Unidad 4 control2

03/06/2013
1
UNIDAD IV
DISEÑO DE
CONTROLADORES
DIGITALES
DISEÑO DE SISTEMAS DE
CONTROL EN TIEMPO
DISCRETO
Existen dos formas generales de diseñar el
control de sistemas en tiempo discreto:
• Indirecto: consiste en diseñar el
controlador digital en el dominio de
tiempo continuo, utilizando las técnicas
analógicas y luego transformando el
resultado del dominio continuo al dominio
discreto.
• Directo: se diseña el controlador digital
en el dominio discreto directamente,
utilizando una función de transferencia z
del proceso a controlar. Se utilizan
técnicas de diseño en el dominio z.

03/06/2013
2
DISEÑO DE SISTEMAS DE
CONTROL EN TIEMPO
DISCRETO
La estrategia de diseño es definir las
características de la respuesta del
sistema en el tiempo o en frecuencia;
como el sobre paso máximo, el tiempo de
asentamiento, el tiempo de levantamiento
márgenes de fase o magnitud, etc. Estas
características determinan la ubicación
de los polos de la función de
transferencia z de lazo cerrado. Entonces
se determina el periodo de muestreo T
teniendo en cuenta el teorema de Nyquist
y los criterios de elección, para que se
obtenga la función de transferencia
deseada.
ELECCIÓN DEL
PERIODO DE MUESTREO
• El periodo de
muestreo es un
aspecto crítico en la
discretización de
compensadores
continuos. Como norma
general, cabe anotar
que interesa es un
periodo de muestreo
lo mas pequeño
posible, siempre que
no condicione al
sistema a dos
aspectos importantes:
su implementación y
los errores de
cuantificación. Los
criterios se basan en
los siguientes
aspectos:












 

75a25
ientoestablecimdetiempo:
20a10
ntolevantamiesubida,detiempo:
bandadeancho
40a20N2 B
r
s
r
s
s
r
r
r
r
s
B
s
s
N
t
N
t
T
N
t
N
t
T
BW
BWN
T


LAZO CERRADO
LAZO ABIERTO






gananciadecrucedefrecuencia:
80a04
2
T
g
g
ggs
N
N 



03/06/2013
3
BIBLIOGRAFÍA
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering.
Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.
CAPITULO 1
DISEÑO DIRECTO: BASADO
EN LA RESPUESTA EN EL
TIEMPO




0
*
)()()(
k
kTtkTxtx 

03/06/2013
4
EN EL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
Para el sistema mostrado la ecuación
característica es:
La cual es la misma que la encontrada
en el lugar geométrico de las
raíces en tiempo continuo (plano s)
0)()(1  zHzG
• CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en
muchos sistemas en tiempo discreto, la
ecuación característica puede tener
cualquiera de las dos siguientes formas
y
Para combinar esta dos formas en una,
definamos la ecuación característica
Donde:
o
0)()(1  zHzG 0)(1  zGH
0)(1  zF
)()()( zHzGzF  )()( zGHzF 
DE LAS RAÍCES

03/06/2013
5
Observe que F(z) es la función de
transferencia de lazo abierto. La
ecuación característica se puede escribir
de esta manera también:
Dado que F(z) es una cantidad compleja se
puede hallar la magnitud y el ángulo de
dicha cantidad, de esta manera:
Ángulo:
Magnitud
1)( zF
1)( zF
0,1,2,...N),12(180)(  NzF
DE LAS RAÍCES
Los valores de “Z” que satisfacen tanto las
condiciones de ángulo como de magnitud se
encuentran en las raíces de la ecuación
característica, es decir en los polos de la lazo
cerrado.
Una gráfica de los puntos en el plano complejo que
satisface solamente la condición de ángulo es el
lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la
ecuación característica que corresponden a un
valor dado de la ganancia pueden localizarse en el
lugar geométrico de las raíces mediante la
condición de magnitud.
DE LAS RAÍCES

03/06/2013
6
Diagrama del Lugar
Geométrico de las Raíces
de un Controlador Digital
Ahora se investigará los efectos de la
ganancia K y el periodo de muestreo T sobre
la estabilidad relativa de un sistema de
lazo cerrado.
Suponga el sistema de control siguiente
)(*
sG D ZOH
1
1
s
+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
Donde el controlador digital es de tipo integral, es
decir
Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores
del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2
seg), también se hallará el valor crítico de la
ganancia K para cada uno de los casos. Finalmente
localizaremos los polos en lazo cerrado
correspondiente a K=2 para cada uno de los tres
casos.
11
)( 1



 
z
Kz
z
K
zGD
Diagrama del Lugar

03/06/2013
7
En primera medida obtenemos la transformada
Z de Gh(s)Gp(s).
De esta manera:
Diagrama del Lugar
La función de transferencia pulso de la
trayectoria directa es
La ecuación característica
Es decir
0
))(1(
)1(
1 


 

T
T
ezz
eKz
0)(1  zG
Diagrama del Lugar
  T
T
phD
ez
e
z
Kz
sGsGZzGzG 





1
1
)()()()(

03/06/2013
8
Para un periodo de muestreo T=0.5
seg
Observe ve que G(z) tiene polos
z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0
Primero grafiquemos los polos y
los ceros en el plano “z” y luego
hallamos los puntos de ruptura de
entrada y de salida de acuerdo a:
)6065,0)(1(
3935,0
)(


zz
Kz
zG
)(
)(
zB
zA
K 
Diagrama del Lugar
Entonces:
Diferenciando la ecuación en función
de z obtenemos
De allí que:
Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-
0.7788
z
zz
K
3935,0
)6065,0)(1( 

6065,0
0
3935,0
6065,0
2
2
2




z
z
z
dz
dK
Diagrama del Lugar

03/06/2013
9
Al reemplazar z=0.7788 en la ecuación
de K se obtiene un valor de K=0.1244,
en tanto que al reemplazar el valor
de z=-0.7788 obtenemos un valor de
K=8.041
Como K resultó positivo entonces, el
valor z=0.7788 es un punto de ruptura
de salida real y el valor z=-0.7788
es un punto de ruptura de entrada
real.
Diagrama del Lugar
Para hallar el valor crítico de la
ganancia K se obtiene mediante la
condición de la magnitud de la función
de transferencia pulso de la
trayectoria directa, así:
Kezz
ez
T
T
1
))(1(
)1(





Diagrama del Lugar

03/06/2013
10
Para el caso de T=0.5 se obtiene
La ganancia crítica ocurre en z=-1, con
este valor se obtiene:
Con lo que K=8.165
Con un K=2 se obtienen dos polos
complejos conjugados en lazo cerrado
que son
)6065,0)(1(
3935,01


zz
z
K
)6065,01)(11(
)1(3935,01



K
Diagrama del Lugar
6623.04098.0y6623.04098.0 21 jzjz 
Gráfica del lugar de las raíces con
un T=0.5 seg
Diagrama del Lugar
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

03/06/2013
11
• Para obtener la función de transferencia de lazo
cerrado primero se halla la función de
transferencia de la planta en Z, de esta manera
n=[1] ;
d=[1 1];
Gps=tf(n,d);
Gpz=c2d(Gps,0.5,'zoh') % FT de la Planta en Z
Gdz=tf([1 0],[1 -1],0.5) % FT del controlador
%en Z
G=series(Gpz,Gdz) % función de trasferencia de
%lazo abierto
M= feedback (G,1) %función de trasferencia de
%lazo cerrado
1
1
)(


s
sGp
11
1
)( 1



 
z
z
z
zGD
Diagrama del Lugar
• Después de obtener la función de
transferencia de lazo abierto del
sistema, se procede a graficar el LR en
Matlab de la siguiente manera:
num=[0 0.3935 0];
den=[1 -1.6065 0.6065];
G=tf(num,den,0.5)
G2=tf(num,den,0.5,’variable’,’z^-1’)
%potencia de z negativas
rlocus (G) % lugar de las raíces en z
rlocus (G2) % lugar de las raíces en z^-1
Sisotool (G) % diseño de compensadores y
%controladores
)6065,0)(1(
3935,0
)(


zz
Kz
zG
Diagrama del Lugar

03/06/2013
12
• Respuesta en Matlab del L.R.Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: G
Gain: 2
Pole: 0.409 + 0.662i
Damping: 0.24
Overshoot (%): 46.1
Frequency (rad/sec): 2.09
Diagrama del Lugar
EJERCICIO1: La ecuación obtenida para un
periodo de muestreo de 1 seg. es:
Con polos en z=1, 0.3679 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto
de ruptura de entrada son z=0,6065 y
z=-0,6065 respectivamente con valores
correspondientes de ganancia K=0,2449
y K=4,083 respectivamente. El lugar de
las raíces se gráfica de esta manera.
)3679,0)(1(
6321,0
)(


zz
Kz
zG
Diagrama del Lugar

03/06/2013
13
El valor crítico de la ganancia
K es 4,328. Los polos de lazo
cerrado para K=2 son:
6043.005185.0y6043.005185.0 21 jzjz 
Diagrama del Lugar
EJERCICIO2: La ecuación obtenida para un
periodo de muestreo de 2 seg. es:
Con polos en z=1, 0.1353 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto
de ruptura de entrada son z=0,3678 y
z=-0,3678 respectivamente. Sus
valores correspondientes de ganancia
son K=0,4622 y K=2,164
respectivamente. El lugar de las
raíces se gráfica de esta manera.
Diagrama del Lugar
)1353,0)(1(
8647,0
)(


zz
Kz
zG

03/06/2013
14
El valor crítico de la ganancia
K es 2,626. Los polos de lazo
cerrado para K=2 son:
Diagrama del Lugar
2169.02971.0y2169.02971.0 21 jzjz 
Conclusión: los efectos de un periodo de
muestreo grande pueden ser dañinos para
la estabilidad relativa del sistema.
Una regla práctica es muestrear la
señal de ocho a diez veces durante un
ciclo de oscilaciones senoidales
amortiguadas de la salida de un sistema
subamortiguados. Para sistemas
sobreamortiguados prueba de ocho a diez
veces durante el tiempo de
levantamiento de la respuesta escalón.
Diagrama del Lugar

03/06/2013
15
Conclusión: De manera
alternativa, al reducir el
periodo de muestreo permite
que el valor crítico de la
ganancia K respecto a la
estabilidad sea mayor. Esto
hace que el sistema se
comporte mas como un sistema
continuo.
Diagrama del Lugar
El factor de amortiguamiento
relativo de un polo en lazo
cerrado se puede determinar de
forma analítica a partir de la
localización del polo en lazo
cerrado en el plano z.
Sabiendo que
Al igual que z=esT
entonces
2
1   nn js




 

2
1  nn jT
ez
Diagrama del Lugar

03/06/2013
16
De lo cual obtenemos
y
A partir de estas ecuaciones se
puede hallar los parámetros de
respuesta de “z”.
Por ejemplo en el caso del periodo
de muestreo igual 0,5seg. tenemos
un polo en lazo cerrado para K=2 y
z=0,4098+j0,6623. Por lo tanto
resolviendo
Tn
ez 
   radTTz dn
1 2
 
7788,06623,04098,0 22
z
7788,0  Tn
ez 
Diagrama del Lugar
Con lo cual
También se halla
Dividiendo ambos resultados
  radTz n 0167,1
4098,0
6623,0
tan1 12






 

25,0Tn
  0167,1
25,0
1 2



n
n
T
T
Diagrama del Lugar

03/06/2013
17
Es decir
Con lo que nos queda
Cabe anotar que esta valor se
puede también obtener de forma
gráfica
2459,0
1 2

 

2388,0
Diagrama del Lugar
La respuesta al escalón de la función de
transferencia de lazo cerrado del diagrama
de bloques del ejemplo es
Usando un valor de Periodo igual a 0,5 seg y
una ganancia de K=2 se obtiene una
respuesta para una entrada escalón unitario
Kzzz
Kz
zG
zG
zR
zC
3935,0)6065,0)(1(
3935,0
)(1
)(
)(
)(




121
1
1
1
6065,08195,01
7870,0
)(
23935,0)6065,0)(1(
23935,0
)(







zzz
z
zR
zzz
z
zC
Diagrama del Lugar

03/06/2013
18
Se obtiene un ángulo de
Para completar un ciclo se halla 360°/58,25°
=6,16 muestras por ciclo de oscilación
amortiguada Con la cual se obtiene la
secuencia c(kT)






 
25,580167,1
4098,0
6623,0
tan 1
radz
T=0.5
G=zpk([0],[1,.6065],[.393
5*2],T)
M= feedback (G,1)
step(M,0:T:15)
figure
stem(0:T:15,
step(M,0:T:15))
grid
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
kT
c(kT)
Diagrama del Lugar
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Diagrama del Lugar
dstep([0 .787 0],[1 -.8195 .6065])
hold on
stem(step(M))
grid

03/06/2013
19
Para periodos de muestreo de 1 y 2 seg las
gráficas son:
T=1;
Gps=tf([1] , [1 1]);
Gpz=c2d(Gps,T,'zoh')
Gdz=tf([2 0],[1 -1],T)
G=series(Gpz,Gdz)
M= feedback (G,1)
step(M,0:T:15)
figure
stem(0:T:15,
step(M,0:T:15))
grid
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kT
c(kT)
360°/85.10°=4,23 muestras por ciclo
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
kT
c(kT)
360°/143,87°=2,5 muestras por ciclo
Diagrama del Lugar
En Simulink
• Comparación Función de
Transferencia Continua y con
función de transferencia ya
discretizada.
Zero-Order
Hold
1
s+1
Transfer Fcn
y2
To Workspace2
y1
To Workspace1
Step
Scope
K
Gain1
K
Gain
First-Order
Hold
z
(z-1)
Discrete
Zero-Pole1
.3935z
(z-1)(z-0.6065)
Discrete
Zero-Pole

03/06/2013
20
De las gráficas se sabe que para un periodo de
muestreo pequeño la secuencia c(kT) en
función de kT dará una imagen precisa de c(t).
Sin embargo si no se utiliza un periodo de
muestreo considerablemente pequeño la función
kT no presentará una solución precisa.
Es importante seleccionar un periodo de muestreo
adecuado basado en el teorema del muestreo y
la dinámica del sistema. Una regla práctica es
de ocho a diez muestras por ciclo de
oscilación amortiguado, si el sistema es
subamortiguado y presenta oscilaciones en la
respuesta.
Diagrama del Lugar
Comportamiento
Estático
Ahora analizando el efecto del
periodo de muestreo sobre la
exactitud en estado permanente.
Por ejemplo para T=0,5 seg la
ganancia K=2. La función de
transferencia de lazo abierto
es
)6065,0)(1(
787,0
)(


zz
z
zG

03/06/2013
21
Con lo cual la constante de error
estática de la velocidad Kv es
Y su error en estado estable en
repuesta a una entrada rampa
unitaria es 25,0
4
11

v
ss
K
e
4
)6065,0)(1(5,0
787,0)1()()1(
lim
1
1








v
z
v
K
zzz
zz
T
zGz
K
Comportamiento
Estático
Secuencia de la respuesta del sistema
a una entrada rampa unitaria, para
T=0,5 seg
Comportamiento
Estático

03/06/2013
22
Para un periodo de T=1 seg se obtiene de
la misma manera la constante de error
estable de la velocidad Kv y error en
estado estable en repuesta a una
entrada rampa unitaria
Y su error en estado estable en repuesta
a una entrada rampa unitaria es
2
)6065,0)(1(5,0
6321,0)1()()1(
lim
1
1








v
z
v
K
zzz
zz
T
zGz
K
5,0
2
11

v
ss
K
e
Comportamiento
Estático
Y por último para un periodo de
T=2seg se obtiene de igual forma la
constante de error estable de la
velocidad Kv y error en estado
estable en repuesta a una entrada
rampa unitaria, respectivamente.
1
1
)6065,0)(1(5,0
8647,0)1()()1(
lim
1
1









ss
v
z
v
e
K
zzz
zz
T
zGz
K
Comportamiento
Estático

03/06/2013
23
Y para T=1 seg y T= 2 seg
respectivamente
Comportamiento
Estático
Conclusión: en los tres casos se observa que
al aumentar el periodo de muestreo la
estabilidad relativa del sistema se ve
afectada de forma adversa.
Es importante recordar que el factor de
amortiguamiento relativo de ζ de los polos
en lazo cerrado del sistema de control
Digital indica la estabilidad relativa solo
si el periodo de muestreo es lo
suficientemente alto. Si no lo es, como son
los casos anteriores, entonces predecir la
estabilidad relativa resultaría erróneo a
partir del factor de amortiguamiento
Comportamiento
Estático

03/06/2013
24
Relación entre las
especificaciones y el
lugar de raíces
• Como ya se ha explicado, la respuesta transitoria
depende de la posición de los polos y los ceros de
la función de transferencia en lazo cerrado y del
periodo de muestreo T. En general, las
características de desempeño estarán especificadas
como la respuesta a una entrada escalón. Los
parámetros utilizados son los mismos que se
utilizaban para caracterizar la respuesta en
régimen transitorio de un sistema continuo, y son:
• El tiempo de retardo td.
• El tiempo de subida tr.
• El tiempo de pico tp.
• El sobreimpulso máximo Mp.
• El tiempo de asentamiento o asentamiento ts.
• Recordando

 
rt


pt
pt
peeMp 









2
1


st

 22
cos2
)( 


ezez
K
zG
Si se posee un sistema con
dos polos complejo
conjugados el sistema se
puede expresar como:
 j
eep 


e
1
 
1p
Relación entre las
especificaciones y
el lugar de raíces

03/06/2013
25
Relación entre
Polos y Respuesta
Transitoria
Al igual que en el caso continuo, la
posición de los polos de un sistema
determinan las características de
su respuesta en transitoria.
Para hallar regiones en el plano z
que garanticen valores de sobre-
impulso, tiempo de asentamiento o
frecuencia natural no amortiguada,
se analiza la forma en como se
transforman las regiones
correspondientes del plano s
• Especificaciones del tiempo de asentamiento ts: para
garantizar un tiempo de asentamiento menor a cierto
valor en un sistema continuo, los polos deben estar
en la región sombreada de la derecha de la figura 1.
En la figura 2 se muestra su contraparte en Z,
obtenida mediante la transformación
Figura 1 Figura 2
Ts
ez 
Relación entre
Polos y Respuesta
Transitoria

03/06/2013
26
• Especificaciones del Sobreimpulso - SP:
para garantizar un sobre pico pequeño
(SP<5%) los polos del sistema continuo,
deben estar en la zona sombreada de la
figura 1. En la figura 2 se observa su
contraparte en Z.
Figura 1 Figura 2
Relación entre
Polos y Respuesta
Transitoria
• Especificaciones de la Frecuencia natural no
amortiguada - wo: cuando se quiere garantizar que
la frecuencia se menor a cierta cantidad, esto
implica que los polos en un sistema de tiempo
continuo están a una distancia del origen, con el
fin de garantizar un tiempo de subida dado como en
la figura 1, se observa además su contraparte en
Z.
Figura 1 Figura 2
Relación entre
Polos y Respuesta
Transitoria

03/06/2013
27
Limitaciones
• Características Hardware: El control digital
incluye muchos componentes que no se encuentran
en los sistemas de control continuos, como son
los convertidores A/D y D/ A, los prefiltros,
etc.
El prefiltro analógico se suele situar entre el
sensor y el convertidor A/D. Su tarea es reducir
el ruido de alta frecuencia en la señal continua
para prevenir el aliasing. En efecto, en los
sistemas continuos, el ruido de alta frecuencia,
estando fuera del alcance del ancho de banda del
sistema, no da respuestas apreciables. En cambio
en los sistemas digitales dicho ruido, por
efecto del aliasing puede convertirse en ruido
de baja frecuencia y dar respuestas
significativas.
Limitaciones
• El ordenador: Es el aparato que hace todos
los cálculos y aplica la ley de control. Su
coste depende de la frecuencia de trabajo y
del tamaño de las palabras de bits usadas.
• Elección de la frecuencia de muestreo: Es el
compromiso de dos factores principalmente: el
costo y la eficacia de control. Bajar la
frecuencia significa dejar más tiempo para
los cálculos de control, poder usar
ordenadores más lentos o poder aplicar leyes
de control más complicadas: en pocas
palabras, el costo por función baja. Por eso
hay que elegir la frecuencia de muestreo
menor posible.

03/06/2013
28
Aproximación Discreta
de los Modos de
Control P, PI y PID
• Existen varios métodos de aproximación para lograr
la discretización de un PID continuo. El más
general consiste en aproximar la integral por el
integral del trapecio y la derivada por el método
de diferencia hacia atrás:
 
               
)()1(
1
1
2
1)()()1(
1
1
2
1)(
obtienesedosolucionan
11
2
1
)(
)(
1
)(
1
1
1
1
1
1
0
zEz
T
T
zT
T
T
T
KzMzEz
T
T
z
z
T
T
KzM
TieiTe
T
T
TieiTe
T
T
kTeKkTm
dt
tde
Tdtte
T
teKtm
d
ii
d
i
d
k
ii
d
t
i







































 Forma Posicional del PID
Integral
trapecio
Derivada hacia
atrás
Al ecuación anterior se puede
escribir también así:
• Si ahora definimos las constantes
como
• Si seguimos solucionando la
ecuación
T
KT
K
T
KT
K
T
T
KK D
D
i
I
i
p 






2
1
z
z
K
z
z
KKzK
z
K
K
zE
zM
DIpD
I
p
1
1
)1(
1)(
)(
obtienesedoReemplazan
1
1





 

)1(
)2()(
)1(
)12()(
)(
)(
)(
2222






zz
KzKKKKKz
zz
zzKzKzzK
zE
zM
zG
DDpDIpDIp
PID
de los Modos de
Control P, PI y PID

03/06/2013
29
• Si ahora definimos las constantes como
que se conoce como forma de velocidad del PID, cuya
ventaja principal es que elimina el problema del
integral windup. El problema principal es que sólo el
término de control integral incluye la entrada R(z),
por lo que este último no se puede excluir del
controlador digital si éste se utiliza en su forma de
velocidad.
  T
T
KKqKKKq
T
T
T
T
KKKKq
d
DT
T
T
T
Dp
d
i
DIp
d
i








2
2
21
0
y1)2(
2
1
)1(
)( 21
2
0



zz
qzqzq
zGPID
            TkeqTkeqkTeqTkmkTm 211 210 
de los Modos de Control
P, PI y PID
Otro método usual es por
aproximación de Operadores
 
)()1(
1
1
1)(
Zrmadaen transfoobtienesedosolucionan
integral)(operadorderivada)(operadorsi
)()(
1
)()(
Laplacedeadatransformaplicando
)(
)(
1
)(
1
1
1s
11
0
1
1
zEz
T
T
zT
T
KzM
s
ssETsE
sT
sEKsM
dt
tde
Tde
T
teKtm
d
i
z
T
T
z
d
i
d
t
i






























 
de los Modos de
Control P, PI y PID

03/06/2013
30
• Continuando
Dicha expresión tiene la misma forma
que la calcula anteriormente en la
que varían q0, q1, q2. Estas
diferencias son pequeñas si: T<<
Td<<Ti en la primera representación.
1
2
2
1
10
1
21
1
1
1)(
)(
1
211
)(
)(
)1(
1
1
1
)(
)(

































z
zqzqq
zE
zM
z
z
T
T
Kz
T
T
K
T
T
T
T
K
zE
zM
z
T
T
zT
T
K
zE
zM
ddd
i
d
i
Aproximación Discreta de
los Modos de Control P,
PI y PID
AJUSTE DE CONTROLADORES
P, PI Y PID: Método de
Ganancia Límite
• Se procede:
1.Eliminar las acciones integral y
derivativa del controlador
2.Colocar una ganancia pequeña, y
empezar a aumentarla hasta que
el sistema oscile, se anota como
(Ku).
3.Se mide el periodo de la
oscilación y se anota como (Tu).

03/06/2013
31
Método Ganancia
Límite
Controlador K Ti Td
P 0.5KU - -
PI 0.45KU 0.83TU -
PID 0.6KU
0.5TU 0.125TU
C(t)
t
Tu
Una vez calculados K, Ti y Td se puede
obtener el algoritmo de control requerido
utilizando las ecuaciones de discretización
de Controladores PID.
Usando este método se obtiene un sistema de
lazo cerrado con coeficiente de
amortiguamiento bajo.
Método de la
Curva de Reacción
• Este método fue propuesto por Ziegler y
Nichols, en donde se aproxima la función
de lazo abierto de la planta a una
función de primer orden de esta forma
𝑮 𝒑 𝒔 =
𝑲 𝒄 𝒆−∝´𝒔
𝝉𝒔+𝟏
donde Kc es la ganancia, τ la
constante de tiempo y el α retardo.
• Los parámetros del controlador se estiman
a partir de una tabla, teniendo en cuenta
que:
∝=∝ ´ + 𝑻
𝟐
Donde T es el periodo de muestreo

03/06/2013
32
Método de la
Curva de Reacción
• El método de Ziegler y Nichols
es aplicable sí 0.1<α´/τ<1
Controlador K Ti Td
P
𝝉
𝑲 𝒄 𝜶
- -
PI
𝟎. 𝟗𝝉
𝑲 𝒄 𝜶
3.33α -
PID
𝟏. 𝟐𝝉
𝑲 𝒄 𝜶
2α 0.5α
Línea tangente
t
C(t)
K
α τ
Ajustes Mediante
Criterios de error Mínimo
• Este método parte con la exigencia de
que el error debe ser mínimo.
• A continuación se presentan algunos
índices de desempeño basados en
integrales del error y utilizados
ampliamente en el diseño de sistemas de
control, todos basados en la ecuación de
primer orden de Ziegler y Nichols.
Control P ICE IAE IAET
𝐾 =
𝑎
𝐾
𝛼
𝜏
𝑏 𝑎 = 1.411 𝑎 = 0.902 𝑎 = 0.94
𝑏 = −0.917 𝑏 = −0.985 𝑏 = −1.084
ICE: Integral de Cuadrado del error
IAE: Integral del Valor Absoluto del error
IAET: Integral del Valor Absoluto del error por tiempo
Ajustes del Controlador P

03/06/2013
33
Ajustes Mediante
Criterios de error Mínimo
Control PI ICE IAE IAET
𝐾 =
𝑎
𝐾
𝛼
𝜏
𝑏 𝑎 = 1.305 𝑎 = 0.984 𝑎 = 0.859
𝑏 = −0.959 𝑏 = −0.986 𝑏 = −0.977
𝑇𝑖 =
𝜏
𝑎
𝛼
𝜏
𝑏 𝑎 = 0.492 𝑎 = 0.608 𝑎 = 0.674
𝑏 = 0.739 𝑏 = 0.707 𝑏 = 0.680
Control PID ICE IAE IAET
𝐾 =
𝑎
𝐾
𝛼
𝜏
𝑏 𝑎 = 1.495 𝑎 = 1.435 𝑎 = 1.357
𝑏 = −0.945 𝑏 = −0.921 𝑏 = −0.947
𝑇𝑖 =
𝜏
𝑎
𝛼
𝜏
𝑏 𝑎 = 1.101 𝑎 = 0.878 𝑎 = 0.842
𝑏 = 0.771 𝑏 = 0.749 𝑏 = 0.738
𝑇𝑑 = 𝑎𝛼
𝛼
𝜏
𝑏 𝑎 = 0.560 𝑎 = 0.482 𝑎 = 0.381
𝑏 = 1.006 𝑏 = 1.137 𝑏 = 0.995
Ajustes del Controlador PI
Ajustes del Controlador PID
DISEÑO DE
CONTROLADORES:
Controladores P
Un regulador proporcional permite seleccionar la posición
de los polos en bucle cerrado del sistema al
desplazarse éstos por las ramas del lugar de raíces.
Para su diseño, los pasos a seguir son:
• Fijar la posición de los polos dominantes del sistema
final. A partir de las especificaciones dinámicas se
pueden acotar las regiones del plano z en las que deben
estar situados los polos dominantes para cumplir las
especificaciones.
• Representar el lugar de raíces con el objetivo de
comprobar si es posible situar las raíces en la región
acotada de las especificaciones usando sólo una acción
proporcional (regulador tipo P).
• En principio debe elegirse el valor de K que,
cumpliendo las especificaciones, lleve al mínimo error
en régimen permanente. Esto se consigue eligiendo el
máximo valor de K que sitúa las raíces en el lugar de
las especificaciones.

03/06/2013
34
Controladores PD
• La función de transferencia del controlador PD es:
donde
De esta expresión se puede deducir que el regulador
PD introduce un polo en el origen y un cero en cd
que está situado entre el origen y el punto (1,
0). Para obtener la posición del cero se utiliza
generalmente el criterio del ángulo. Una vez
fijada ésta, se puede determinar la ganancia
mediante el criterio del módulo. Una vez calculada
la ganancia hay que comprobar que los polos
dominantes del sistema cumplen las
especificaciones.
 
z
cz
KzG d
 1


d
d
d
TT
T
c
Controladores PD
• Matemáticamente también se puede obtener
el PD a partir dela forma posicional del
PID, excluyendo la parte integral
• Nota: El propósito de un compensador PD
es mejorar la respuesta transitoria al
mismo tiempo que mantiene la estabilidad
deseada
     
z
z
KK
z
KKKz
zG
z
KzKzK
z
z
KKzG
DP
D
KK
K
DP
DDP
PD
DDP
DPPD








)(
1
)(

03/06/2013
35
Controladores PI
• El efecto que produce el controlador PI es la
introducción en la función de transferencia en
bucle abierto de un polo en z = 1 y un cero que
en condiciones normales (Ti grande) estará
próximo a ese polo, ya que en el caso de la
aproximación trapezoidal su posición vendrá
dada por:
y función de transferencia
Al introducir un polo en z = 1 aumenta el tipo
del sistema en una unidad, con lo que se mejora
el comportamiento en régimen permanente.
Además, al encontrarse el par polo-cero muy
cercanos entre sí hace que la forma del lugar
de raíces del sistema original sin regulador no
varía demasiado.
 
1


z
cz
KzG i
TT
TT
c
i
i
i



2
2
Controladores PI
• De igual forma se puede obtener el controlador PI
a partir dela forma posicional del PID, excluyendo
la parte derivativa
• Nota: El propósito de un compensador PI es mejorar
la exactitud de estado permanente del sistema sin
degradar la estabilidad.
     
11
)(
11
)(












z
z
KK
z
KKKz
zG
z
zKKzK
z
z
KKzG
IP
I
KK
K
IP
IIP
PI
IPP
IPPI

03/06/2013
36
Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR
Para un sistema cuya
calcular el regulador
Gc(z) más sencillo que cumpla
las siguientes
especificaciones:
• Mp ≤ 20%
• ts ≥ 14 muestras
• ep ≤ 22%
  9.07.0
1
)(


zz
zGp
• Solución: El primer paso es
establecer la región de validez de
las especificaciones. A partir de
las ecuaciones vistas con
anterioridad:
323,07435,0p
sistemadeldominantepoloelobtenerpuedeseresultadoesteCon
º48.2321.0
2.0
15
48,2321.0
1,2 jee
eM
t
j
p
s
















Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR

03/06/2013
37
• Graficando el LGR de Gp(z)
encontramos:
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR
Podemos
comprobar que
no nos vale con
un controlador
P.
El siguiente
paso es probar
con un
controlador PD.
• Para calcular la posición del
cero se hace uso del criterio del
ángulo. De esta forma
y, por tanto, el cero estará en
 









38,23)(tan3
329.82)(tan2
85.115)(tan1801quesabiendo
º6,4112180321
7435.0
32.01
7.07435.0
32.01
7435.09.0
32.01
a
a
a
bnbaaa
38.0
6.41tan
323.0
7435.0 c
c
Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR

03/06/2013
38
El nuevo valor de la ganancia se puede calcular
mediante el método del lugar de raíces,
mediante la herramienta sisotool, o mediante
el criterio de Magnitud. En la siguiente
figura se ve que el nuevo lugar de raíces sí
pasa por los puntos establecidos mediante las
especificaciones, y que la ganancia
proporcional asociada será .
197.0
1281.5
1
0.0035j+5.1281-
1
1
)9.0)(7.0(
)38.0(
323.07435.0





K
zzz
zK
jz
Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR
Gráfica usando sisotool y encontrando el valor de la
ganancia K
Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR

03/06/2013
39
• De esta forma, nos vale con el
regulador PD cuya función de
transferencia en el dominio
digital vendrá dada por:
• La última condición a comprobar
tiene que ver con el error en
estado permanente. Para comprobar
si se cumple utilizamos el
teorema del valor final:
    %22%71.19
071.41
1
071.4lim
1




p
z
p ezGzRK
 
z
z
zR
38.0
197.0


Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR
• Vemos que, efectivamente, el sistema propuesto
cumple con todas las especificaciones impuestas.
Su respuesta a una entrada escalón se muestra en
la siguiente figura:
Ejemplo: diseño de
un regulador
discreto con LGR

03/06/2013
40
En Simulink
• Modelo montado en Simulink
y2
To Workspace2
t
To Workspace
Step
Scope1
k
Gain1
(z-0.38)
z
Discrete
Zero-Pole2
1
(z-.7)(z-0.9)
Discrete
Zero-Pole1
Clock
BIBLIOGRAFÍA
Discreto
Tercera Edición
Primera Edición.
Décima Edición.

03/06/2013
41
CAPÍTULO 2
EN LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
TRANSFORMACIÓN BILINEAL Y EL PLANO w
En vista que la transformada Z transforma
las franjas primarias y complementarias
en el semiplano izquierdo del plano s
al circulo unitario del plano z, los
métodos convencionales de la respuesta
en frecuencia, que se ocupan de la
totalidad del semiplano izquierdo del
plano, no se aplican en el plano Z.
Para resolver este problema es
conveniente transformar la función de
transferencia pulso en el plano Z en la
correspondiente en el plano w.

03/06/2013
42
Una transformada comúnmente llamada
transformada w es decir
una de las transformadas bilineales
tiene la forma.
Donde T es el periodo de muestreo
involucrado en el sistema de
control en tiempo discreto
Su relación inversa sería
w
T
w
T
z
2
1
2
1



1
12



z
z
T
w
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Mediante la transformada Z y la transformada w, la
franja primaria del semiplano izquierdo del plano s
es primero transformada al interior del círculo
unitario en el plano Z y luego transformada a la
totalidad del semiplano izquierdo w.
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA

03/06/2013
43
EJEMPLO: considere la función de
transferencia del sistema de la
figura.
El periodo T se considera igual a
0,1seg.
Obtenga G(w).
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
SOLUCIÓN: la transformada z de G(s)
es
Mediante la transformación bilineal
de w, se obtiene
w
w
w
T
w
T
z
05,01
05,01
2
1
2
1






 
3679.0
6321.0
10
10
)1(
10
101
)(
1





















z
ss
Zz
ss
e
ZzG
Ts
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA

03/06/2013
44
Entonces G(z) es transformada como G(w)
como:
Observe que la localización del polo en la
planta es s=-10 y que el polo en el plano
w es en w=-9,241. el valor de la ganancia
en el plano s es 10 y en el plano w es
9,241.
Sin embargo G(w) tiene un cero w=20, a
pesar de que la planta no tiene ningún
cero.
241,9
46205,0241,9
241,9
05,01
241,9
0684,06321,0
)05,01(6321,0
3679,0
05,01
05,01
6321,0
)(













w
w
w
w
w
w
w
w
wG
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Para este ejemplo en particular
se puede observar que
Este hecho se puede considerar
para verificar cálculos
numéricos de G(s) en G(w)
)(lim)(lim
00
sGwG
sw 

DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA

03/06/2013
45
Observe que el diseño de controladores digitales
basado método de diagrama de Bode utiliza dos
transformaciones bilineales diferentes. Una es la
transformación de G(z) a G(w) con la transformación
bilineal definida por
donde T es el periodo de muestreo
empleado en sistema de control discreto.
Una vez que se tenga la función de transferencia de
la planta G(w), se puede diseñar el controlador
digital Gc(w) en la plano w.
w
T
w
T
z
2
1
2
1



DISEÑO BASADO EN LA
RESPUESTA EN FRECUENCIA-
TRANSFORMADA w MATLAB
La otra transformada usada en el
proceso de diseño es transformar
Gc(w) en Gc(z). La transformación del
plano w en el plano z se efectúa de
la siguiente forma
MATLAB utilizando el comando bilinear
transforma G(w) en G(z) tal que:
Pero no transforma G(z) en G(w)
1
1
2
1
12






z
z
f
z
z
T
w s
 
)1(
12
|)()(



z
zfw s
wGzG

03/06/2013
46
Para este caso hay que hacer una ligera
modificación para lograr la transformación.
Continuando con el ejemplo anterior se tiene:
y la transformación de z y
w esta dada por:
Donde T=0,1 seg.
Como la instrucción bilinear usa:
Haciendo el cambio de variable anterior para
definir a x como-0,05w y tomando a fs =0,5.
3679,0
6321,0
)(


z
zG
w
w
w
T
w
T
z
05,01
05,01
2
1
2
1






1
1
2
1
1
2






x
x
f
z
z
fw ss
Se obtiene
Es similar a la transformación de
G(w) a G(z)
1. Ahora en Matlab sustituir el
valor de z por –z en G(z).
num=[0 0.6321];
den=[-1 -0.3679];
)05,01(
)05,01(
)05,01(
)05,01(
105,0
105,0
w
w
z
w
w
w
w
z









3679,0
6321,0
)(


z
zG

03/06/2013
47
2. Seguido se utiliza el comando
bilinear
%[numx,denx]=bilinear(num,den,fs)
[numx,denx]=bilinear(num,den,0.5)
numx =
-0.4621 -0.4621
denx =
1.0000 -0.4621
4621,0
4621,0621,4
)(



x
x
denx
numx
xG
3. Sustituir x=-0,05w en el numerador y
en el denominador.
%numerador de w =[-0.4621(-0,05w ) -
0.4621]
numw =[-0.4621 -0.4621].*[-0,05 1]
%denominador de w =[1.0000 (-0,05w ) -
0.4621]
denw =[1.0000 -0.4621].*[-0,05 1]
numw =
0.023104759119819 -0.462095182396374
denw =
-0.050000000000000 -0.462095182396374

03/06/2013
48
La expresión que se obtiene es:
Aunque esta expresión es correcta, es
conveniente que le coeficiente del término
de mayor grado w del denominador sea uno.
Se debe multiplicar el numerador y
denominador por -20 para obtener:
numw =[numw]*(-20);denw =[denw ]*(-20)
numw =
-0.4621 9.2419
denw =
1 9.2419
462095,005,0
462095,0023105,0
)(



w
w
wG
2419,9
2419,94621,0
)(



w
w
wG
Con lo cual resulta el siguiente script en
Matlab
% TRANSFORMAR G(z) EN G(w)
num= [0 0.6321];
den=[-1 -0.3679];
[numx,denx]=bilinear(num,den,0.5);
numw =[-0.4621 -0.4621].*[-0.05 1]
denw =[1.0000 -0.4621].*[-0.05 1]
numw=[numw]*-20
denw=[denw]*-20

03/06/2013
49
• EJERCICIO: transformar en
G(w), la función de
transferencia, usando la
transformación bilineal con un
T=0.2 seg.
)1(
1
)(


ss
sG
• SOLUCIÓN: se obtiene primero la
transformada en z para G(s), con un
T=0.2 seg, usando ZOH.
num=[1];
den=[1 1 0];
GZ=c2d(tf(num,den),0.2,'zoh')
8187,08187,1
01752,001873,0
)( 2



zz
z
zG

03/06/2013
50
Continuando y sustituyendo z por -z:
numz=[0 -0.01873 0.01752];
denz=[1 1.819 0.8187];
[numx,denx]=bilinear(numz,denz,0.5);
%multiplicar ahora por los factores de
[(0.1)^2 -0.1 1] de la sustitución de
x=0,1w y por 100 para que el coeficiente
de la potencia mas elevado sea uno
numw=[numx].*[(-0.1)^2 -0.1 1]*100
denw=[denx].*[(-0.1)^2 -0.1 1]*100
Se obtiene:
w
w
w
T
w
T
z
1,01
1,01
2
1
2
1






ww
ww
wG
9966,0
9966,009633,0000333,0
)( 2
2



10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-270
-225
-180
-135
-90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
Magnitude(dB)
TFs
TFw
Diferencia del diagrama de bode en
el plano “s” y el plano “w”
nums=[0 0 1];dens=[1 1 0];
numw=[-0.000333 -0.09633 0.9966];
denw=[1 0.9969 0];
w=logspace(-1,3,1000);
bode(numw,denw,w)
hold
bode(tf(nums,dens),'r',w)

03/06/2013
51
Las Curvas de Magnitud son aproximadas en
el rango de frecuencias 0<w<6rad/seg.
Las curvas de fase son las mismas para el
rango de frecuencias 0<w<0,2rad/seg.
Para el rango de frecuencias
0,2<w<104rad/seg, aparece una diferencia
significativa, debido a que uno es un
sistema de fase mínima y el otro es de
fase no mínima (TF w tiene un cero en 10,
parte derecha del plano complejo w); la
contribución del ángulo del cero en el
semiplano derecho w es negativa (retardo
de fase).
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Es importante notar que puede existir alguna
diferencia en las magnitudes de alta
frecuencia para G(j) y G(jv).
Por ejemplo, si tenemos G(w) como el anterior
ejercicio
La magnitud de alta frecuencia de G(jv) y de
G(jω)se halla como:
0
10
1
10lim)(lim
4621,0
241,9
05,01
241.9lim)(lim











 j
jG
jv
jv
jvG
vv
241,9
05,01
241.9)(



w
w
wG

03/06/2013
52
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
• Algunos comentarios sobre la relación con tests de
respuesta en frecuencia en los sistemas de tiempo
discreto: al efectuar los tets de respuesta en
frecuencia sobre sistema de tiempo discreto, es
importante que el sistema tenga un filtro pasa
bajas antes del muestreador de forma que se
filtren las bandas laterales. En estas condiciones
la respuesta del sistema lineal en invariante en
el tiempo a una entrada sinusoidal preserva la
frecuencia y modifica solo la amplitud y la fase
de la señal de entrada. Así la amplitud y la fase
son las dos únicas cantidades que se deben tratar.
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
DIAGRAMA DE BODE: Los métodos
convencionales de respuesta en frecuencia
se aplican a las funciones de
transferencia en el plano w. Recuerde que
el diagrama de bode utiliza dos gráficas
por separado la magnitud logarítmica de
|G(jv)| en función del logaritmo de v y
el ángulo de fase de G(jv) de la función
del logaritmo de v.
Mediante el uso del diagrama de bode se
puede diseñar un compensador digital o un
controlador digital a través de los
métodos convencionales.

03/06/2013
53
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
VENTAJAS DEL DISEÑO DEL DIAGRAMA DE BODE
1. En el diagrama de BODE la asíntota de baja
frecuencia de la curva de magnitud indica
una de las constantes de error estático Kp,
Kv, Ka.
2. Se pueden traducir las especificaciones de
la respuesta en frecuencia en términos del
margen de fase, margen de ganancia, ancho de
banda, etc.
3. El diseño de un compensador digital (o
controlador digital), para satisfacer la
condiciones dadas (margen de fase y margen
de ganancia), puede llevarse a cabo de forma
sencilla siguiendo los pasos que se haría de
forma continua.
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN:
Compensación de adelanto: este se usa para
mejorar los márgenes de estabilidad (aumenta el
ancho banda es decir, aumenta la velocidad de
respuesta). Sin embargo un sistema con esta
compensación tiene problemas de ruido de alta
frecuencia.
Compensación en atraso: reduce la ganancia del
sistema en frecuencias mas altas (ancho de
banda reducido con lo que disminuye la
velocidad de respuesta, pero mejora la
precisión en estado permanente). Atenúa
cualquier ruido de alta frecuencia.

03/06/2013
54
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
• Forma habitual del controlador
adelanto y atraso.
0
0
)( zz
zz
zz
KwG p
p
c 



Controlador en Adelanto Controlador en Atraso
p
p
c zz
zz
zz
KwG 


 0
0
)(
DISEÑO BASADO EN
LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Compensador atraso-adelanto: con un
compensador de estos se puede incrementar
la ganancia en baja frecuencia (mejora
la precisión en estado permanente), al
mismo tiempo aumenta el ancho de franja y
los márgenes de estabilidad.
Observe que el controlador PID es un caso
especial de un compensador atraso-
adelanto.
El controlador PD se comporta de una manera
similar al compensador de adelanto.
El controlador PI se comporta de una manera
similar al compensador de atraso.

03/06/2013
55
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
• Y para el controlador atraso-adelanto
• Los esquemas anteriores cubren a los
controladores PID, en concreto el
control PD (Adelanto con zp = 0), el
control PI (Atraso con zp = 1) y el
control PID (Atraso-Adelanto con zp1 =
0 , zp2 = -1), para el caso de
discretización Euler hacia atrás.
)(
Atraso
2
02
1
01
 p
Adelanto
p
c
zz
zz
zz
zz
KwG





ESPECIFICACIONES
EN FRECUENCIA
1.ESPECIFICACIONES ESTÁTICAS: Son
las mismas que en el diseño
temporal (con lugar de las
raíces), es decir, errores ante
una perturbación específica.
Para calcularlas se necesita
saber el tipo del sistema y la
ganancia estática. Esta
información se encuentra en la
parte de baja frecuencia del
diagrama de bode.

03/06/2013
56
ESPECIFICACIONES
EN FRECUENCIA
2. ESPECIFICACIONES DINÁMICAS:
• Ancho de banda en lazo cerrado. Es la
frecuencia en la que la magnitud en bucle
cerrado ha bajado 3 dB respecto del valor a
bajas frecuencias (que es siempre cercano a
0 db). Está relacionada con la velocidad de
respuesta: a mayor ancho de banda, mayor
rapidez de respuesta. Esto significa que el
sistema puede seguir con poco error una
señal de referencia que varíe rápidamente.
Se puede decir que si el ancho de banda del
sistema en lazo cerrado es mayor que el
máximo contenido en frecuencias de la señal
de referencia, ésta puede ser seguida por el
sistema con poco error.
ESPECIFICACIONES
EN FRECUENCIA
• Frecuencia de cruce de ganancia. Es la
frecuencia en la que en lazo abierto la
magnitud es 1 (0 db). En esta frecuencia
es donde se mide el margen de fase. No
es una especificación de respuesta, pero
se utiliza de forma explícita en el
diseño, y está relacionada con el tiempo
de establecimiento en lazo cerrado, por
lo que puede ser muy útil para el diseño
de controladores. El tiempo que toma al
sistema de lazo cerrado en alcanzar el
63% de su valor final en respuesta a una
entrada escalón es aproximadamente igual
wc.

03/06/2013
57
ESPECIFICACIONES
EN FRECUENCIA
• Margen de fase. Define la estabilidad relativa
del sistema en lazo cerrado, aunque se mide en
el diagrama de lazo abierto. Está relacionada
también con la sobreoscilación, ya que a menor
margen de fase, menor amortiguamiento, y mayor
sobreoscilación.
• Pico de resonancia. Es el valor del máximo de
la magnitud. Está relacionado con la
sobreoscilación. Cuanta más sobreoscilación,
mayor pico de resonancia y viceversa.
• Frecuencia de resonancia. Es la frecuencia a
la que la magnitud es máxima. Da la misma
información que el ancho de banda (rapidez de
respuesta).
• Margen de ganancia. Define también la
estabilidad relativa
RELACIÓN ENTRE EL
TIEMPO Y LA FRECUENCIA
|Y(jw)|
Y(0)=1

03/06/2013
58
Procedimiento de
Diseño en Plano w
1. Obtenga G(z), la transformada Z de la planta
precedida por el retenedor. A continuación
transforme G(z) en una función de transferencia
de G(w) mediante la transformada bilineal.
)(*
sG D ZOH
 1
1
ss
+ _
Controlado
r
digital
Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
 
 wT
wT
z
2
1
2
1


  
 wT
wT
z
zGwG
2
1
2
1
|)()(




Procedimiento de
Diseño en Plano w
2. Sustituya w por jv y trace el diagrama de BODE
para G(jv)
3. Lea del diagrama de Bode las constantes de
error estático, margen de fase y margen de
ganancia.
4. Suponiendo que la ganancia en baja frecuencia
de la función de transferencia del controlador
digital GD(w) es la unidad, determine la
ganancia del sistema al satisfacer el requisito
para la constante de error estático. A
continuación utilizando técnicas de diseño
convencionales para sistemas de control en
tiempo continuo, determine los polos y ceros de
la función de transferencia del controlador
digital.

03/06/2013
59
Procedimiento de
Diseño en Plano w
5. Transforme la función de
transferencia del controlador GD(w)
en GD(z) mediante la transformación
bilineal por la ecuación
Y esta es la función de transferencia
pulso del controlador
1
12



z
z
T
w
1
12|)()(




z
z
T
w
DD wGzG
Procedimiento de
Diseño en Plano w
EJEMPLO: considere el sistema de control
de la figura. Diseñe un controlador
digital en el plano w de tal forma que
el margen de fase sea 50°, el margen de
ganancia sea de por lo menos 10dB, y la
constante de error de velocidad estática
Kv sea de 2seg-1. Suponga un periodo de
muestreo igual a =0,2seg.
)(*
sG D ZOH+ _
Controlador
digital
Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
 1
1
ss

03/06/2013
60
Procedimiento de
Diseño en Plano w
SOLUCIÓN: Primero obtenemos la función de
transferencia a pulso con la ganancia
del sistema K (producto de la ganancia
del controlador y de la planta)
8187,08187,1
)01752,00187,0(
8187,08187,11
)0175,00187,0(
)8187,01()1(
))2,01()12,0((
)1(
)1(
)1(
)1(
1
)(
221
21
121
112,02,02,0
1
2
1
2,0







































zz
zK
zz
zzK
zz
zzeee
Kz
ss
K
Zz
ss
K
s
e
ZzG
s
Procedimiento de
Diseño en Plano w
A continuación, transformamos la función de
transferencia pulso G(z) en una función de
transferencia G(w) mediante la
transformación bilineal
Entonces:
 
  w
w
wT
wT
z
1,01
1,01
2
1
2
1






)1(
10
1
300
1
)(
9969,0
)9966,009633,0000333,0(
8187,0
1,01
1,01
8187,1
1,01
1,01
)01752,0
1,01
1,01
0187,0(
)(
2
2
2











































ww
ww
K
wG
ww
wwK
w
w
w
w
w
w
K
wG
Sistema de fase no
Mínima debido al cero
en w= 10 presente en
el semiplano derecho

03/06/2013
61
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Probemos con un compensador digital
(compensador de adelanto) GD(w) con
ganancia unitaria y el cual tiene
forma (la mas sencilla).
La función de transferencia de lazo
abierto del sistema compensado es:
10
1
1
)( 


 


w
w
wGD
ww
wwK
w
w
sGwG PD
9969,0
)9966,009633,0000333,0(
1
1
)()( 2
2







Procedimiento de
Diseño en Plano w
La constante de error de velocidad
estática Kv es 2seg-1, entonces:
Definamos K igual a 2, trazamos el
diagrama de BODE de G(w), como:
2)()(lim)(lim
00


KwGwwGssGK D
ws
v
)1(
10
1
300
12
)(
9969,0
)9966,009633,0000333,0(2
)( 2
2


















ww
ww
wG
ww
ww
wG

03/06/2013
62
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
System: sys
Gain Margin (dB): 14.3
At frequency (rad/sec): 3.22
Closed Loop Stable? Yes
Magnitude(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-270
-225
-180
-135
-90
System: sys
Phase Margin (deg): 31.6
Delay Margin (sec): 0.439
Phase(deg)
Procedimiento de
Diseño en Plano w
En matlab se procede de igual manera como se
hace con la función de Transferencia de
lazo Abierto en Laplace
num=[-0.000666 -0.19266 1.9932];
den=[1 .9969 0];
w=logspace(-1,3,100);
Bode(num,den,w)
Procedimiento de
Diseño en Plano w
De la gráfica se obtiene los valores para la
función de transferencia de G(jv):
Margen de Fase = 30°
Margen de ganancia= 14,5dB
El diseño exige un margen de ganancia de por lo
menos 10dB y un margen de fase de 50°, de allí
que el ángulo adicional de adelanto de fase
necesario para satisfacer este requisito es
20°. Un compensador en adelanto debe cumplir
con las especificaciones sin modificar el valor
de K.
Al agregar el compensador modificará la curva de
magnitud del diagrama de bode, de allí que la
frecuencia de cruce se desplazará hacia la
derecha.

03/06/2013
63
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Si se considera un corrimiento de frecuencia de cruce
de ganancia, y suponemos un ángulo de corrimiento φM,
el cual es el máximo ángulo de adelanto de fase.
En vista que:
(Se observa que se han agregado de mas para
compensar el corrimiento de la ganancia, en la
frecuencia de cruce). Entonces para un φm=28°
corresponde un factor de atenuación de α=0,361
Ya determinado esto, el siguiente paso es encontrar la
frecuencia de esquina del compensador.






1
1
)sin( M
1y1
  vv
 2883050 cdm
MfMf
8
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Este se determina mediante la utilización de la
media geométrica ya que allí se encuentra el
ángulo de adelanto de fase máximo vb en la
frecuencia de cruce de ganancia, entonces:
A continuación
Buscamos la magnitud del sistema del punto de
la frecuencia de cruce de ganancia del
sistema no compensado , de allí
que:





1
1
1
1
1
)(
1







bvb
b
b
jv
jv
w
w
jvG
dBdBjvG b
425,46643,1log20
361,0
1
log20)( 10

 )(log20 10 b
jvG

03/06/2013
64
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Para encontrar este punto -4,425
sustituimos w por jv y encontramos la
magnitud de G(jv).
Mediante su desarrollo o directamente de la gráfica de
bode en este punto, encontramos que para un valor de
v=1,7 la magnitud se convierte en alrededor de -4,4dB
dB
vv
vv
jvG 425,4
1
10
1
300
12
log20)(log20
2
22
1010 















Procedimiento de
Diseño en Plano w
Se observa que en el punto de magnitud
igual -4,4dB se encuentra en una
frecuencia de 1,7rad/seg
10
0
10
1
-240
-210
-180
-150
-120
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
System: sys
Magnitude (dB): -4.4
Magnitude(dB)
Bode para las frecuencia de entre 1 y 10 rad/seg

03/06/2013
65
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Si tomamos ahora el valor de la
frecuencia obtenida como la
frecuencia de cruce de ganancia
vc entonces:
Obtenemos:
y
Por lo que el Compensador en
adelanto es:
7,1
1


cv
979,0
361,07,1
1
7,1
1



3534,0361,0979,0 
0,3534w1
0,979w1
1
1
)(






w
w
wGD


Procedimiento de
Diseño en Plano w
• Ahora se procede a graficar y
observar los resultados obtenidos,
para así compararlos con las
especificaciones de diseño
num=[-0.000666 -0.19266
1.9932];den=[1 .9969 0];
G=tf(num,den) %función de transferencia
lazo abierto
q=logspace(-1,3,100);
Gc=tf([.979 1],[.3534 1])% función de
transferencia compensador
GcG=series(Gc,G);%función de
transferencia lazo abierto sistema
bode(G,’b’,GcG,’r’,q)

03/06/2013
66
Procedimiento de
Diseño en Plano w• Resultados de Diagrama de bode de lazo abierto en el
plano w del sistema G, y del controlador + sistema
GcG. Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
90
135
180
225
270
System: GcG
System: G
Phase(deg)
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
System: G
System: GcG
Magnitude(dB)
G
GcG
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Transformando ahora esta
ecuación al plano Z mediante la
transformada Bilineal, se
obtiene
Compensador
1
1)-10(z
1
1
2,0
2
1
12








zz
z
z
z
T
w
 
5589,0
9387,13798,2
3534,01
)0,979(1
)(
1z
1)-10(z
1z
1)-10(z








z
z
zGD

03/06/2013
67
Procedimiento de
Diseño en Plano w
La función de transferencia pulso de lazo
abierto del sistema es entonces
Y la función de transferencia de lazo
cerrado es
4576,08352,13776,2
0679,00108,00891,0
)8187,0)(1(
)9356,0(03746,0
5589,0
9387,13798,2
)(
23
2








zzz
zz
zz
z
z
z
zGD
)3196,07379,0)(3196,07379,0)(8126,0(
)8145,0)(9357,0(081,0
5255,08462,12885,2
0679,00108,00891,0
)(
)(
23
2
jzjzz
zz
zzz
zz
zR
zC






Procedimiento de
Diseño en Plano w
Se observa que la función de transferencia
lazo cerrado del sistema implica 2 ceros
localizados e z=-0,9357 y z=0,8145. Este
cero prácticamente se cancela con un polo
en lazo cerrado que se encuentra e
z=0,8126.
El efecto del otro cero sobre el
transitorio y la respuesta en frecuencia
es pequeño, ya que se encuentra sobre le
eje real negativo del plano z entre 0 y -
1 y está próximo al punto z=-1 de la
círculo unitario.
Con esto el sistema se comporta como si se
tratara de un sistema de segundo grado.

03/06/2013
68
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Respuesta a un escalón unitario
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Con este periodo de muestreo se puede
dibujar la respuesta escalón unitario
en Matlab como sigue con horizontal k:
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];
den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];
x=ones(1,41);
axis([0 40 0 1.6]);
k=0:40;
y=filter(num,den,x);
plot(k,y,'o');
grid
title('Respuesta a un escalón unitario
en función de k');figure
Dstep(num,den)
k muestras(periodo de muestreo igual 0.2)
Respuesta a un escalón unitario en función de k
Time (sec)
Amplitude
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sys
Peak amplitude: 1.19
Overshoot (%): 19.1
At time (sec): 8
System: sys
Settling Time (sec): 17.9
Procedimiento de
Diseño en Plano w
• Se obtendría una gráfica similar si usamos el
comando dstep podemos graficar la misma ecuación
como función de k como eje horizontal y obtener
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];
den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];
k=41;
dstep(num,den)
grid
title('Respuesta a un
escalón unitario en
función de k')

03/06/2013
69
Procedimiento de
Diseño en Plano w
• También podemos graficar la misma
ecuación como función de kT como eje
horizontal y obtener
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kT segundos, con periodo de muestreo de 0.2 seg
Amplitud
Respuesta al escalón Unitario
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];den=[1 -2.2885
1.846 -0.5255];
M=tf(num,den,.2)
kT=0:.2:8;
title('Respuesta a un
escalón unitario en
función de kT‘)
stem(kT,step(M,kT))
Grid
figure
Step(M)
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: M
System: M
Overshoot (%): 19.1
At time (sec): 1.6
Procedimiento de
Diseño en Plano w
num=[0 0.0891 0.0108 -0.0679];
den=[1 -2.2885 1.846 -0.5255];
kT=0:.2:8;
M=tf(num,den,.2)
step(M)
grid
title('Respuesta a un escalón
unitario en función de kT')
Se obtendría una gráfica similar si usamos
el comando step podemos graficar la misma
ecuación como función de kT como eje
horizontal y obtener

03/06/2013
70
Procedimiento de
Diseño en Plano w
Se observa de la gráfica obtenida el
impuso es del 20% y el tiempo de
levantamiento es de aproximadamente
de 0.4seg. También podemos observar
que el número de muestras por ciclo
senoidal es de 15 aproximadamente, lo
que significa que la frecuencia de
muestreo ws es 15 veces la frecuencia
natural amortiguada wd. Por lo tanto
el periodo de muestreo de 0,2seg es
satisfactorio en este sistema.
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
DISEÑO COMPENSADOR EN ATRASO:
1. La función de transferencia de un
compensador en atraso es:
abierto del sistema compensado es,
Determinando la ganancia de KD que
satisfaga el requisito de la
constante de error de velocidad
1
1
1
)( 


 


w
w
KwG DD
(w)G
w
w
G(w)
w
w
KwGwG DD 1
1
1
1
1
)()(











03/06/2013
71
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
2. Si el sistema no compensado G1(w) no
satisface las especificaciones
referentes a los márgenes de fase y
ganancia, entonces encuentre el punto
de frecuencia donde el ángulo de fase
de la función de transferencia de
lazo abierto sea igual -180° mas el
margen de fase requerido. El margen
de fase requerido es el margen de
fase especificado mas una corrección
de entre 5° y 12°. Escoja esta
frecuencia como la nueva frecuencia
de cruce de ganancia.
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
3.Para evitar errores, el polo y
cero del compensador deberán
estar localizados bastante
alejados, debajo de la nueva
frecuencia de cruce de ganancia.
Por lo tanto escoja la frecuencia
de esquina v=1/τ (correspondiente
al cero del compensador) una
decena por debajo de la nueva
frecuencia de cruce de ganancia
wc

03/06/2013
72
RESPUESTA EN
FRECUENCIA
4. Determine la atenuación necesaria para llevar
la curva de magnitud hacia abajo hasta 0dB en
la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Notando que esta atenuación es de -20log(β),
determine le valor de β. Entonces la otra
frecuencia de esquina es (que corresponde al
polo del compensador de atraso) queda
determina por 1/τβ.
Otra forma es trazar una línea de pendiente -
20dB/década por el lugar del cero del atraso y
proyectarla hacia arriba ala izquierda hasta
que corte la asíntota de baja frecuencia. Esta
intersección determina el polo del compensador
por atraso.
5. Una vez diseñado el compensador de atraso en
el plano w, deberá transformarse al plano z
BIBLIOGRAFÍA
Discreto
Tercera Edición
Primera Edición.
Décima Edición.

03/06/2013
73
CAPÍTULO 3
MÉTODOS DE DISEÑO
INDIRECTO, DE CONTINUO A
DISCRETO - LGR
DISEÑO INDIRECTO
• En esta parte se desarrollará el diseño de
controladores a partir del Lugar de la Raíces
y Diagramas de Bode en el tiempo continuo y
luego se procederá a analizar los mapeos del
dominio s al dominio del plano z.
Todas las técnicas desarrolladas para compensar
sistemas continuos pueden ser aplicadas a
sistemas de datos muestreados. Se tendrán que
hacer algunas modificaciones en ciertos casos,
pero en general las técnicas son las mismas
Nota: La retención de orden cero está presente
en el sistema de datos muestreados, pero no el
sistema continuo. Se debe tener en cuenta de
incluir el efecto del convertidor digital a
analógico (DAC) diseñado con los retenedores.

03/06/2013
74
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
Estos método se basa en diseñar el
controlador o el compensador en el
dominio del Plano s, utilizando los
métodos de diseño clásicos o modernos
para los controladores o compensadores.
Luego de tener dicho controlador o
compensador diseñado en el plano complejo
s, se procede a mapearlo en el plano z
con cualquier método de discretización ya
vistos, como por ejemplo la transformada
Bilineal, ZOH, etc.
• La forma mas fácil de entender este tipo
de diseño es resolviendo un ejercicio.
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
Ejemplo: Considere el sistema de datos
muestreados de la figura
Se desea diseñar un compensador que
satisfaga las especificaciones:
Tiempo pico ≤ 1.5seg
Máximo pico≤20%
Factor de amortiguamiento≤0.7
)(*
sG c ZOH
 1
1
ss
+_
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
R(s) C(s)E(s)
E*(s)

03/06/2013
75
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Diagrama de bloques en el plano s
La frecuencia natural amortiguada y la
atenuación se obtiene con valores de
tiempo pico de 1.5 y usando un valor muy
inferior a 20% de sobre impulso, por
ejemplo 4% para cumplir con un
R(s)
)(sGc+_ Gp(s)
C(s)
209.2
5.1



p
d
t
7.0
%6.4046.0
22
7.01
7.0
1
 


 


eeMp
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
De lo anterior obtenemos los polos
dominantes deseados del sistema, con
valor igual a
El compensador a utilizar debe ser en
adelanto para satisfacer las
condiciones señaladas con una función
de transferencia igual a:
22 jjs d  
p
c
cccc
ss
ss
K
s
s
K
s
s
KsG














1
1
1
1
)(
2049.2
2218.3
2
218.3)04.0ln()ln(










d
Mp

03/06/2013
76
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
1
O
P=-
2+j2
AB -
1
jw
σ
23 
De acuerdo a la condición de fase tenemos
Si ahora elegimos el cero del compensador en el
punto -2 tenemos entonces las contribuciones de
los dos polos del sistema y del cero del
compensador, con lo cual:
180321  
   


 
435.18
270565.116135
18090tan180tan180
3
3
31
21
2
21



DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Teniendo ya el ángulo de
contribución al LGR del sistema,
del polo del compensador, se
procede hallar la posición de
polo del compensador, de la
siguiente manera:
• El compensador hasta ahora
tendría la forma
 
8
43.18tan
2
2 B
8
2
)(



s
s
KsG cc

03/06/2013
77
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Para obtener la ganancia del
sistema en el polo deseado se
obtiene de condición de
magnitud en el punto deseado:
• De allí que el compensador en
adelanto sea
20
2
81
22
 








s
sss
js
cK
8
2
20)(



s
s
sGc
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• El siguiente paso es la elección del
periodo de muestreo; utilizando los
criterios empíricos de selección de
periodo de muestreo o utilizando la regla
empírica de las diez muestras por ciclo
de oscilación senoidal el cual está dado
por la frecuencia natural amortiguada wd
de 2rad/seg.
Utilizando los siguientes dos criterios
obtenemos que:
seg31416.0
20
2
T
rad/seg2010
s 


 ds
Hz
BWs
10f
0.1segseg12.0
844.50
2
T
rad/seg844.502711.14040
s
s






03/06/2013
78
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Terminada la selección del periodo de
muestreo (Ts=0.1) se mapea el compensador
en el plano z hallado, utilizando la
transformación bilineal de Tustin. Con lo
cual se obtiene:
• También debe obtenerse la función de la
planta discretizada por el retenedor de
orden cero, resultando:
 
4286.0
8182.071.15
8
2
20)(
1
1
102 







 z
z
s
s
zG
z
z
s
c
  9048.01
)9672.0(004837.0
)1()1(
))1,01()11,0((
)1(
)1(
1
)1(
)1(
11
)(
11,021
111,01,01,0
1
2
1
2,0

































zz
z
zez
zzeee
z
ss
Zz
sss
e
ZzG
s
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Se procede a continuación la
obtención de la función de
transferencia de lazo abierto y
cerrado del sistema compensado,
para analizar sus respectivos
resultados tanto en s como en z:
8)+4s+(s5)+(s
2)+(s20
)(
)(
8)+(s1)+(ss
2)+(s20
2


sR
sC
(s)(s)GG pc
 
).z) (z.(z-
).) (z.(z-.
zR
zC
z).) (z-.(z-
).) (z-.(z.
(z)(z)ZOHGG pc
67340592.166520
96720818200706230
)(
)(
14286090480
81820967200759890
2







03/06/2013
79
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Se observa el lugar de las raíces del
sistema sin compensar (azul) y el sistema
compensado (verde), dominio s.Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-15
-10
-5
0
5
10
15
0.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
2
4
6
8
10
12
14
2
4
6
8
10
12
14
System: g3
Gain: 1.01
Pole: -2.01 + 2.02i
Damping: 0.704
Overshoot (%): 4.43
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Vale la pena señalar que las ubicaciones reales
de los polos de lazo cerrado NO son las que
resultan del mapeo s=-2±j2 en el plano z=esT. Con
el mapeo z=esT los polos de lazo cerrado
dominantes estarían en:
La razón de esto es que el compensador inicialmente
fue diseñado en el plano s ignorando los efectos
del retenedor de orden cero, y luego transferido
al plano z con un mapeo diferente, el mapeo
bilineal.
Los polos dominantes en el plano s están el línea
de relación de amortiguación constante en 0.7 en
s=-2±j2 .
 
1627.08024.01.022
jez j
 

03/06/2013
80
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
Pero los polos dominantes reales del sistema
(0.796±j0.1995) en el plano z están sobre la
línea del factor de amortiguamiento en 0.6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T
0.5/T
0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T
0.5/T
0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
System: Gz
Gain: 0.982
Pole: 0.8 - 0.196i
Damping: 0.629
Overshoot (%): 7.88
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• La respuesta escalón unitaria del sistema continuo
controlado por un compensador digital, casi
satisfaces las especificaciones establecidas. Por
lo tanto que no es muy perjudicial ignorar los
efectos del ZOH, por lo menos en este ejemplo.
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: Mzc
Overshoot (%): 23.1
At time (sec): 1
System: Msc
Overshoot (%): 16.4
At time (sec): 1.06
Ms
Msc
Mz
Mzc

03/06/2013
81
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Ahora se volverá a diseñar el compensador
teniendo en cuenta la contribución del
ángulo del ZOH mas no la contribución de la
magnitud, ya que ocasionaría que el sistema
se comporte oscilatorio al variar la
ganancia del sistema
   


 
 
5.12
27091.5565.116135
18090tan180tan180
3
3
22
1
31
21
2
21 2.02.0


 j
ee j
180321  ZOH
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Teniendo ya el ángulo de
contribución al LGR del sistema,
del polo del compensador, se
procede hallar la posición de
polo del compensador, de la
siguiente manera:
• El compensador hasta ahora
tendría la forma
 
11
5.12tan
2
2 b
11
2
)(



s
s
KsG cc

03/06/2013
82
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Para obtener la ganancia del sistema
en el polo deseado se obtiene de
condición de magnitud en el punto
deseado:
• De allí que el compensador en
adelanto sea
El cual es ligeramente diferente al
hallando anteriormente sin tener en
cuenta la contribución del ZOH.
292.29
2
111
22
 








s
sss
js
cK
11
2
29)(



s
s
sGc
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Terminada la selección del periodo de
muestreo (Ts=0.1) se mapea el
compensador en el plano z hallado,
utilizando la transformación bilineal
de Tustin. Con lo cual se obtiene:
• La función de la planta discretizada
por el retenedor de orden cero,
anteriormente hallada:
 
2903.0
8182.058.20
11
2
29)(
1
1
102 







 z
z
s
s
zG
z
z
s
c
  9048.01
)9672.0(004837.0
)(



zz
z
zG

03/06/2013
83
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Se procede a continuación la
obtención de la función de
transferencia de lazo abierto y
cerrado del sistema compensado,
para analizar sus respectivos
resultados tanto en s como en z:
7.395)+4.157s+(s7.843)+(s
2)+(s29
)(
)(
11)+(s1)+(ss
2)+(s29
2


sR
sC
(s)(s)GG pc
).z +.-) (z.(z-
).) (z-.(z+.
zR
zC
)) (z-.) (z-.(z-
).) (z+.(z-.
(z)(z)ZOHGG pc
63460557153810
81820967200995570
)(
)(
19048029030
96720818200995570
2


DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
Se observa el lugar de las raíces del sistema
sin compensar (línea derecha) y el sistema
compensado (parte Izq), dominio s.Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0.060.120.20.280.38
0.52
0.68
0.88
0.060.120.20.280.38
0.52
0.68
0.88
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
System: M1
Gain: 0.969
Pole: -2.01 + 1.73i
Damping: 0.758
Overshoot (%): 2.61

03/06/2013
84
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Se observa el lugar de las raíces del sistema sin
compensar (azul) y el sistema compensado (verde),
dominio z.
Root Locus
Real A xis
-2 -1 0 1 2
System: GzGcz
Gain: 1.01
Pole: 0.778 + 0.171i
Damping: 0.724
Overshoot (%): 3.68
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T0.5/T0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
0.1/T
0.2/T
0.3/T
0.4/T0.5/T0.6/T
0.7/T
0.8/T
0.9/T
/T
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Gz
GzGcz
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• De la ecuación en lazo cerrado en
el plano z se puede obtener los
polos dominantes del sistema y
compararlos con los polo deseados
con un factor de amortiguamiento
que se puede obtener de la figura
del LGR en el plano z.
 
sistemadelpolos1689.07785.0
deseadospolos1627.08024.01.022
jz
jez j

 

03/06/2013
85
DISEÑO INDIRECTO
- Diseño LGR
• La relación de amortiguación de los polos
dominantes mejoró, lo mismo que el desempeño, se
observa además que el impacto del ZOH depende de la
frecuencia de muestreo, mientras mas alta es la
frecuencia menor es el impacto.
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: Mzc
Overshoot (%): 18.8
At time (sec): 0.9
System: Mz
Overshoot (%): 18.4
At time (sec): 3.6
Mz
Mzc
BIBLIOGRAFÍA
Discreto
Tercera Edición
Primera Edición.
Décima Edición.

03/06/2013
86
CAPÍTULO 4
MÉTODOS DE DISEÑO INDIRECTO,
DE CONTINUO A DISCRETO - BODE
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
• Otro método para diseñar un compensador
digital en el dominio s es el método de
bode. Al diseñar compensadores que
finalmente serán transferidos al plano
z, el método de Bode tiene ventajas, ya
que proporciona un medio para
seleccionar una taza de muestreo
adecuada y por la facilidad con que
considera el efecto del ZOH.
• La contribución a la fase negativa de la
retención de Grado cero a la frecuencia
de cruce donde se mide el margen de fase
es:
crucedefrecuencialaesdonde
22
c
c
ZOH
TT


 

03/06/2013
87
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
EJEMPLO: considere el sistema de la figura.
Se quiere diseñar un compensador para el
sistema de tipo 1, de modo que la
constante de error estático de velocidad
Kv sea de 20seg-1 , margen de fase sea al
menos de 50° y el margen de ganancia sea
al menos 10 decibelios.
)(*
sG D ZOH
)2(
4
ss
+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
δ(t)
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
SOLUCIÓN EN S
USAREMOS UN COMPESADOR DE ADELANTO,
con la forma anteriormente descrita
Sistema compensado
T
s
T
s
K
Ts
Ts
KsG ccc



1
1
1
1
)(






+ _
C(s)R(s)
)2(
4
ss
T
s
T
s
KsG cc

1
1
)(




03/06/2013
88
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
El sistema compensado se define
Lo primero a encontrar es la ganancia K, de
acuerdo a las especificaciones de diseño del
comportamiento estacionario o de acuerdo al
error de velocidad en estado estacionario.
Como la constante de error de velocidad
requerido es 20 seg-1, y el sistema posee un
error de velocidad estático de 2 seg-1
entonces:
)2(
4
)()(con)(
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)()(
11











ss
K
sKGsGsG
Ts
Ts
sG
Ts
Ts
KsG
Ts
Ts
KsGsG cc



DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
Hallando
De allí que
Produciendo el diagrama de Bode del
G1(jw) en Matlab, obtenemos
 
10202
2
4
lim
)(
1
1
lim)()(lim
0
1
00








KK
ss
K
s
sG
Ts
Ts
ssGssGK
s
s
c
s
v

)2(
40
)(1


ss
sG

03/06/2013
89
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
Grafica de BODE de G1(s)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Magnitude(dB)
10
-1
10
0
10
1
-180
-135
-90
System: sys
Phase Margin (deg): 18
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
De la gráfica se observa el margen de fase de 18° y
el margen de ganancia es +∞.
Las especificaciones buscan un MFd de 50°, el
adelanto de fase adicional necesario para
satisfacer el requisito es de 32°.
Tomando en cuenta que la adición de un compensador
de adelanto modifica la curva de magnitud del
diagrama de Bode, la frecuencia de cruce de
ganancia se moverá a la derecha.
Debemos compensar el atraso de fase incrementado de
G1(jw), debido a este incremento en la frecuencia
de cruce de ganancia. Considerando el cambio de
la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que
φm , adelanto de fase máximo requerido, es de
aproximadamente 38°. (Esto significa que se han
agregado 6° para compensar el cambio en la
frecuencia de cruce de ganancia.)

03/06/2013
90
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
De la anterior corrección podemos hallar
el valor de α de acuerdo a la
expresión:
Donde φm es 38°; con este valor se
obtiene un α=0,2379
Luego de haber obtenido la atenuación a
partir del ángulo de fase requerido,
procedemos a obtener las frecuencia de
cruce de ganancia como:






1
1
)sin( m
T
wb

1

DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
La cantidad de la modificación en la curva de
magnitud en debido a la inclusión
del término es:
Observe que la magnitud en el punto de la
frecuencia de cruce de ganancia es entonces:
T
wb

1

1
1


Ts
Ts


















 
1
1
1
1
1
1
1
)(
1
Tj
Tj
Tjw
Tjw
jwG
Tbwb
b
b
dBjwG b
2,6
24,0
1
log20
1
log20)( 1010















03/06/2013
91
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
Buscamos ahora el punto de frecuencia, al añadir el
compensador, donde la magnitud total es de 0dB.
Buscamos en la gráfica de bode de G1(s) el rango de
valores en donde se encuentra la magnitud de -
6,2dB. Esta ganancia ocurren en el rango de
frecuencias de 1 y 10 rad/seg. Graficando bode de
G1(s) en este rango obtenemos:
-10
0
10
20
30
Magnitude(dB)
System: sys
Magnitude (dB): -6.16
10
0
10
1
-180
-150
-120
-90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
La ganancia ocurre en la frecuencia
de w=9rad/seg. Seleccionamos esta
frecuencia para que se a nueva
frecuencia de la ganancia de cruce
o wb=9 rad/seg. A este frecuencia
corresponde a:
Y también:
409,424,099
1
9
1
 
 TT
wb
371,18
24,0
991

T

03/06/2013
92
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
El compensador en adelanto así
determinado es
Donde Kc se determina como:
De allí que el compensador sea:
10544,0
1227,0
371,18
409,4
)(






s
s
K
s
s
KsG ccc 
667,41
24,0
10



K
KKK cc
371,18
409,4
667,41
371,18
409,4
)(






s
s
s
s
KsG cc
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
La función de transferencia de lazo abierto
del sistema compensado es:
El diagrama de Bode del sistema compensado
es
sss
s
sss
s
sGsGc
742,36371,20
839,734668,166
)2(
4
371,18
409,4
667,41)()( 23






-100
-50
0
50
Magnitude(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-135
-90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)

03/06/2013
93
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
La respuesta al escalón unitario:
cerrado del sistema original es
cerrado del sistema compensado es
42
4
)(
)(
2
1
1


sssR
sC
839,73441,203371,20
839,734668,166
)(
)(
23
2
2



sss
s
sR
sC
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODERespuesta del Sistema a una Entrada Escalón
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: M
System: M
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 1.8
System: M
Overshoot (%): 21.7
At time (sec): 0.327
System: M
System: M
Rise Time (sec): 0.135
System: M
Rise Time (sec): 0.822
Sistema sin compensar
Sistema Compensado

03/06/2013
94
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
El siguiente paso es la elección del
periodo de muestreo; utilizando los
criterios empíricos de selección de
periodo de muestreo o utilizando la
regla empírica de las diez muestras por
ciclo de oscilación sinusoidal, donde
wd=2rad/seg.
Utilizando los siguientes los criterios
del tiempo de establecimiento y ancho de
banda en lazo cerrado obtenemos que:
seg31416.0
20
2
T
rad/seg2010
s 


 ds
Hz
rBWs
5.12f
seg08.0
26.76
2
T
ad/seg26.76542.23030
s
s





DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
• Terminada la selección del periodo de muestreo
(Ts=0.08) se mapea el compensador en el plano z
hallado, utilizando la transformación bilineal de
Tustin. Con lo cual se obtiene:
• También debe obtenerse la función de la planta
discretizada por el retenedor de orden cero,
resultando:
 
1528.0
7002.02536.28
371.18
409.4
667.41)(
1
1
5.122 







 z
z
s
s
zG
z
z
s
c























 

)8521.0829.1(
)948.0(0121.0
)8521.0829.1(
)01149.00121.0(
)2(
4
)1(
)2(
41
)(
22
2
1
08,0
zz
z
zz
z
ss
Zz
sss
e
ZzG
s

03/06/2013
95
DISEÑO INDIRECTO
Diseño LGR
• Se procede a continuación la obtención de
la función de transferencia de lazo
abierto y cerrado del sistema compensado,
para analizar sus respectivos resultados
tanto en s como en z:
113.4)+13.89s+(s6.48)+(s
4.409)+(s166.668
)(
)(
2)+(s18.31)+(ss
4.409)+(s166.668
2


sR
sC
(s)(s)GG pc
)z) (z.(z-
)) (z(z.
zR
zC
)z) (z.(z-
)) (z(z.
(z)(z)ZOHGG pc
5909.0034.16050
7002.0948.0342380
)(
)(
8521.0829.115280
7002.0948.0342380
2
2






DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
Respuesta del sistema en SStep Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: M
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 1.8
System: Mts
Overshoot (%): 21.7
At time (sec): 0.327
System: Mts
System: M
M
Mts

03/06/2013
96
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
Respuesta del sistema en ZStep Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
System: Mtz
Overshoot (%): 56.2
At time (sec): 0.32
System: Mz
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 1.84
System: Mz
System: Mtz
Mtz
Mz
DISEÑO INDIRECTO
Diseño BODE
Aunque no se tuvo en cuenta el
contribución del retenedor de orden cero
sabiendo que sus efectos son mínimos, se
observa que el sistema responde conforme
se le añade le compensador señalado.
Hay que tener en cuenta que para observar
las características indicadas de la
respuesta en frecuencia se debe
desarrollar la transformada en el plano
w, aunque existe una analogía entre la
respuesta en frecuencia con la respuesta
en el tiempo observa da en la gráfica,
expuesta anteriormente.

03/06/2013
97
BIBLIOGRAFÍA
Discreto
Tercera Edición
Primera Edición.
Décima Edición.
EJERCICIOS

Unidad 4 control2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Destacado

Destacado (17)

Similar a Unidad 4 control2

Similar a Unidad 4 control2 (20)

Último

Último (20)

Unidad 4 control2