2. Contents
0.1 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Solución de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.3 Eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.4 Normas de vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1 Sistemas lineales
0.1.1 Solución de una ecuación
Una ecuación sobre R, es una expresión de la forma
a1x1 + a2x2 + + anxn = b; (1)
donde ai; b 2 R y los xi son indeterminados (o lo que es lo mismo, incógnitas o
variables). Los escalares ai son los coe…cientes de los xi respectivamente, y b es
el término constante. Un conjunto de valores de las incógnitas, por ejemplo
x1 = k1; x2 = k2; ; xn = kn;
se dice que es una solución de (1) si la proposición que se obtiene sustituyendo
ki por xi;
a1k1 + a2k2 + + ankn = b;
es verdadera. Se dice entonces que este conjunto de valores satisface la ecuación.
Si no hay ambigüedad de la posición de las incógnitas en la ecuación, denotare-
mos esta solución simplemente por la n-upla
u = (k1; k2; ; kn)
T
:
Ejemplo Dada la ecuación x + 2y 5z + 3w = 4:
La 4-tupla (2; 1; 0; 0)
T
es una solución de la ecuación, pues
2 + 2 1 5 0 + 3 0 = 4 ó 4 = 4
es una proposición verdadera. Además la 4-tupla (1; 1; 1; 1)
T
no es una
solución de la ecuación, pues
1 + 2 1 5 1 + 3 1 = 4 ó 1 = 4
es una proposición falsa.
1
3. 0.1.2 Sistemas lineales
Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1; x2; ; xn:
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm
(1)
donde aij; bi 2 R. Una n-upla u = (k1; k2; ; kn)
T
de números reales es
una solución (o también una solución particular) si satisface cada una de las
ecuaciones; el conjunto de todas las soluciones se llama conjunto solución o la
solución general.
De…niendo
A =
0
B
B
B
B
B
@
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n
a31 a32 a33 a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 am3 amn
1
C
C
C
C
C
A
; x =
0
B
B
B
B
B
@
x1
x2
x3
.
.
.
xn
1
C
C
C
C
C
A
; b =
0
B
B
B
B
B
@
b1
b2
b3
.
.
.
bm
1
C
C
C
C
C
A
;
donde A 2 Rm n
; b 2 Rm
y la incógita x 2 Rn
. El sistema de ecuaciones lineales,
se puede escribir de manera compacta
Ax = b: (2)
El sistema lineal (1) o (2) tiene como matriz aumentada asociada, la matriz
(Ajb) =
0
B
@
a11 : : : a1n b1
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
am1 : : : amn bm
1
C
A :
Ejemplo: Al sistema lineal
5x +4y 7z = 3
3x +2y +4z = 1
2x 3y +2z = 2
;
le corresponde la matriz aumentada asociada
2
4
5 4 7
3 2 4
2 3 2
3
1
2
3
5 :
Consideremos dos sistemas de ecuaciones lineales
Ax = b; Bx = d:
2
4. Si los dos sistemas tienen exactamente las mismas soluciones, decimos que
son equivalentes.
En lugar de resolver un sistema de ecuaciones, podemos resolver cualquier
sistema equivalente más simple; ninguna solución se pierde y ninguna nueva
aparece. Con Ecj se representa a la j esima ecuación del sistema lineal.
Luego, las operaciones elementales son de los siguientes tipos :
i) Intercambiar dos ecuaciones del sistema: Eci ! Ecj
ii) Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero: Ecj ! Ecj
iii) Añadir a una ecuación un múltiplo de alguna otra ecuación: Eci+ Ecj !
Eci
Teorema.- Si un sistema de ecuaciones se obtiene a partir de otro por medio
de una sucesión …nita de operaciones elementales, los dos sistemas son equiva-
lentes.
Matrices Equivalentes por …las
Dos matrices son llamados equivalentes por …las si pueden transformarse del
uno al otro por aplicaciones sucesivas de las siguientes operaciones llamadas
operaciones elementales por …las:
1. (a) Intercambiar dos …las.
(b) Reemplazar una …la por su múltiplo diferente de cero.
(c) Reemplazar una …la por la suma de ella con el múltiplo de otra …la.
Si dos matrices son equivalentes polr …las A y B se denota por A B.
Nota Se trata de resolver un sistema de ecuaciones Ax = b, partiendo de la
matriz aumentada asociada (Ajb) mediante operaciones elementales por …las,
se obtiene una matriz equivalente por …las b
Ajb
b y un sistema equivalente más
simple b
Ax = b
b.
Notación:
1. (a) Intercambiar la i-ésima …la por la …la j -ésima ( Simbólicamente
fi fj o fi ! fj)
(b) Multiplicar la i-ésima …la por L 6= 0 ( Simbólicamente fi L fi
)
(c) Reemplazar la …la i-ésima por la suma de L veces la …la j-ésima y la
i-ésima …la.( Simbólicamente fi fi + L fj )
(d) Reemplazar la …la i-ésima por L veces la …la j-ésima más K (6= 0)
veces la …la i-ésima ( Simbólicamente fi K fi + L fj)
Ejemplo Dada la matriz P =
2 4
1 7
, mostrar que resulta de aplicar:
f1 ! f2 intercambiar las …las f1 y f2 resulta: P
1 7
2 4
f2 f2 2 f1 reemplazar cada elemento en la nueva segunda …la por f2 2
veces el correspondiente elemento en la primera …la, resulta: P
1 7
0 18
:
3
5. Forma Escalonada por Filas de una Matriz
Una matriz es una matriz escalonada, o se dice que está en la forma escalonada,
si desde la primera a la última …la, en cada …la el número de ceros anteriores a
la primera componente distinta de cero crece. Es decir, si tiene la forma
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0 0 p1 * * * * * * * * * *
0 0 0 0 0 p2 * * * * * *
0 0 0 0 0 0 0 0 p3 * * * *
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * *
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 pr *
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Ejemplos Las siguientes matrices son escalonadas
A =
0
B
B
@
2 3 2 0 4 7 6
0 0 8 1 5 4 0
0 0 0 0 0 9 2
0 0 0 0 0 0 0
1
C
C
A ;
V =
0
B
B
@
0 1 3 0 0 7 0
0 0 0 1 0 7 0
0 0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 0 0 1
1
C
C
A ; W =
0
B
B
@
1 2 3
0 0 6
0 0 0
0 0 0
1
C
C
A :
Los primeros elementos no nulos de cada …la son llamados elementos distin-
guidos. Para la matriz A se tienen los elementos distinguidos: 2; 8; 9.
De…nición Se dice que una matriz W tiene rango r si la matriz W se puede
transformar en una matriz equivalente por …las de forma escalonada c
W donde
c
W tiene r …las no nulas. En éste caso denotaremos r = ran(W).
Proposición Una matriz A 2 Rn n
tiene rango n si y sólo si A es inversible
(es no singular, es regular).
Existencia y unicidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lin-
eales
El sistema lineal
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm
4
6. tiene como matriz aumentada asociada, la matriz
(Ajb) =
0
B
@
a11 : : : a1n b1
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
am1 : : : amn bm
1
C
A
Proposición Si ran (A) 6= ran (Ajb), entonces el sistema lineal es inconsis-
tente(no tiene solución).
Si ran(A) = ran(Ajb), entonces el sistema lineal es consistente y tiene solución.
Además,
i) Si ran(A) = ran(Ajb) = n, el sistema lineal tiene una solución única.
ii) Si ran(A) = ran(Ajb) < n, el sistema lineal tiene in…nitas soluciones.
0.1.3 Eliminación de Gauss
La eliminación de Gauss (con sustitución hacia atrás) sigue el siguiente proced-
imiento para solucionar sistemas lineales:
1. (a) Escriba el sistema en forma estandar: Ax = b
(b) Escriba la matriz aumentada (A : b) del sistema lineal.
(c) Aplicar operaciones elementales por …las a la matriz aumentada para
obtener una matriz equivalente por …las en forma escalonada: b
A : b
b
(d) Escriba el sistema de ecuaciones con la matriz correspondiente: b
Ax =
b
b
(e) Encontrar la solución del sistema. Si la solución es única, ésta se
obtiene partiendo de la última ecuación no nula, hasta la primera.
Ejemplo 1 Resolver el sistema
3y +z +w = 3
5x +2y +2w = 1
3x 5z +w = 9
2x +y +3z = 7
Solución La matriz aumentada del sistema lineal es:
2
6
6
4
0 3 1 1
5 2 0 2
3 0 5 1
2 1 3 0
3
1
9
7
3
7
7
5
La matriz aumentada del sistema lineal es:
2
6
6
4
0 3 1 1
5 2 0 2
3 0 5 1
2 1 3 0
3
1
9
7
3
7
7
5
5
8. Reemplazando en la ecuación (3):
26z 10 ( 2) = 72 =) 26z = 72 20 =) 26z = 52
=) z = 52=26 =) z = 2
2x +y +3z = 7 (1)
y 15z +4w = 37 (2)
26z 10w = 72 (3)
174w = 348 (4)
Reemplazando en la ecuación (2):
y 15 (2) + 4 ( 2) = 37 =) y 30 8 = 37
=) y = 37 + 38 = 1 =) y = 1
Reemplazando en la ecuación (1):
2x + ( 1) + 3 2 = 7 =) 2x 1 + 6 = 7 =) 2x + 5 = 7
=) 2x = 2 =) x = 2=2 =) x = 1
Solución del sistema (x; y; z; w)
T
= (1; 1; 2 2)
T
:
Ejemplo 2 Resolver el siguiente sistema lineal
2x +3y 4z = 8
3x +4y 5z = 6
x +y z = 2
Solución La matriz aumentada del sistema lineal es:
2
4
2 3 4
3 4 5
1 1 1
8
6
2
3
5
Reduciendo a la forma escalonada por …las.
2
4
2 3 4
3 4 5
1 1 1
8
6
2
3
5 f1 ! f3
2
4
1 1 1
3 4 5
2 3 4
2
6
8
3
5
f2 f2 3 f1
f3 f3 2 f1
2
4
1 1 1
3 3 1 4 3 1 5 3 ( 1)
2 2 1 3 2 1 4 2 ( 1)
2
6 3 2
8 2 2
3
5
=
2
4
1 1 1
0 1 2
0 1 2
2
0
4
3
5 f3 f3 f1
7
9. 2
4
1 1 1
0 1 2
0 1 (1) 2 ( 2)
2
0
4 (0)
3
5 =
2
4
1 1 1
0 1 2
0 0 0
2
0
4
3
5(Matriz escalon-
ada por …las)
Se tiene el siguiente sistema equivalente
x +y z = 2
y 2z = 0
0 = 4
La última ecuación no se cumple, luego el sistema no tiene solución.
Ejemplo 3 Resolver el sistema lineal
2x +5y = 7
x +2y 2z = 3
3x +7y 2z = 4
Solución La matriz aumentada del sistema lineal es:
2
4
2 5 0
1 2 2
3 7 2
7
3
4
3
5
Reduciendo a la forma escalonada por …las
.
2
4
2 5 0
1 2 2
3 7 2
7
3
4
3
5 f1 ! f2
2
4
1 2 2
2 5 0
3 7 2
3
7
4
3
5
f2 f2 2 f1
f3 f3 3 f1
2
4
1 2 -2
2 2 1 5 2 2 0 2 ( 2)
3 3 1 7 3 2 2 3 ( 2)
3
-7-2 3
-4-3 3
3
5 :
=
2
4
1 2 2
0 1 4
0 1 4
3
13
13
3
5 f3 f3 f2
2
4
1 2 2
0 1 4
0 0 0
3
13
0
3
5(Matriz escalon-
ada por …las)
Se tiene el siguiente sistema equivalente
x +2y 2z = 3
y +4z = 13
0 = 0
Para z = t, se obtiene
x +2y 2t = 3 (1)
y +4t = 13 (2)
De ecuación (2) se obtiene
y = 13 4t
8
10. Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene
x + 2 ( 13 4t) 2t = 3 =) x 26 8t 2t = 3
=) x 26 10t = 3
=) x = 3 + 26 + 10t =) x = 29 + 10t
Luego, las soluciones del sistema lineal se puede expresar como
0
@
x
y
z
1
A =
0
@
29 + 10t
13 4t
t
1
A ; t 2 R:
Para A 2 Rn n
inversible y b 2 Rn
, consideremos la ecuación
Ax = b;
Multiplicando por la inversa de A, se obtiene
A 1
Ax = A 1
b
Como A 1
A = I, se obtiene
Ix = A 1
b
Como Ix = x se obtiene
x = A 1
b
Problema No es fácil determinar A 1
y es más costoso que resolver el
sistema lineal por otros métodos.
Teorema Si A 2 Rn n
, las siguientes proposiciones son equivalentes
i) A es inversible (existe A 1
).
ii) A no es singular
iii) Ax = 0 tiene como solución única a x = 0:
iv) rang(A) = n.
0.1.4 Normas de vectores y matrices
De…nición Una función k:k : Rn
! R se denomina una norma de vectores, si
se cumplen
i) kxk > 0; 8x 2 Rn
n f0g ^ kxk = 0 () x = 0.
ii) k xk = j j kxk; 8 2 R; x 2 Rn
:
iii) kx + yk kxk + kyk 8x; y 2 Rn
(desigualdad triangular).
Las normas más importantes son:
1. kxk2 = xT
x
1=2
=
0
@
n
X
j=1
jxjj
2
1
A
1=2
(Norma de Euclides).
9
11. 2. kxk1 = max fjxjj : j = 1; ; ng(Norma in…nita o norma del máximo)
3. kxk1 =
n
X
j=1
jxjj (Norma de las suma de los valores absolutos).
4. kxkp =
0
@
n
X
j=1
jxjj
p
1
A
1=p
Ejemplo En R4
:
i) k (4; 2; 1; 3) k2 =
q
(4)
2
+ (2)
2
+ ( 1)
2
+ 32 =
p
30
ii) k (4; 2; 1; 3) k1 = j4j + j2j + j 1j + j3j = 4 + 2 + 1 + 3 = 10
iii) k (4; 2; 1; 3) k1 = max fj4j ; j2j ; j 1j ; j3jg = max f4; 2; 1; 3g = 4
Ejemplo Bolas unitarias en Rn
con la norma k:k en Rn
es el conjunto
Bk k;n = fx 2 Rn
: kxk 1g.
a) Para n = 2,con la norma euclideana k:k2 la nola unitaria está dada por
B = (x; y) 2 R2
: k (x; y) k2 1 o B = (x; y) 2 R2
: x2
+ y2
1 .
b) Para n = 2,con la norma euclideana k:k1 la nola unitaria está dada por
B = (x; y) 2 R2
: k (x; y) k1 1 o B = (x; y) 2 R2
: max fjxj ; jyjg 1 .
10
12. De…nición Sea k:k una norma en Rn
. La norma matricial subordinada en
Rn n
o norma asociada a esta norma ( o norma inducida) se de…ne como
kAk := sup
kAxk
kxk
: x 2 Rn
n f0g = sup
x6=0
kAxk
kxk
; A 2 Rn n
.
De…nición Se dice que es la norma de la matriz A.
Teorema Se cumplen
a) Máximo de las sumas de los valores absolutos de las …las:
kAk1 = max
8
<
:
n
X
j=1
ja1jj;
n
X
j=1
ja2jj; ;
n
X
j=1
janjj
9
=
;
b) Máximo de las sumas de los valores absolutos de las columnas:
kAk1 := max
( n
X
i=1
jai1j;
n
X
i=1
jai2j; ;
n
X
i=1
jainj
)
Ejemplo
A =
0
B
B
@
1 4 2 3
4 5 2 4
3 3 1 2
2 7 8 9
1
C
C
A
j 1j + j4j + j 2j + j3j = 10
j4j + j 5j + j2j + j4j = 15
j3j + j 3j + j1j + j2j = 9
j2j + j7j + j 8j + j9j = 26 max ) kAk1 = 26
11
13. # # # #
j 1j j4j j 2j j3j
+ + + +
j4j j 5j j2j j4j
+ + + +
j3j j 3j j1j j2j
+ + + +
j2j j7j j 8j j9j
= = = =
10 19 13 18
+
max
) kAk1 = 19
En MATLAB:
>> A=[-1 4 -2 3
4 -5 2 4
3 -3 1 2
2 7 -8 9]
>> norm(A,1)
ans =19
>> norm(A,inf)
ans =26
De…nición Los valores propios de una matriz A 2 Rn n
son los números
complejos para los cuales la matriz A I no es inversible. Estos números
son las raíces de la ecuación característica de A:
det (A I) = 0:
El radio espectral de A se de…ne por
(A) = max fj j : det (A I) = 0g :
De…nición Una matriz A 2 Rn n
se dice que es de…nida positiva si se
cumple
xT
Ax > 0 para todo x 2 Rn
no nulo.
Para A =
3 0
0 5
; se tiene
x1 x2
3 0
0 5
x1
x2
= x1 x2
3x1
5x2
= 3x2
1 + 5x2
2
> 0, si (x1; x2) 6= (0; 0):
Luego, la matriz A es de…nida positiva.
Lema Sean 1 n los valores propios reales de la matriz simétrica
A 2 Rn n
. Entonces se cumple
nkxk2
2 x>
Ax 1kxk2
2 8x 2 Rn
:
12
14. Lema Se cumple: kAk2 = (A>
A)1=2
8A 2 Rn n
Lema Si A es simétrica y de…nida positiva. Entonces A tiene valores propios
positivos.
Teorema
1. Sea k k una norma de matrices en Rn n
. Entonces se cumple (A)
kAk 8A 2 Rn n
.
2. Si A es simétrica se cumple (A) = kAk2.
3. 8A 2 Rn n
y 8" > 0 9 una norma k k en Rn n
con kAk (A) + ".
BIBLIOGRAFIA
- Seymour Lipschutz.-AlgebraLineal. Mc Graw-Hill, 1968
-Barrnet Rich-Philip A. Schmidt Elementary Algebra. 2004
13
