitz

logo
modelo lineal , a = 2, Tm = 2Im y wh = 700
modelo no lineal a = 4 y Tm = 4Im, en relación a atenuar ∆
Example
Usando el cambio de base de [Galindo, 2007],
A =
2
6
6
4
4 0 1 0
0 4 0 1
0.95 0.688 4 0
12.963 3.177 0 4
3
7
7
5 (24)
det sIm A11 es un polinomio Hurwitz y A21 es no singular.

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Example
wh "=) Toh(2, 1)
∞
#,
wh
Toh(2, 1)
∞
un g.d.l.
Toh(2, 1)
∞
dos g.d.l.
600 0.1063 0.026
2000 0.032 0.0079
4800 0.0134 0.0033
6200 0.0103 0.0026
9000 0.0071 0.0018
Tabla 4. Minimización de Toh(2, 1)
∞
ψ 2 [ 11.2202, 14.1762] y 2 [15.5844, 15.9716]
=) ψ < a2 = 16 =) K (s) y Kr (s) estables
(25)
Sol(1, 1)
∞
= Toh(2, 1)
∞
para wh 2 [600, 9000]
Toh(2, 1)
∞
(dos g.d.l.) < Toh(2, 1)
∞
(un g.d.l.) y su diferencia
disminuye conforme wh "

logo
Example
r(t) = [π/2, 0, 0, 0]T
y x(0) = [ π/2, 0, 0, 0]T
,
q (t) para dos g.d.l. q (t) para un g.d.l.

logo
Example
8
>>>>>>>><
>>>>>>>>:
Dos g.d.l.,
wh "=) ess #,
lim
t !∞
u (t) ! 0
q1 (t) no tiene sobre impulso, y tiene una “pequeña” oscilación
Un g.d.l.,
wh "=) ess #,
qi (t) tienen un impulso hacia abajo y un sobre impulso
y (t) es regulada garantizando estabilidad a pesar de las ∆ que
son atenuadas
El tiempo de respuesta es menor y ku (t)k2 " en un g.d.l. que en
dos g.d.l.
El impulso hacia abajo de q2 (t) en dos g.d.l. es menor que el de
q2 (t) en un g.d.l.

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Conclusiones
Para sistemas linealizados con información completa del estado,
n = 2m, con parámetros concentrados, con una realización
estabilizable, estrictamente propia, LTI y fuertemente estabilizable, se
presentan,
f.c.i. y f.c.d. sobre <H∞ en términos de A y B
Una solución de la ecuación Diophantina, y fórmulas para la
parametrización YJBK de uno y dos g.d.l.
Condiciones para obtener controladores estables
Fórmulas para los parámetros libres de K (s) y Kr (s), resolviendo
un problema de sensibilidad mezclada cuando ˙qd (t) = 0
1 d (t) son atenuadas en la suspensión activa de medio carro, y ∆
es atenuada en el robot rotacional planar, incrementando a y tm
2 Se requiere más ku (t)k2 para un g.d.l. que para dos g.d.l.
3 Se obtiene y (t) más suave para dos g.d.l.

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Campos-Delgado, D. U. y Zhou, K., “H∞ strong stabilization”,
IEEE Trans. Autom. Control (TAC), vol. 6 (12), pp. 1968–1972, 2001
Chiang, R. Y. y Safonov, M. G. Matlab robust control toolbox user’s
guide, version 2, The Mathworks, Inc., Natick, Massachusetts,
1992
Desoer, C. A., Liu, R., Murray, J., y Saeks, R., “Feedback system
design: the fractional representation approach to analysis and
synthesis”, TAC, pp. 399–412, 1980
Doyle, J.C., y Stein, G., “Multivariable Feedback Design:
Concepts for a Classical/Modern Synthesis”, TAC, AC-26, pp.
4–16, 1981
Doyle, J.C., Glover, K., Khargonekar, P. P., y Francis, B., “State
Space Solutions to Standard H2 and H∞ Control Problems”,
TAC, vol. 34 (8), pp. 831–847, 1989
Francis, B.A., and Doyle, J.C., “Linear Control Theory with an
H∞ Optimality Criterion”, SIAM Journal of Control and
Optimisation, vol. 25, pp. 815–844, 1987

logo
Galindo, R., Herrera, A., Martínez, J. C., “Methodology on
Low-Order Robust Controllers. Application to a Tandem Fan in a
Platform”, American Control Conference (ACC), pp. 909-913,
2000
Galindo, R., Garrido, R., Herrera, A., Martínez, J. C., “Robust
Control of an Hydraulic Servomechanism”, Simposium on
Industrial Electronics (ISIE), pp. 672-677, 2000
Galindo, R., “Low Order Robust Control and I/O Decoupling for
Minimum Phase Linear MIMO Systems”, ICARCV, pp. 874-879,
2002
Galindo, R., “Low Dynamic Order Robust Control for Linear
SISO Systems", Control Conference and Applications (CCA), pp.
1321-1326, 2002
Galindo, R., Sánchez-Orta, A. E., y Herrera, A., “Stabilizing
controllers for a class of linear MIMO systems”, Instrumn, Syst.
and Automn Soc., pp. 119–128, 2002
Galindo, R., Pérez-Muñoz, E., “Direct Stabilizing Controller for
Linear MIMO Systems”, Methods, Models, Automation and

logo
Galindo, R., Malabre, M., y Kuˇcera, V., “H∞ control for LTI
systems”, Conference on Decision and Control (CDC), pp.
1331–1336, 2004
Galindo, R., “Mixed Sensitivity H∞ Control of a
Three-Tank-System”, ACC, pp. 1764-1769, 2005
Galindo, R., “Constant Approximation of a Mixed Sensitivity H∞
Control Law, and its Application to the Speed Control of a DC
Motor”, ACC, pp. 3176-3181, 2006
Galindo, R., “Stabilization using a stable compensator and robust
stability and performance”, Int. J. of Control, Taylor & Francis,
vol. 81 (08), pp. 1183 – 1194
http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00207170600586574,
aceptado en 2006, y publicado en 2008
Galindo, R., Robust stability and performance in a
non-conventional observer–controller scheme. En Emerging
technologies, robotics and control systems, segunda edición
(International SAR); además en Int. J. Fact. Automn, Robotics and
Soft Computing, 2, pp. 74–82 and 137–145, 2007

logo
Galindo, R., Garza, C., “Control H-inﬁnito de sensibilidad
mezclada aplicado a un motor de inducción tipo jaula de ardilla”,
Asociación de México de Control Automático (AMCA), 2007
Galindo, R.. Tuning of a non-conventional mixed sensitivity H∞
control. En Emerging technologies, robotics and control systems,
segunda edición (International SAR); además en Int. J. Fact.
Automn, Robotics and Soft Computing, 2, pp. 141–149 and 15–23,
2008
Gaspar Valle, Ciro Jesús, Galindo, R., “Uncertainty model based
on partial linearization and robust control”, World
Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics
(WMSCI), 2009
Galindo, R., Carrazco, Leo, “Analytic expressions for the
parametrization of all controllers stabilizing Euler-Lagrange
systems”, WMSCI, 2009

logo
R. Galindo, “Parametrization of all stable controllers stabilizing
full state information systems and mixed sensitivity”, Proc. of the
Institution of Mechanical Engineers Part. I: J. of Systems and
Control Engineering, vol. 223 (I7), pp. 957-971, 2009
Galindo, R., “Simultaneous stabilization of full state information
linear time-invariant systems”, Asian J. of Control, Online ISSN:
1934-6093, vol. 15, No. 6, pp. 1-5, online in Wiley Online,
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/asjc.420/full,
aceptado en 2011 y publicado en 2013
Bonilla, A., Galindo, R., “Expresión analítica de la doble
factorización coprima para sistemas cuadrados y sensibilidad
mezclada”, AMCA, 2011
Conejo, C. D., Galindo, R., Carrazco L., “Control lineal
estabilizante para sistemas subactuados aplicado al Pendubot”,
AMCA, 2011
Galindo, R., Ibarra, E., Jiménez, M., “Comparative Study of the
Speed Robust Control of a DC Motor”, World Automation
Congress (WAC), 2012

logo
Galindo, R., y Conejo, C. D., “A parametrization of all one
parameter stabilizing controllers and a mixed sensitivity
problem, for square systems”, Conference on Electrical
Engineering, Computing Science and automatic Control (CCE),
pp. 171-176, 2012.
Martínez, E., Galindo, R., “Quadratic Stability Methodology by
Parameter Dependent State Feedback for LPV Systems”, CCE,
pp. 177-182, 2012
Conejo, C. D., y Galindo, R., "Discrete-Time Formulas of One
Parameter Stabilizing Controllers and Mixed Sensitivity
Problem, for Square Systems", MMAR, 2013
Glover, K., “All Optimal Hankel-norm Approximations of Linear
Multivariable Systems and their L1-error Bounds”, Int. J. of
Control, 39, pp. 1115–1193, 1984
Glover, K., y McFarlane, D., “Robust Stabilisation of Normalised
Coprime Factor Plant Descriptions with H1-bounded
Uncertainty”, TAC, vol. 34, pp. 821–830, 1989

logo
McFarlane D., Glover K., "A loop shaping design procedure
using H∞ synthesis", TAC, vol. 37. pp. 759 -769, 1992
Nett, C. N., Jacobson, C. A., y Balas, M. J., “A connection between
state-space and doubly coprime fractional representations”, TAC,
vol. 29 (9), pp. 831–832, 1984
Kuˇcera, V. Discrete linear control: the polynomial equation approach,
John Wiley & Sons, Chichester, UK, 1979
Kuˇcera, V., “Stability of discrete linear feedback systems”,
Proceedings of the 6th IFAC World Congress, 1975
Popov, V. M., “New graphical criteria for the stability of the
steady state of non-linear control systems”, Revue
d’Electrotechnique et d’Energetique vol.6, pp. 25-34, 1961
Rosenbrock, H. H., Computer-Aided Control System Design, New
York: Academic Press, 1974

logo
Youla D.C., Jabr H.A. y Bongiorno J.J., "Modern Wiener-Hopf
design of optimal controllers: part II", TAC, vol. AC-21, pp.
319-338, 1976
Youla, D. C., Bongiorno, J. J., and Lu, C. N., “Single-loop
feedback stabilization of linear multivariable dynamical plants”,
Automatica, pp. 159–173, 1974.tts, 1985
Vidyasagar M., Control system synthesis: a factorization approach,
The MIT Press Cambridge, Massachuse
Vilanova R, Serra I, Pedret C, Moreno R, “Reference processing in
two-degree-of-freedom control: separation, independence or
optimality”, ACC, pp. 12–16, 2006
Zeren, M. y Özbay, H., “On the synthesis of stable H∞
controllers”, TAC, vol. 44 (2), pp. 431–435, 1999

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Antecedentes
Teorema de pequeñas ganancias
Criterio del sector para sistemas no lineales Lur’e, con una parte lineal
M estable o estabilizada por K, y una parte variante en el tiempo no
lineal sin memoria ∆,
u2-
L e2 - M
y2- 1 -
L u1?
y1
∆
e1
Teorema de pequeñas ganacias [Popov, 1961]. Suponga que M y ∆ son
estables de ganancia ﬁnita γ1 y γ2, respectivamente,
kyik2 γi keik2 + βi, 8ei, i = 1, 2 (26)
Si,
γ1γ2 < 1 (27)
entonces 8ui, i = 1, 2,
ke1k2
1
1 γ1γ2
[ku1k2 + γ2 ku2k2 + β2 + γ2β1]
ke2k2
1
1 γ1γ2
[ku2k2 + γ1 ku1k2 + β1 + γ1β2]
(28)

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Para modelos LTI , resalta una de las propiedades más
importantes de la k k∞,
El sistema en lazo cerrado es estable cuando K se aplica a P∆ , 8∆ si,
γ (∆) 1
γ () kM (s)k∞ < γ, γ > 0 o
γ (∆) < 1
γ () kM (s)k∞ γ, γ > 0
(29)
Para ∆ (s), γ (∆) se reemplaza por k∆ (s)k∞ o ¯σ (∆ (s))
Ej. N =
1 100000
0 1
, λ1, 2 (N) = 1,
NNT =
10000000001 100 000
100 000 1
NTN =
1 100 000
100000 10000000001
9
>>=
>>;
σ1 (N) = 100000,
σ2 (N) = 0.00001

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- M(s)
W2 (s) e∆ (s) W1 (s)
()
- W2 (s)- M(s) - W1 (s)
e∆ (s)
Wi (s) ﬁltros que reﬂejan del conocimiento espectral de ˜∆ (s)
El sistema es estable si y solo si,
W1 (s) ˜∆ (s) W2 (s) ∞ kM (s)k∞ < 1 ()
˜∆ (s) ∞ kW2 (s) M (s) W1 (s)k∞ < 1

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r-L
-e
K(s) -L
di
?u- P∆ (s) -L
do
? -y
?L dm
6
1
6
Figure: Esquema de control
Modelo de incertidumbre M (s) = Tu∆y∆
Aditivo, P∆ (s) := P (s) + ∆a (s) K (s) So (s)
Multiplicativo a la entrada, P∆ (s) := P (s) (I + ∆i (s)) Ti (s)
Multiplicativo a la salida, P∆ (s) := (I + ∆o (s)) P (s) To (s)
Retroalimentado a la entrada, P∆ (s) := P (s) (I + ∆F (s)) 1
Si (s)
Retroalimentado a la salida, P∆ (s) := (I + ∆R (s)) 1
P (s) So (s)
M (s) interesa para otros objetivos de control robusto
6

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[Rosenbrock, 1974 [6]]
Extiende algunas de las técnicas de
control clásico a sistemas MIMO
y da origen al control robusto
El control robusto busca,
1 Preservar alguna característica, tal como estabilidad o
desempeño, bajo la presencia de ∆ o d (t).
2 Los K robustos se diseñan para una P dada, garantizando
estabilidad al aplicar K al sistema real
3
Funciona para P∆, que representa la
región de estabilidad alrededor de P

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w -
K
z -
u
- G
y
1 G tiene una realización estabilizable y detectable
2 La interconexión está bien deﬁnida y existe una única solución en
<H∞ (),
det (I + G22 (s) K (s)) = det (I + K (s) G22 (s)) 6= 0, 8s (30)
Si 1) y 2), el sistema es internamente estable () es externamente
estable.
El problema de estabilización es encontrar K tal que el sistema en
lazo cerrado sea internamente estable =) parametrización de todos
los controladores que estabilizan internamente (parametrización YJBK)
El problema óptimo general estándar busca atenuar ∆ y
kd (t)k2 < ∞, en una banda de frecuencia, sobre kz (t)k2,
garantizando estabilidad 6

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[Zames, 1981]
Zames describió ∆ (s) en el dominio de la frecuencia,
como en control clásico.
La incertidumbre ∆ siempre existe debido a elementos
dependientes de la frecuencia, dinámicas no modeladas,
variaciones paramétricas y fallas
Un sistema físico no puede modelarse exactamente,
1 Dinámicas impredecibles
2 Dinámicas difíciles de modelar
3 Los procesos de identiﬁcación dan modelos exactos y precisos
únicamente para dinámicas lentas (BF)
4 Envejecimiento y no linealidades
Un modelo manejable y efectivo representa las dinámicas
escenciales, i.e., P nominal

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La norma infinito kargk∞ es “buena” para especificar el nivel de
∆ (s) y el efecto de kd (t)k2 < ∞ sobre kz (t)k2
∆
8
>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>:
estructurada o paramétrica
número finito de parámetros de incertidumbre
Ej. a) diag k∆1 (s)k∞ , ..., ∆q (s) ∞
diag m1, ..., mq ,
b) ai 2 [a
¯i, ¯ai]
no estructurada
la respuesta en frecuencia permanece en un conjunto 8w
Ej. a) márgenes de ganancia y de fase,
b) k∆ (s)k k < ∞
Un modelo de ∆ (s) es útil para el diseño de K (s) robustos
6

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d es usualmente de BF
∆ es signiﬁcativa generalmente en AF
Etablece un compromiso entre las diversas especiﬁcaciones de diseño
y resuelve simultáneamente,
1 Estabilidad robusta
W2 (s) Tu∆y∆
(s) ∞
< 1 (31)
k(1/k) ∆k∞ < 1, y W2 (s) es una función de peso en AF
2 Desempeño robusto ,
kW3 (s) So∆ (s)k∞ < 1 (32)
3 Desempeño robusto nominal , kW1 (s) So (s)k∞ < 1 o
kW3 (s) So (s)k∞ + W1 (s) Tu∆y∆
(s) W2 (s) ∞
< 1 (33)
W1 (s) es una función de peso en BF
Compromiso, So (s) + To (s) = I. So (s) puede ser otra función de
interés
Para ∆ multiplicativa a la salida, si σ ((∆) To (s)) 1, se
recupera el criterio de desempeño robusto nominal
Atenuar d (t) o ∆, 8w requiere un K (s) de alta ganancia

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[McFarlane y Glover, 1992]
Sea (A, B, C, D) una realización estabilizable y detectable de P (s).
Determine X 0 y Y 0, soluciones de,
XAk + Ak X XB2S 1B2X + C2R 1C = 0
AkY + YAk YC2R 1C2Y + B2S 1B2 = 0
(34)
tales que A + B2S 1 (D22C2 + B2X) es asintóticamente estable (Lema
de cota real), Ak := A B2S 1D22C2, S := I D22D22 y
R := I D22D22.
El menor valor de γ es,
γopt =
q
1 + λmax (XY) (35)
que resuelve el problema de sensibilidad mezclada ,
To (s) K (s) So (s)
So (s) P (s) So (s) ∞
γ γopt (36)
γopt se utiliza para comparar soluciones subóptimas, y γ para
diseñar K subóptimo
6

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Parametrización YJBK de un g.d.l. o dos g.d.l.
Sean G22 = ND 1 y G22 = ˜D 1 Ñ cualquier f.c.d. y f.c.i de G22 sobre A,
i.e., N 2 A, D 2 A, ˜D 2 A, y Ñ 2 A.
Entonces, el conjunto de todos los K que estabilizan a G22 es,
K = ˜D 1
k
Ñk = NkD 1
k
Kr = ˜D 1
k Q
˜Dk := Y R Ñ, Ñk := X + R ˜D
Nk := ˜X + D ˜Q, Dk := ˜Y N ˜Q
R 2 A, ˜Q 2 A, y Q 2 A satisfacen det ˜Dk 6= 0 y det (Dk) 6= 0
y X 2 A, Y 2 A, ˜X 2 A, y ˜Y 2 A son las soluciones de
XN + YD = Im, Ñ ˜X + ˜D ˜Y = Ip
Asegura estabilidad externa
D y N son coprimos () existen X 2 A y Y 2 A tales que
XN + YD = I

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Casos particulares
G22 es P y A es <H∞
A es un conjunto pre-especiﬁcado del plano complejo
A es el circulo unitario
Casi todas las R 2 A y ˜Q 2 A satisfacen det ˜Dk 6= 0 y
det (Dk) 6= 0.
Si G22 (s) tiene cualquier cero de bloqueo, entonces det ˜Dk 6= 0
y det (Dk) 6= 0 se satisfacen.
Si G22 (s) es estrictamente propia, entonces K (s) es propio.

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Un g.d.l. R (s), u(t) es generada únicamente por e(t) = r(t) y(t)
yd(s)-Le(s)- K(s) -L
di(s)
?u(s)- P(s) -L
do(s)
? -y(s)
?Ldm(s)
6
1
6
Dos g.d.l. R (s) y Q (s), u(t) es generada por dos señales
independientes r(t) y y(t)
yd(s)- Kr(s) -
Le(s) -
L
di(s)
?u(s)- P(s) -
L
do(s)
?
-
y(s)
?
K(s)
L dm(s)
6
1
6
Si Kr(s) = K(s), entonces se obtiene la conﬁguración de un g.d.l.
K(s) garantiza estabilidad interna y mejora el desempeño
Kr(s) mejora la regulación o el seguimiento

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Si Kr(s) es inestable, K (s) = ˜D 1
k (s) Ñk(s) y Kr(s) = ˜D 1
k (s) Ñkr(s)
Tu∆y∆
(s) y So (s) se simplifican a una función afín de los
parámetros libres, (I + Lo (s)) 1
= Dk(s) ˜D (s) 2 <H∞ y
(I + Li (s)) 1
= D (s) ˜Dk(s) 2 <H∞(
Un g.d.l., To (s) = (I + Lo (s)) 1
Lo (s) = N (s) Ñk (s) 2 <H∞
Dos g.d.l., To (s) = (I + Lo (s)) 1
P (s) Kr (s) = N (s) Q (s) 2 <H∞
Los ceros inestables de P (s) son también de To (s), 8K (s) =)
para To (0) = Ip, N (0) no debe perder rango en cero, i.e., s = 0 no
debe ser un cero de transmisión . Además, se requiere que
m p, pues si el sistema fuese sub-actuado m < p, el rango de
N (0) sería a lo más m, y no podría ser de rango p
Ñ (s) Nk (s) + ˜D (s) Dk (s) = I (unimodular) o
˜Dk (s) D (s) + Ñk (s) N (s) = I (unimodular) =) Nk (s) y Dk (s)
son coprimos, y Ñk (s) y ˜Dk (s) son coprimos =) no hay
cancelación polo-cero entre G22(s) y K(s)

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Suponga que G22 (s) 2 Fp m es de rango l y p m, entonces la forma
canónica de Smith McMillan. de G22 (s) es,
U (s) G22 (s) V (s) =
2
4 diag
a1 (s)
b1 (s)
, . . . ,
al (s)
bl (s)
0
0 0
3
5 (37)
U (s) y V (s) son matrices unimodulares . Factorizaciones coprimas de
G22 (s) son,
N (s) = U 1 (s)
diag fa1 (s) , . . . , al (s)g 0
0 0
D (s) = V (s)
diag fb1 (s) , . . . , bl (s)g 0
0 I
(38)
Una solución de la ecuación Diophantina es,
X (s) = ˆX (s) U, ˆX (s) =
diag fx1 (s) , . . . , xl (s)g 0
0 0
Y (s) = ˆY (s) V 1 (s) , ˆY (s) =
diag fy1 (s) , . . . , yl (s)g 0
0 I
xi (s) ai (s) + yi (s) bi (s) = 1, 8i, cuya solución se basa en el algoritmo
de división de Euclides o por un procedimiento algebraico

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Propiedad de entrelazamiento par (p.i.p.),
Theorem
[Vidyasagar, M., 1985 [3]]
Una planta dada P es fuertemente estabilizable si el número de polos reales e
inestables de P (contados de acuerdo a sus grados McMillan) entre cada par
de ceros reales e inestables de P, incluyendo los ceros al inﬁnito, es par.
Ej.
P (s) = s 1
s(s 2)2 (39)
es fuertemente estabilizable porque tiene dos polos en (1, ∞)
6

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Theorem
[Nett et al., [2]]. Dado el sistema LIT,
G22 (s) :
˙x (t) = Ax (t) + Bu (t)
y (t) = Cx (t) + Eu (t)
(A, B) es estabilizable, y (C, A) es detectable. Sean F y K tales que los
polinomios característicos de,
AK := A BK
AL := A LC
son Hurwitz. Entonces, f.c.i. y f.c.d. de G22 (s) , y una solución de la
identidad de Bezout son,
N (s) = (C EK) (sI AK) 1
B + E, D (s) = I K (sI AK) 1
B
˜D (s) = I C (sI AL) 1
L, ˜N (s) = C (sI AL) 1
(B LE) + E
X (s) = K (sI AL) 1
L, Y (s) = I + K (sI AL) 1
(B LE)
˜X (s) = K (sI AK) 1
L, ˜Y (s) = I + (C EK) (sI AK) 1
L
6

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Metodología [Galindo, Herrera, Martinez, 2000]
1 Obtener un modelo no lineal determinístico, de parámetros
concentrados (hojas de datos o experimentalmente), MIMO
2 Linealizar alrededor de un punto de equilibrio
3 Aplicar a G22 (s) 2 Fp m la transformación bilineal s = 1
λ a,
donde s = a es un polo estable
4 Obtener f.c.d. y f.c.i. de G22 (λ)
Ej. G22 (s) = 1
s 1 = 1
s+a
s 1
s+a
1
, 1
s+a 2 <H∞ y s 1
s+a 2 <H∞
5 Determinar X (λ) y Y (λ) tales que X (λ) N (λ) + Y (λ) D (λ) = I
6 Aplicar λ = 1
s+a a X (λ), Y (λ), Ñ (λ) y ˜D (λ), asegurando
X (s) 2 <H∞, Y (s) 2 <H∞, Ñ (s) 2 <H∞, y ˜D (s) 2 <H∞
7 Seleccionar un K (s) estable en la parametrización YJBK
8 Seleccionar R (s) 2 <H∞ y Q (s) 2 <H∞ para desempeño,
f = ¯σ (Lh) η [¯σ (Lh) ¯σ (Sl)]
Si s = a es un polo de P (s) se tienen mejores posibilidades de
obtener un K (s) de menor orden
N (s) U (s) [D (s) U (s)] 1
o V (s) ˜D (s)
1
V (s) Ñ (s), U (s) y
V (s) para desempeño

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[Galindo, Herrera, Martinez, 2000]
7

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Fórmulas explícitas para la parametrización YJBK que estabilizan a
una planta ideal (sI A) 1
,
[Galindo, Sanchez, Herrera, 2002 [5]]
Suponga que P (s) = (sI A) 1
y det f(s + a) In R (s)g es un polinomio
Hurwitz, R (s) 2 <H∞. Entonces,
X (s) = ˜X (s) = aIn + A 2 <H∞
Y (s) = ˜Y (s) = In 2 <H∞
˜N (s) = N (s) =
1
s + a
In 2 <H∞
˜D (s) = D (s) =
1
s + a
(sIn A) 2 <H∞
ND 1 =
1
s + a
1
s + a
(sIn A)
1
XN + YD = (aIn + A)
1
s + a
+
1
s + a
(sIn A) = In
˜N (s), Np (s), ˜D (s) y D (s) son de bajo esfuerzo computacional

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[Galindo, Sanchez, Herrera, 2002]
Si P (s) = (sI A) 1
,
entonces, un K (s) estabilizante propio es:
K (s) = A + [(s + a) In R (s)] 1
[(s + a) aIn + R (s) s]
y,
kSolk∞ = 1
a2 k(aIn Rl) Ak∞
Si R (s) es rI, entonces,
K (s) = A + (a+r)s+a2
s+a r In
que es un PI conforme r ! a, y K (s) 2 <H∞ si r < a
Si a "=) kSolk∞ #
7

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[Galindo, Sanchez, Herrera, 2002]
Tφzd
= 1
(s+a)2 (DF + N) 2 <H∞
ess = (aI R) EF (aI R) + GGLa2 Fzd
P : (F, G, H), E = GGL I

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[Galindo y Perez, 2003]
z = P (s) G M
u 0
0 uf

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Sensibilidad mezclada
[Galindo, Malabre, Kuˇcera, 2004]
El índice J1 :=
W1 (s) So (s)
W2 (s) Tu∆y∆
(s) ∞
es transformado al problema
de sensibilidad mezclada ,
J2 :=
Tu∆y∆h
Sol ∞
Sol = lim
s!0
So(s) y Tu∆y∆h = lim
s!∞
Tu∆y∆
(s)
Estabilidad robusta : Tu∆y∆
(s) ∞
# en AF
Desempeño robusto nominal : kSo (s)k∞ # en BF
J2 involucra minimizar simultáneamente kSolk∞ y Tu∆y∆h ∞
, esto es,
min
K(s)
kSolk∞ sujeto a,
kSolk∞ = Tu∆y∆h ∞
(40)
seleccionando los parámetros libres
Matrices cuyos elementos son reales y sin un sistema aumentado
=) el orden de K (s) no será mayor que el de P (s)

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[Galindo, et al. 2004 [1]],
exd-
L e
- K1(s)
v
- BL -
?
u
P(s) -
L
d1
?
-
y
?L
?
d2
6
1
6
L
- (sIn A) 1
B
bx- C - 1 -L
CRK2(s)
w
BL
6
BLB = I, CCR = I, sin embargo se requiere análisis de estabilidad
r = a 1
γmina
(wh+1)kAk∞
, r
a[(wh a)kAk∞ a2
]
whkAk∞+a2
Preﬁltro de la referencia, xd 2 Im B
7

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[Galindo, 2005 [2]]

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[Galindo, 2006 [3]]
Aproximación de BF de la ley de control
Análisis de estabilidad robusta en Galindo, 2007 [5]

logo
Los valores propios de un subsistema pueden asignarse por un
cambio de base,
[Galindo, 2007 [5]]
Sea Tm 2 <m m cualquier matriz deﬁnida positiva.
Una transformaciónn que preserva la estructura de B =
0
Bm
y asigna valores propios al polinomio característico de det sIm A11 es,
T =
A 1
12 0
TmA 1
12 Im
, T 1 =
A12 0
Tm Im
El sistema en nuevas coordenadas es,(
x (t) = Ax (t) + Bu (t)
y (t) = T 1x (t)
donde x (t) := Tx (t) y,
A =
Tm Im
A21A12 (Tm + A22) Tm Tm + A22
¯A12 es no singular
7

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[Galindo, 2006-2008 [4]]
En el esquema convencional, la clase de sistemas LTI está
caracterizada por la matriz de observabilidad en lazo cerrado
=) observador útil para a lo más m estados
Condiciones de estabilidad necesarias y suﬁcientes
[Galindo, 2008 [2]]
Análisis de estabilidad y sensibilidad mezclada en el esquema
no-convencional
Al igual que en Galindo, 2007 [5] la dinámica de un subsistema
es asignada por cambio de base
7

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Trabajos posibles
Control robusto adaptable
Doble factorización coprima
f = ¯σ Tu∆y∆h η ¯σ Tu∆y∆h σ (Sol)
Factorizaciones coprimas normalizadas y sensibilidad mezclada
Control robusto en el esquema general utilizando LFT
Multi-controlador, combinando los resultados de la
parametrización YJBK para (A, B, C) y sobre estabilización
simultanea

logo
Trabajos posibles
Retomar el análisis de estabilidad con BL y CR, replanteando el
problema con polinomios con coeﬁcientes matriciales
Rechazo a perturbaciones
Seguimiento de modelo
Reducción de modelos (truncamiento balanceado)
LPV
Relación fase-ganancia de Bode
Tensor product
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