Presentacion del proyecto de Algebra Lineal

1. ALGEBRA
LINEAL

4. EJEMPLO DE SUMA DE MATRICES
−6 9
24 0
+
−4 2
0 5
=
−10 11
24 5
Como podemos observar sumamos la primer columna
de la primera matriz con la primer columna de la
segunda matriz y de la misma forma la segunda columna
de la primera matriz con la segunda columna de la
segunda matriz.

5. EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
A=
1 2 3
4 0 1
2x3 3x2 B=
−1 2
0 1
0 3
Los centros son iguales
Procedemos a resolver:
1(-1) =-1 1(2)= 2 4(-1)= -4 4(2)= 8
2(0)= 0 2(1)= 2 0(0)= 0 0(1)= 0
3(0)= 0 3(3)= 9 1(0)= 0 1(3)= 3
Luego sumamos los resultados de cada columna:
-1+o+o= -1
2+2+9= 13
-4+0+0= -4
8+0+3= 11
−1 13
−4 11

6. SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES

7. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
1. Método de Gauss Jordan: reducción de filas y
columnas, sustitución hacía atrás.
 Fila intercambiada una con otra sin cambiar el valor
de las variables.
 Fila multiplicada por cualquier numero diferente a
cero.
 Sumar filas entre si o restar.
 Si se reduce a cero elementos de la columna uno,
la fila pivote será la fila uno y si es la dos la fila
pivote será la dos y así sucesivamente.

8. EJEMPLO
2x+y+z=0
- x -y+z=1
X-2y+3z=5
2 1 1 0
−1 −1 1 1
1 −2 3 5
F2= f2+f1 1 0 2 1
−1 −1 1 1
1 −2 3 5
F2= f2+f3
x= -1 este es el resultado que se le asigna a cada
y= -2 incógnita de la ecuación que nos dieron.
z= 0
1 0 2 1
0 −3 4 6
1 −2 3 5
F2= f2/-3 1 0 2 1
0 1 −
4
3
− 2
0 −2 1 4
F2= f2/1 1 0 2 1
0 1 −1.33 − 2
0 −2 1 4
F3= f2*-2
1 0 2 1
0 1 −1.33 − 2
0 0 1 0
F2= f2*3/-1.33 1 0 0 1
0 1 0 − 2
0 0 1 0

9. METODO DE KRAMMER
Se utilizan solo variables.
Primero se saca la determinante de la matriz sin tomar en cuenta
la matriz ampliada ósea los números que están después del signo
igual esos no se tomas para sacar la determinante original.
Segundo la primer columna se cambia por la columna ampliada y
se procede a sacar la determinante.
Tercero se cambia la segunda columna por la columna ampliada y
se saca la determinante.
Cuarto se cambia la tercera columna por la columna ampliada y se
saca la determinante.
Quinto cada resultado de las determinantes se divide dentro del
resultado de la determinante original.
Y de esta manera obtenemos nuestros resultados.
EJEMPLO:

10. A= 3x+5y-2z=8 3 5 -2 3 5
5x-8y- z= 11 5 -8 -1 5 -8
9x+11y+7z=15 9 11 7 9 11
|A|=-168-45-110-144+33-174= -609
A= 8 5 -2 8 5
11 -8 -1 11 -8 |A|= -448-75-242-240+88-385= -1302
1 15 11 7 15 11
A= 3 8 -2 3 8
5 11 -1 11 -8 |A|= 231-72-150+198+45-280= -28
9 14 7 9 15
A= 3 5 8 3 5
5 -8 11 5 -8 |A|= -360+495+440+576-363-375= 413
9 11 15 9 11
-1302= 62 -28= 4 413= -59
-609 29 -609 87 -609 87

11. TRANSPUESTA
DE MATRIZES

12. EJEMPLO
2 −1 7
5 3 9
8 4 2
AT
2 5 8
−1 3 4
7 9 2
Las filas pasan a ser columnas.
Es una matriz anti simétrica.
3 4 2
4 6 5
2 5 8
AT
3 4 2
4 6 5
2 5 8

13. INVERSA DE UNA MATRIZ
Encontrar una matriz que al multiplicarse con la
matriz original tiene que dar por resultado la
matriz identidad.
A la matriz original se le coloca paralelamente (a
la par) su matriz identidad
Ejemplo:

14. A I

15. INVERSA DE COFACTORES
 Para encontrar el cofactor eliminamos filas y columnas de la siguiente
manera:
−1 −2 1
1 1 3
2 0 0
A=
PASO 1:
Encontrar la determinante de la matriz original
−1 −2 1
1 1 3
2 0 0
−1 −2
1 1
2 0
|A|=-14

16. PASO 2:
Sacar la determinante de cada cofactor, un cofactor por cada
elemento de la matriz (“tomando en cuenta que si la posición del
numero del cual sacamos el cofactor, si la suma de su posición
en fila y su posición de columna es un numero par el resultado de
la determinante no cambiara, pero si es un numero impar a la
determinante cambiara de signo”).
+A=
1 3
0 0
1 3
2 0
-A
1 1
2 0
+A
−1 −2
2 0
-A
−2 1
1 3
A
|A|= 0 |A|=6 |A|=-2 |A|=-4 |A|=-7

17. -A=
−1 1
1 3
A=
−1 −2
1 1
|A|= 4 |A|=
A=
0 6 −2
0 −2 4
−7 4 1
esta matriz sale de unir la determinante de cada cofactor

18. 0 0 −7
6 −2 4
−2 4 1
es la transpuesta de la matriz del las determinantes de cada cofactor
A=
0 6 −2
0 −2 4
−7 4 1
1
−14
*
es el inverso de la determinante de la matriz orginal
Se multiplica la transpuesta por el inverso de la determinante de la
matriz original
0 0 1/2
−3/7 1/7 −2/7
1/7 2/7 −1/14

19. DETERMINANTE
DE UNA MATRIZ

20. Determinante de una matriz de 2*2
B=
−1 3
4 −4
Matriz original
|B|= (-1)(-4)-(3)(4) *Multiplicamos de forma
diagonal
|B|= 4-12 *Efectuamos una diferencia
dentro de los productos
encontrados
|B|= -8 *El resultado será la determinante
de nuestra matriz original

21. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3*3
|A|= 0+48+3+0+8-8 Sumamos algebraicamente los productos
|A|=51 El resultado de la determinante es 51

22. DETERMNANTE DE MATRICES POR
EL METODO DE LEPLACE
Desarrollaremos El METODO DE LAPLACE Para
Matrices De Cualquier Dimensión, de la siguiente
manera:
1. Identificamos la fila o columna con mas ceros
(Podemos realizar el método de reducción de
filas)
퐴 =
−2 4 3
1 0 4
3 1 2
Fila con mas ceros

23. 2. Tomamos en cuenta los números de la fila con mas 0, y
realizamos la formula siguiente:
1x .
X
. 푎 푏
푐 푑 + 1x .
Y
. 푎 푏
푐 푑 + 1x .
Z
. 푎 푏
푐 푑
Este uno Elevamos el uno Es el numero que
Es constante a la potencia que resulte tomamos de nuestra
de la suma de la posición del matriz original.
numero que tomamos
La matriz resultante después
de haber eliminado la fila y
columnas del numero que
tomamos de la matriz
La desarrollamos de la siguiente manera:

24. 12+1 .
1
. 4 3
1 2 + 12+2 .
0
.
_2 3
3 2 + 12+3 .
4
.
_2 4
3 1
-1 . 1 . 5 + 1 . 0 . -13 . + (-1) . 4 . -14
-5 + 0 + 56
|A|= 51
 Los números -1, 1 y -1 resultan de elevar nuestra constante a la potencia que indique la
suma de su posición (fila + columna)
 Los números 1, 0 y 4 los obtenemos de nuestra matriz original después de haber
identificado la fila o columna con mas ceros
 Los números 5, -13 y -14 son la determinante de las matrices que nos quedan después de
eliminar la fila y columna correspondiente
 Cuando tenemos estos números: el resultado de la potenciación de nuestra constante, el
numero base de nuestra matriz original y la determinante correspondiente multiplicamos
estos resultados entre si
 Finalmente sumamos los resultados y obtenemos la determinante de la matriz original.

25. APLICACIONES DE
ECUACIONES A PROBLEMAS
PROBLEMA:
Se tiene un presupuesto de Q63.00 para elaborar un pastel. La mezcla de todos
los ingredientes deben sumar 14 libras. El precio de los ingredientes por libra es
el siguiente: azúcar Q10.00, harina Q3.00 y royal Q3.00; el costo total del azúcar
debe ser igual al de la harina. ¿Cuántas libras de cada ingrediente se deben
usar?
Las ecuaciones las podemos resolver de dos formas:
METODO DE KRAMMER:
X= Azúcar
Y= Harina
Z= Royal

26. Formamos las ecuaciones
10x + 3y + 3z = 63 Se tiene un presupuesto de Q63.00 para elaborar un pastel
10x=3y el costo total del azúcar debe ser igual al de la harina
X + y + z = 14 La mezcla de todos los ingredientes deben sumar 14 libras
10x + 3y + 3z = 63
10x – 3y + 0 = 0
x + y + z = 14
A=
10 3 3
10 −3 0
1 1 1
Formamos la matriz
63
0
14
Ordenamos incógnitas y escalares
Encontrar la determinante de la matriz original
10 3 3
10 −3 0
1 1 1
A= |A|= -21
Esta matriz nos servirá de base después

27. Sacar determinantes de las matrices con filas sustituidas
|퐴1 | = −63
|퐴2 | = −210
|퐴3 | = −21
A=
10 3 3
10 −3 0
1 1 1
63
0
14
Matriz original
Matrices con filas sustituidas y sus determinantes
퐴1 =
63 3 3
0 −3 0
14 1 1
퐴2 =
10 63 3
10 0 0
1 14 1
퐴3 =
10 3 63
10 −3 0
1 1 14
Determinantes

28. Encontramos los valores de las incógnitas
X= -63 = 3
-21
Y= -210= 10
-21
Z= -201= 1
-21
Valor de las incógnitas
Respuesta: Se deben utilizar 3 libras de azúcar, 10 de
harina y 1 de royal.

29. METODO DE REDUCCION DE FILAS:
A=
10 3 3
10 −3 0
1 1 1
63
0
14
F2=F2-F1 A=
10 3 3
0 −6 −3
1 1 1
63
−63
14
F1=F1-
F3(3)
F2=F2/-3
A=
7 0 0
0 2 1
1 1 1
21
21
14
F1=F1/7
F2=F2-F3 A=
1 0 0
−1 1 0
1 1 1
3
7
14
F2=F2+F1
F3=F3-F1
A=
1 0 0
0 1 0
0 1 1
3
10
11 F3=F3-F2
A=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
10
10
Respuesta: Se deben utilizar 3 libras de azúcar, 10 de
harina y 1 de royal.