Laboratorio N4 Sistemas de Control I Universidad Nacional del Callao

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Escuela Profesional Ingeniería Electrónica
LABORATORIO: Nº4
ASIGNATURA: Sistemas de Control I
PROFESOR: Benites Saravia Nicanor Raúl
GRUPO HORARIO: 90-G
SEMESTRE: 2017-A
INTEGRANTE:
-CHIRINOS FLORES ROY JOSE 14232225326
CALLAO-2017

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA
LABORATORIO N° 4
CONTROL I
En la figura 1 se ilustra un circuito que es posible utilizar para realizar un filtro Butterwoth
pasa bajos (pasivo) de cuarto orden. Evidentemente es un circuito sencillo, y lo que se trata
es modelarlo y observar su comportamiento ante diferentes señales de entrada, usando para
ello el Matlab.
1. Plante las ecuaciones diferenciales que gobierna el sistema.
FIG.1
Las ecuaciones difererenciales del sistema son:
1( )
1( ) 1 1( ) 2( )
1
1
( )
t
ent S t t t
I
V R I L I dt I dt
t C

   
  
2( )
2( ) 2( ) 1( ) 2( ) 3( )
1 2
1 1
0 ( ) ( )
t
t t t t t
I
I I dt I dt I dt I dt
t C C

    
    

3. 3( ) 2( ) 3( )
2
1
0 ( )t t t LI dt I dt I R
C
   
3( )SAL L tV R I
2. Obtenga el modelo de Función de Transferencia, considerando como salida vsal(t) y
como entrada vent(t). Enseguida simule su respuesta ante una entrada escalón
unitario y una entrada sinusoidal.
Dadas las ecuaciones diferenciales pasamos al dominio de la pulsación compleja y
resolvemos:
1( ) 2( )
( ) 1( ) 1 1( )
1
1
( )
S S
S S S S
I I
V R I L I S
C S S
   
2( ) 1( ) 2( ) 3( )
2 2( )
1 2
1 1
0 ( ) ( )
S S S S
S
I I I I
L I S
C S S C S S
    
3( ) 2( )
3( )
2
1
0 ( )
S S
S L
I I
I R
C S S
  
3( )SAL S LV I R
( ) 1( ) 1 2( )
1 1
1 1
( ) ( )S S S SV I R L S I
C S C S
   
1( ) 2( ) 2 3( )
1 1 2 2
1 1 1 1
0 ( ) ( ) ( )S S SI I L S I
C S C S C S C S
      
2( ) 3( )
2 2
1 1
0 ( ) ( )S S LI I R
SC C S
   
3( )SAL L SV R I
2( )
2 2
1 1
0 ( ) ( )( )SAL
S L
L
V
I R
SC R C S
   
2( ) 2
2
1
( )( )( )SAL
S L
L
V
I SC R
R C S
 
( )
1( ) 2 2
1 2 1 2 2
1 1 1 1 1
0 ( ) ( )( )( )( ) ( )
SAL SSAL
S L
L L
VV
I SC R L S
SC R C S C S C S R C S
       
( )
1( ) 2 2 1
2 1 2
1 1 1
(( )( )( ))( )
SAL S
S L
L
V
I SC R L S SC
R C S C S C S
   
( )1
( ) ( ) 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1
( )( ( )( ) )( ) ( )( )( )( )
SAL S
S SAL S L S L
L L
VSC
V V SC R L S R L S SC R
R C S C S C S C S C S R C S C S
        

4. ( )
1 2( )
2 2 1
2 1 2 2 1 1 2
1
1 1 1 1 1 1 1
(( )( ( )( ) )( ) ( )( )( ))
SAL S
S
L S L
L L
V
SC SCV SC R L S R L S R
R C S C S C S C S C S R C S C S

       
Simplificando
( )
4 3 2 2 2 2
( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) 2
SAL S
S S S L S S L S S L
V
V S C C L L R S C C L R C L L S C L R C L R C L R C L R S C R C R L L R

          
Los parámetros son dados por el siguiente filtro Butterworth ,tipo Lowpass de cuarto oden;
parámetros generados en web por:[https://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/lcfilter]
Para :
1000cf Hz
100fuenteZ  
Fig.1 Filtro Butterworth ,tipo Lowpass
Cuya grafica es de ganancia vs frecuencia:
Fig.2 Diagrama de bode
Parametros:
1 100R  
1 0.0121817HL 
6
1 2.94118 10C F
 
2 0.0294118L H

5. 6
2 1.21817 10C F
 
2 100R  
Por lo tanto la función de transferencia seria:
( )
4 13 3 9 2 6
( )
1
(1.2836 10 ) (2.1 10 ) (17.25 10 ) (0.083187) 2(100)
SAL S
S
V
V S S S S  

      
Respuesta escalon unitario en Matlab:
sys = tf([0 0 0 0 1],[1.28.*10.^-13 2.1.*10^-9 17.25.*10.^-6 0.083187
200])
step(sys)
title(' Respuesta escalon unitario ')
Respuesta entrada sinusoidal
sys = tf([0 0 0 0 1],[1.28.*10.^-13 2.1.*10^-9 17.25.*10.^-6 0.083187 200])
clf
t = 0:0.0001:4;
u =0.005.*sin(10*t);
lsim(sys,u,t)
title(' Respuesta entrada sinusoidal ')
axis ([ 0 6 -5.*10.^-3 5.*10.^-3])

6. 3. Obtenga el modelo de estado para esta red que pueda utilizarse para predecir el
voltaje de salida vsal(t) para un voltaje de entrada vent(t). Considerar las siguientes
variables de estado: 1 1x i , 2 cx v , 3 2x i , 4 dx v .Enseguida simule su respuesta
ante una entrada escalón unitario y una entrada sinusoidal (elija una frecuencia de
entrada).
El modelo en espacio de estados es el siguiente:
13 9 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1.28 10 ) (2.1 10 ) (17.25 10 ) (0.0831) 200t t t t t ty y y y y u  
          
4 ( )tX y 
3 ( )tX y 
2 ( )tX y 
1 ( )tX y
1 2X X
2 3X X
3 4X X
13 7 11 15 13
4 4 3 2 1 ( )(1.64 10 ) (13.47 10 ) (6.49 10 ) (1.56 10 ) (0.78 10 ) tX X X X X u
          
11
22
( )
33
15 11 11 4 13
44
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
(1.56 10 ) (6.49 10 ) (13.47 10 ) (1.64 10 ) 0.78 10
t
XX
XX
u
XX
XX
      
      
       
      
      
               





7.    
1
( ) ( )
0
1 0 0 0 0
0
0
t t
X
y u
 
 
  
 
 
 
15 11 11 4
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(1.56 10 ) (6.49 10 ) (13.47 10 ) (1.64 10 )
A
 
 
 
 
 
        
13
0
0
0
0.78 10
B
 
 
 
 
 
 
 1 0 0 0C 
 0D 
Las graficas:
Para una estrada escalon unitario:
A=[0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1;-(1.56.*10.^15) -(6.49.*10.^11) -(13.47.*10.^7) -
(1.64.*10.^4) ]
B=[0; 0 ;0 ;(0.78.*10.^13)];
C=[1 0 0 0];
D=[0];
step(A,B,C,D);
grid
title('Respuesta a un escalon unitario')
axis ([ 0 0.02 0 0.006 ])

8. Para una respuesta a una entrada sinusoidal
A=[0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1;-(1.56.*10.^15) -(6.49.*10.^11) -(13.47.*10.^7) -
(1.64.*10.^4) ]
B=[0; 0 ;0 ;(0.78.*10.^13)];
C=[1 0 0 0];
D=[0];
t = 0:0.0001:4;
u =sin(10*t);
lsim(A,B,C,D,u,t)
title('Respuesta a entrada sinusoidal')
axis ([ 0 6 -1 1])
4. Usando amplificadores operacionales, presente un esquema alternativo de un filtro
Butterworth (filtro activo). Anote valores de los componentes utilizados.
Usando la topología Sallen-Key el filtro activo pasabandas de cuarto orden es:

9. 4. Encuentre el modelo de Función de Transferencia del filtro activo. En seguida
simule su respuesta ante una entrada escalón unitario y una entrada sinusoidal.
El filtro es uno del tipo Butterworth ,pasabandas de cuarto orden.
Para diseñar los filtros parciales se tomo los siguientes parámetros.
• Frecuencia media del filtro global, 15mf KHz
• Ancho de banda; 10BW KHz
• Frecuencias de banda de paso; (10) ; 20FL KHz FH KHz 
Dejando que la ganancia general a media frecuencia, 2mA 
Para el caso específico del tipo de filtro Butterworth , 1 1.4141a  y 1 1b  .
Utilizando la ecuación
2
2
2 1
2 2 1
1
. . 1 ( )
( ) 0
(1 )b b
 

 
    
      
   
, se obtiene
1.2711 
Después de obtenerse  , todas las cantidades de los filtros parciales pueden calcularse como
sigue:
1 11.8mf KHz
2 19.067mf KHz
La calidad individual del polo iQ , es la misma para ambos filtros.
2.1827iQ 
La ganancia individual miA en las frecuencias medias parciales 1mf y 2mf es la misma para
ambos filtros.

10. 2.0579miA 
Para diseñar los filtros de paso de banda de segundo orden individuales se usó la topología
Sallen-Key. Especificamos la capacitancia (C = 10nF); los valores de resistencia respectivas para
cada filtro parciales se puede obtener utilizando las siguiente ecuaciones.
Donde:
G seria la ganancia interna del filtro
2
1
1
R
G
R
 
Siendo la ganancia a frecuencias medias
3
m
G
A
G


Y la frecuencia media del filtro seria
1
2
mf
RC

Además se deduce
2m mf 
Para el primer filtro de segundo orden
(1 ) 1.3491R K  asi 1 10R K  ; 2 15.376R K 
Para el segundo filtro de segundo orden
(2) 834.7R K  asi 1 10R K  ; 2 15.376R K 
El filtro de cuarto orden de tipo Sallen-Key es construido con dos secciones de segundo orden
no identicas:

11. Para obtener la función de transferencia podemos reemplazar los parámetros obtenidos en la
siguiente ecuación.
( ) 2 2 2 2
1 [ (3 ) ] ( )
m
S
m m
GRC S
A
RC G S R C S

 

  
Por lo tanto la función de transferencia es :
2
( ) 4 3 2
0.8889
(0.9428) (2.44453) (0.9428) 1
S
S
A
S S S S

   
La respuesta escalon unitario es la siguiente utilizando Matlab
sys = tf([0 0 0.8889 0 0],[1 0.9428 2.44453 0.9428 1])
step(sys)
title(' Respuesta escalon unitario ')
La respuesta ante una entrada sinusoidal es la siguiente utilizando Matlab
sys = tf([0 0 0.8889 0 0],[1 0.9428 2.44453 0.9428 1])
clf
t = 0:0.0001:4;
u =sin(10*t);
lsim(sys,u,t)
title(' Respuesta entrada sinusoidal ')
axis ([ 0 6 -1 1])

12. 5. Encuentre el modelo en Espacio de Estado del filtro activo. Enseguida simule su
respuesta ante una entrada escalón unitario y una entrada sinusoidal.
2
( ) 4 3 2
0.8889
(0.9428) (2.44453) (0.9428) 1
S
S
A
S S S S

   
A partir de la función de transferencia dada , la ecuación diferencial del sistema es:
0.9428 (2.44453) (0.9428) 0.8889y y y y y u        
Comparando con la ecuación estándar
1 2 3 4 0 1 2 3 40.8889y a y a y a y a y b b b u b b            
Se encuentra:
1 0.9428a  , 2 2.4445a  , 3 0.9428a  4 1a 
0 0b  1 0b  2 0.8889b  3 0b  4 0b 
0 0 0b  
1 1 1 0 0 (9428)(0) 0b a     
2 2 1 1 2 0 0.8889 (0.9428)(0) (2.4445)(0) 0.8889b a a        
3 3 1 2 2 1 3 0 0 (0.9428)(0.8889) 0.8380b a a a          
4 4 1 3 2 2 3 1 4 0 0 (0.9428)( 0.8380) (2.4445)(0.8889) 1.3828b a a a a              
Se refiere
1 0 0x y u y   
2 1 1 1 0x x u x    
3 2 2 2 (0.8889)x x u x u    
4 3 3 3 ( 0.838)x x u x u     
Se define
1 2 0x x 
2 3 (0.8889)x x u 
3 4 ( 0.8380)x x u  

13. 4 4 1 3 2 2 3 1 4 4x a x a x a x a x u     
De ahí la representación en el espacio de estados del sistema es:
1 1
2 2
3 3
4 4
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0.8889
0 0 0 1 0.838
1 0.9428 2.4445 0.9428 1.3828
x x
x x
u
x x
x x
      
      
       
      
      
          




   
1
2
3
4
1 0 0 0 0
x
x
y u
x
x
 
 
  
 
 
 
Respuesta escalon unitario
A=[0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1;-1 -0.9428 -2.4445 -0.9428 ]
B=[0; 0.8889 ;-0.838 ;-1.3828];
C=[1 0 0 0];
D=[0];
step(A,B,C,D);
grid
title('Respuesta a un escalon unitario')
Respuesta entrada sinusoidal
A=[0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1;-1 -0.9428 -2.4445 -0.9428 ]
B=[0; 0.8889 ;-0.838 ;-1.3828];
C=[1 0 0 0];
D=[0];
t = 0:0.0001:4;
u =sin(10*t);
lsim(A,B,C,D,u,t)
grid
title('Respuesta a entrada sinusoidal')
axis ([ 0 6 -1 1])

14. 7. Usando Pspice, obtenga la respuesta del filtro activo frente a una entrada sinusoidal.
Usando el programa de simulacion Multisim obetenemos la respuesta ante una entrada
sinusoidal de 1Khz de frecuencia
La respuesta es graficada en el diagrama de bode

15. 8. Comente los resultados obtenidos en todos los casos, ordenándolos apropiadamente.
Resultados obtenidos con matlab:
2
Primer grafico
.El circuito al ser un filtro pasa bajos no se afectado la ganancia hasta la frecuencia de corte
donde se impide el paso de señales se grafica una señal estable a partir de la frecuencia de
corte
Segundo grafico
De la misma manera hasta la frecuencia de corte hay una señal en respuesta a la entrada
senoidal pero una vez que se llegue la señal a esa frecuencia se atenua la ganancia.
Tercer grafico
La respuesta tiene el mismo sentido que su respuesta en la función de transferencia, la
diferencia es que se obtiene el grafico ante su representación del modelo de estado, por eso
muestra una pendiente mas lineal , la ganancia en un intervalo de frecuencia reducido
Cuarto grafico
La grafica muestra la misma respuesta que se obtuvo en el segundo grafico , atenuándose la
señal después de la frecuencia de corte
4
Quinto grafico
El grafico muestra la respuesta escalon unitario debido, con respuesta amortiguada ya que la
función de excitación contiene un termino derivativo una vez que se estabiliza la señal, es
continua
Sexto grafico
El grafico muestra la respuesta a una entrada senoidal una vez que la frecuencia es mayor a la
frecuencia de corte la gananacia se atenua totalmente
5
Septimo grafico
La respuesta es la misma que el quinto grafico muestra una entrada amortiguada
Octavo grafico