DWQD

1. R(s)
C(s)
+
-
El sistema debe ser compensado para cumplir con un ts ≤1s.
, Mp≤10% y Kv≥10
Compensador adelanto-atraso de fase
Para el siguiente diagrama:
10
( 6)(S 10)
s s  

2. 2
1
4
1 4;
0.1 0.59 =53.48
s n
n
P
SOLUCION
t
e
M




 


   
  

3. ( ) 6 10 180º
( ) 126.51 69.83 42.10 180º
( ) 58.41º
Gc s s s s
Gc s
Gc s
          
     
 

4. Se ubica el cero del compensador (1/T) justo debajo de la ubicación
deseada PD, así, el ángulo del cero (1/T) es de 90º.
Calculamos el ángulo del polo de la relación:
1/T=-4 1/αT=-12.87
58.41

6. 4 3 2
10 4
D.L.R de: 60.76
( 6)(S 10) 12.87
28.87 265.92 1322.96 2403.04 0
polos de lazo cerrado
-17.5838 + 0.0000i
-3.9737 + 5.31i
-3.9737 - 5.31i
-3.3389 + 0.0000i(Dominante)
S
Trazamos x
s s S
S S S S
Los

  
    

7. Para corregir el diseño probamos una nueva ubicación del cero (1/T),
vamos a proponer que esté en un sitio tal que αz=70º

8. A continuación se presenta el LGR del sistema con este nuevo
compensador en adelanto, donde se puede observar la ubicación
Deseado es el polo dominante

9. Ahora verificamos la condición de error calculando el Kv del
sistema compensado:
El cual es menor que 10, nos piden Kv≥10 hay que añadir un
compensador en atraso, por lo cual se estaría diseñando una
red adelanto-atraso.
10
2.06
4.84
Vrequerido
Vsistema
K
K
   

11. 1.4 CONTROLADOR PID
   
 
2 2 1 1
0 4 2
3 1 2 2
1 1 2 2
4 1 1 2 2
3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
. . 1 . . . 1
( ) .
( ) .
( ) . . .
. . .
( . . ) 1
( ) (1 )
. ( . . ) ( . . )
1
( ) (1 )
c
i
c
i
c p d p d
i
R C S R C S
V s R R
G s
V s R R R C S
R C R C S
R R C R C
G s
R R C R C R C S R C R C
K
G s K T S K K S
T S S
 
 

  
 
     

12. Ejemplo
Se tiene:
Donde:
Diseñar controlador PID,Se impone al sistema unas
especificaciones de respuesta temporal transitoria de:
ts = 1 segundo y Mp = 10%.

13. Para cumplir dichas especificaciones primero calculamos
controlador PD:
ρωn =4 y
Para lograr que el punto -4±5.458×j pertenezca al LGR. se añade
un control proporcional derivativo (PD), introduciendo el cero del
control en una posición desde la cual sea capaz de atraer las ramas
del LGR. hacia la izquierda, de manera que el punto -4±5.458× j
pertenezca al LGR. F.T. del controlador PD será:
Gc(s)=k×(1+Td×s)=kd(s+a)

14. Para fijar la posición del cero se impone la condición de
ángulo
Pto deseado
0

15. Calculamos el valor de la ganancia kd en dicho punto. Para ello se
aplica la condición de módulo
Se tiene:
Gc(s)=kd(s+a)=0.0609(s+11.136)
Gc(s)=kd(s+a)=0.6774(1+S/11.136)

16. CALCULO DEL CONTROLADOR PI
PUNTO DESEADO
SELECIONAMOS EL CERO EN S= -0.1
ANGULO =0.69°
53.76
54.45
( 0.1)
( )
1
( 0.1)
( )
c
p
c
Kp S
G s
S
K
S
G s
S






17.    
 
 
1 1 2 2
4 1 1 2 2
3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4 1 1 2 2
1 1 2 2
3 1 2
1 1 2 2
1 1
11.136 . 0.1
( ) 0.0609
1
( ) 0.6842(1 0.089 )
9.89
. . .
( . . ) 1
( ) (1 )
. ( . . ) ( . . )
( . . )
0.6842 ;9.89 ( . . )
.
. .
0.089
( .
c
c
c
S S
G s
S
G s S
S
R C R C S
R R C R C
G s
R R C R C R C S R C R C
R R C R C
R C R C
R R C
R C R C
R C
 

  

  
 

  

 2 2
;
. )
R C

18. 1 2
1 2
9
1 2
1 2
4 1
3 1 2
3
4
C 10
989 K
8.8021 10
de las dos ecuaciones anteriores
890 y 99
890
0.6842 0.6842 0.6157
( ) 989
Tomando R 1
R 0.6842
Tomando C uF
R R
R R X
R K R K
R R K
R R R K
K
K
 
  

   

  
 
 
 

19. Diseño Controlador PID para regular Velocidad
del Motor de CC
 Un actuador mecánico muy difundido es el motor de CC. Provee directamente
movimiento rotacional y, adecuadamente acondicionado, movimiento traslacional.
El circuito eléctrico de armadura y el diagrama mecánico rotacional, se muestran en la figura:

20. Requerimientos de Diseño

El motor sin controlador puede rotar solamente a 0,1rad/s
con una entrada de 1 Volt(ver simulación de la planta ).
Uno de los requerimientos es que en estado estacionario
presente un error respecto de la velocidad deseada menor
que el 1%. Dinámicamente se espera un tiempo de
establecimiento de 2 seg y un sobrepaso menor que el
5% para evitar daños en la máquina. Es decir :
Los requerimientos de diseño:
· tiempo de establecimiento de 2 seg
· sobrepaso menor que el 5%
· Error de estado estacionario 1%

21. Para el ejemplo se consideran los siguientes parámetros:
 * momento de inercia del sistema (J) = 0.01 kg.m^2/s^2
 * coeficiente de friccion (B) = 0.1 Nms
 * constante de fuerza electromotriz (K=Km=Kb) = 0.01 Nm/Amp
 * resistencia de armadura (R) = 1 ohm
 * inductancia de armadura (L) = 0.5 H
 * entrada (V): Fuente de Tensión
 * posición del eje: θ
 * Se supone rotor y eje rígido

22. el esquema del sistema se ve:
Incluyendo controlador
Utilizaremos MATLAB para determinar
parámetros de controlador PID para
cumplir con las especificaciones

23. la función transferencia a lazo abierto del Motor de CC
2
2 2
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
m
a m b
m b
a
a
k
s
V s Js b Ls R k k
k k
W s k
V s Js b Ls R k
W s k
V s JLs RJ bL s bR k



  


  

   

24. J=0.01;
b=0.1;
K=0.01;
R=1;
L=0.5;
num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
step(num,den,0:0.1:3);grid
Title('Respuesta al escalón')
Programa para hallar respuesta al escalon del sistema original

26. De la figura se observa que se obtiene una salida 10 veces
más chica que la deseada (0,1 rad/s) y 3 seg de
establecimiento, sin cumplir las especificaciones

27. Control Proporcional
Probemos primero un control Proporcional con ganancia
100 . Para ello hay que agregar los siguientes comandos
al final del archivo anterior

28. J=0.01;
b=0.1;
K=0.01;
R=1;
L=0.5;
num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
Kp=100;
numa=Kp*num;
dena=den;
[numac,denac]=cloop(numa,dena);
t=0:0.01:5;
step(numac,denac,t);grid
title( 'Respuesta al escalón con Control Proporcional')

30. De la figura de arriba vemos que tanto el error de estado estacionario y el
sobrepico son muy grandes

31. Recordemos del PID que incorporando un término integral se eliminará el
error de estado estacionario y un término derivativo reducirá el sobrepico.
un controlador PID con Ki y Kd pequeños.
Recordemos que la función de transferencia para un
controlador PID es:

32.  J=0.01;
 b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5;
 num=K;
 den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
 Kp=100;
 Ki=1;
 Kd=1;
 numc=[Kd Kp Ki];
 denc=[0 1 0];
 numa=conv(num,numc);
 dena=conv(den,denc);
 [numac,denac]=cloop(numa,dena);
 step(numac,denac);grid
 title('Control PID con pequeño Ki and Kd')

34. Sigue teniendo error en estado estacionario y sobreimpulso

35.  J=0.01;
 b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5;
 num=K;
 den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
 Kp=100;
 Ki=200;
 Kd=1;
 numc=[Kd Kp Ki];
 denc=[0 1 0];
 numa=conv(num,numc);
 dena=conv(den,denc);
 [numac,denac]=cloop(numa,dena);
 step(numac,denac);grid
 title('Control PID con pequeño Kd y grande Ki')

36. Ahora vemos que la respuesta es mucho más rápida que antes, pero
el Ki grande ha empeorado la respuesta transitoria (gran sobrepico).
Incrementemos Kd para reducir el sobrepico. Vuelva al archivo-m y
cambie Kd a 10

37. J=0.01;
b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5;
num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
Kp=100;
Ki=200;
Kd=10;
numc=[Kd Kp Ki];
denc=[0 1 0];
numa=conv(num,numc);
dena=conv(den,denc);
[numac,denac]=cloop(numa,dena);
step(numac,denac);grid
title('Control PID con pequeño Kd=10 y grande Ki')

39. Entonces sabemos que si usamos un controlador PID con
Kp=100,
Ki=200,
Kd=10,
todos nuestros requerimientos de diseño serán satisfechos.

40. · tiempo de establecimiento de 2 seg
· sobrepaso menor que el 5%
· Error de estado estacionario 1%