Digitalización de controladores continuos Sistemas de control de Carlos Valdivia pag 186

1. Ejercicio 3:
Una estación de seguimiento se encarga de recoger la información proveniente de un satélite
de comunicaciones situado, en una órbita no geoestacionaria. Para efectuar un seguimiento
adecuado del satélite se ha diseñado el sistema de control de la figura. El ordenador dispone de
los datos de la órbita del satélite y calcula la posición que debe tener la antena en cada
momento. Dada la elevada distancia entre la estación de seguimiento y el satélite, para que la
comunicación sea posible, el error de orientación debe ser nulo. El sistema informático ejecuta
un algoritmo de control cada segundo que actúa sobre el motor de orientación de la antena a
través del DAC de una tarjeta de adquisición de datos instalada en el ordenador y una etapa
amplificadora. El eje del motor de la antena tiene acoplado un sensor digital de posición angular,
que indica al sistema informático, a través de la tarjeta de adquisición, la posición de la antena,
siendo la función de transferencia del motor, junto al amplificador de potencia y el sensor de
posición angular, la siguiente:
𝐺(𝑠) =
0.2
𝑠(𝑠 + 0.2)
Se pide:
a) Representar el diagrama de bloques del sistema teniendo en cuenta que el motor se
desplaza un grado por voltio.
b) Obtener el equivalente discreto de la planta usando un retenedor de orden cero.
Ilustración 1 Sistema de control para el seguimiento de un satélite.
Solución:
La figura representa el diagrama de bloques del sistema. La consigna de posición de la antena
se genera dentro del ordenador a partir de los parámetros de la órbita. El mismo ordenador
ejecuta cada 1.115 segundos, el algoritmo de control y, la acción de control generada, se pasa a
continua mediante la tarjeta de adquisición, a través de un DAC y un bloqueador de orden cero.
La acción de control es acondicionada por la etapa de potencia y actúa sobre el motor,
produciendo la orientación de la antena. El motor, además de la antena, mueve un sensor de
posición que informal al ordenador, mediante datos digitales, de la orientación real de la
antena.

2. Ordenador y tarjeta de adquisición.
Diagrama de bloques del sistema de control.
b) El equivalente discreto incluirá los bloques 𝐵 𝑍𝑂𝐻(𝑆) 𝑦 𝐺(𝑆). Como el retenedor es
de orden cero, el equivalente es:
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧1) ∗ ∑ 𝑅𝑒𝑠 (
𝐺(𝑠)
𝑠
∗
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1 )
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
𝐺(𝑠)
𝑠
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍) = (1 − 𝑧1) ∗ ∑ 𝑅𝑒𝑠 (
0.2
𝑠2 ∗ (𝑠 + 0.2)
∗
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1
)
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
𝐺(𝑠)
𝑠
Hay tres residuos en 𝑠 = −0.2 y doble en 𝑠 = 0
𝑅𝑒𝑠
𝑠 = −0.2
=
𝑙𝑖𝑚
𝑠 → −0.2
(𝑠 + 0.2) ∗
0.2
𝑠2(𝑠 + 0.2)
∗
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1
=
5
1 − 𝑒−0.2𝑇 𝑧−1
Los residuos con polos múltiples 𝑛 en 𝑠 = 𝑎 se calculan mediante la siguiente expresión:
𝐹(𝑧)
𝑒 𝑘
(°)
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
(°)
+ 𝐺(𝑠)
−
𝑇
𝑉
𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
𝐴(𝑧) 𝐵 𝑍𝑂𝐻(𝑠)
𝐴(𝑠)
𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟
𝐶(𝑧)

3. 𝑅𝑒𝑠
𝑠 = 𝑎
=
1
(𝑛 − 1)!
∗
𝑑 𝑛−1
𝑑𝑠
[(𝑠 − 𝑎) 𝑛
∗ 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛(𝑠)] 𝑠=𝑎
Para este caso:
𝑅𝑒𝑠
𝑠 = 0
=
1
(2 − 1)!
∗
𝑑2−1
𝑑𝑠
[(𝑠 − 0)2
∗
0.2
𝑠2(𝑠 + 0.2)
∗
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1]
𝑠=0
𝑅𝑒𝑠
𝑠 = 0
=
𝑑
𝑑𝑠
[
0.2
𝑠 − 𝑠𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1 + 0.2 − 0.2𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1 ]
𝑠=0
Resolviendo la derivada:
𝑅𝑒𝑠
𝑠 = 0
= [
0 − 0.2[1 − (𝑒 𝑠𝑇
𝑧−1
+ 𝑠𝑇𝑒 𝑠𝑇
𝑧−1) − 0.2𝑇𝑒 𝑠𝑇
𝑧−1]
(𝑠 − 𝑠𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1 + 0.2 − 0.2𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1)2
]
𝑠=0
𝑅𝑒𝑠
𝑠 = 0
=
−0.2[1 − 𝑧−1
− 0.2𝑇𝑧−1
]
(0.2 − 0.2𝑧−1)2
=
−5[1 − 𝑧−1
− 0.2𝑇𝑧−1
]
(1 − 𝑧−1)2
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍) = (1 − 𝑧1) ∗ [
5
1 − 𝑒−0.2𝑇 𝑧−1
−
5[1 − 𝑧−1
− 0.2𝑇𝑧−1]
(1 − 𝑧−1)2
]
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍) =
5(1 − 𝑧−1
)
(1 − 𝑒−0.2𝑇 𝑧−1)
−
5[1 − 𝑧−1
− 0.2𝑇𝑧−1
]
(1 − 𝑧−1)
Para 𝑇 = 1.115 segundos:
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍)| 𝑇=1.115 =
5 ∗ (1 − 𝑧−1
)
(1 − 0.8𝑧−1)
−
5 ∗ (1 − 1.223𝑧−1)
(1 − 𝑧−1)
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍)| 𝑇=1.115 = 5 ∗ [
(𝑧 − 1)
(𝑧 − 0.8)
−
(𝑧 − 1.223)
(𝑧 − 1)
]
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍)| 𝑇=1.115 = 5 ∗
𝑧2
− 2𝑧 + 1 − 𝑧2
+ 2.023𝑧 − 0.9784
(𝑧 − 0.8)(𝑧 − 1)
=
0.115𝑧 + 0.108
(𝑧 − 0.8)(𝑧 − 1)
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑍)| 𝑇=1.115 =
0.115(𝑧 + 0.939)
(𝑧 − 0.8)(𝑧 − 1)
Para determinar los parámetros PID por el método de Ziegler-Nichols se necesita conocer la
ganancia límite 𝐾, y el periodo de oscilación permanente P, K, es la ganancia a la que el sistema
comienza a ser inestable y se obtiene hallando los puntos de corte con la circunferencia de radio
unidad. Para ello se aplica el criterio extendido del sistema en lazo realimentado.

4. 𝑀(𝑧) =
𝐾𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧)
1 + 𝐾𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧)
=
𝐾
0.115(𝑧 + 0.939)
(𝑧 − 0.8)(𝑧 − 1)
1 + 𝐾
0.115𝐾(𝑧 + 0.939)
(𝑧 − 0.8)(𝑧 − 1)
𝑀(𝑧) =
0.115𝐾(𝑧 + 0.939)
𝑧2 − (1.8 − 0.115𝐾)𝑧 + 0.8 + 0.107𝐾
Igualando a cero el denominador se obtiene la ecuación característica:
𝑞(𝑧) = 𝑧2
− (1.8 − 0.115𝐾)𝑧 + 0.8 + 0.107𝐾 = 0
Se realiza el cambio de variable 𝑧 = (1 + 𝑊)/(1 − 𝑊) y se simplifica:
𝑞(𝑊) = (3.6 + 0.008𝐾) ∗ 𝑊2
+ (0.4 − 0.214𝐾)𝑊 + 0.222𝐾 = 0
Se construye la tabla de Routh-Hurwitz:
𝑊2
(3.6 + 0.008𝐾) 0.222𝐾
𝑊1
(0.4 − 0.214𝐾)
𝑊0
0.222𝐾
Para que haya estabilidad:
3.6 + 0.008𝐾 > 0 → 𝐾 < 450
0.4 − 0.214𝐾 > 0 → 𝐾 < 1.87
0.222𝑘 > 0 → 𝐾 > 0
El lugar de raíces corta la circunferencia de radio unidad cuando 𝐾 = 450, 𝐾 = 0 y 𝐾 = 1.87,
pero el sistema es estable si 0 < 𝐾 < 1.87. La estabilidad está delimitada entre estos dos
valores de ganancias; por lo tanto, la ganancia crítica es 1.87. En el plano 𝑧 corresponde al punto:
(𝑧2
− (1.8 − 0.115𝐾)𝑧 + 0.8 + 0.107𝐾) 𝐾=1.87 = 0 → 𝑧1,2 = 0.79 ± 0.61𝑗
La ganancia crítica produce una oscilación mantenida 𝑃. El período discreto de oscilación será
aquel número de muestras 𝑁 tras el que el término sinusoidal vuelve a repetir sus valores,
circunstancia que sucede cuando el argumento de la función seno se incrementa en 360°.
Es decir:
𝑁 =
360°
𝛼
=
360°
𝑡𝑔−1 (
0.61
0.79)
=
360°
37,67°
= 9.55
Y la oscilación 𝑃 es:
𝑃 = 𝑁𝑇 = 9.55 ∗ 1.115 𝑠𝑔
𝑃 = 10.65 𝑠𝑔
Los parámetros de ajuste del controlador son:
𝐾𝑝 = 0.6 ∗ 𝐾𝑐 = 1.122

5. 𝑇𝑖 = 0.5𝑃 = 5.32 𝑠𝑔
𝑇𝑑 =
𝑃
8
= 1.33 𝑠𝑔
Por consiguiente, los coeficientes del regulador PID discretizado por sustitución del operador
derivada, quedarían:
𝑞𝑜 = 𝐾𝑝 (1 +
𝑇
𝑇𝑖
+
𝑇𝑑
𝑇
) = 1.122 (1 +
1.115
5.32
+
1.33
1.115
) = 2.7
𝑞1 = 𝐾𝑝 (−1 − 2 ∗
𝑇𝑑
𝑇
) = 1.122 (−1 − 2 ∗
1.33
1.115
) = −3.8
𝑞2 = 𝐾𝑝 ∗
𝑇𝑑
𝑇
= 1.122 ∗
1.33
1.115
= 1.33
Y la función de transferencia del regulador es:
𝐹(𝑧) =
𝐴(𝑧)
𝐸(𝑧)
=
2.7 − 3.8𝑧−1
+ 1.33𝑧−2
1 − 𝑧−1
=
2.7𝑧2
− 3.8𝑧 + 1.33
𝑧(𝑧 − 1)