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![Cap´ıtulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales
1.1. Nociones b´asicas
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas tiene la forma siguie-
nte
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
· · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1.1)
La notaci´on matricial permite expresar un sistema lineal de la forma m´as
simple: A · x = b, donde x y b son las matrices columnas
x1
x2
· · ·
xn
y
b1
b2
· · ·
bm
,
respectivamente y A = (aij) es la matriz de coeficientes. En lo que sigue,
jugar´a un papel importante la denominada matriz ampliada A′
= [A|b].
Un conjunto ordenado de n n´umeros reales (α1, ..., αn) es una soluci´on del
sistema (??) si al sustituir cada xi por αi se verifican las m igualdades (??).
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Sistemas
- 1. Cap´ıtulo 1 Sistemas deecuaciones lineales 1.1. Nociones b´asicas Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas tiene la forma siguie- nte a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (1.1) La notaci´on matricial permite expresar un sistema lineal de la forma m´as simple: A · x = b, donde x y b son las matrices columnas x1 x2 · · · xn y b1 b2 · · · bm , respectivamente y A = (aij) es la matriz de coeficientes. En lo que sigue, jugar´a un papel importante la denominada matriz ampliada A′ = [A|b]. Un conjunto ordenado de n n´umeros reales (α1, ..., αn) es una soluci´on del sistema (??) si al sustituir cada xi por αi se verifican las m igualdades (??). 1
- 2. 2 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Atendiendo al n´umero de soluciones, los sistemas se clasifican de la forma siguiente compatibles { determinados indeterminados incompatibles Recordemos que un sistema compatible indeterminado es el que tiene m´as de una soluci´on. El conjunto de todas las soluciones de un sistema se llama conjunto soluci´on. Resolver un sistema consiste en encontrar el conjunto soluci´on. En este tema vamos a desarrollar el denominado m´etodo de elimi- naci´on de Gauss para la resoluci´on de sistemas lineales. Este m´etodo guarda cierta relaci´on con el m´etodo elemental que llam´abamos de reducci´on para la resoluci´on de sistemas, por ello parece oportuno recordar con un ejemplo concreto dicho m´etodo de reducci´on. Ejemplo 1.1.1. Resolver por el m´etodo de reducci´on el sistema siguiente x + 3y + 6z = 25 2x + 7y + 14z = 58 2y + 5z = 19 Si sumamos a la segunda ecuaci´on la primera multiplicada por −2, resulta x + 3y + 6z = 25 0x + y + 2z = 8 2y + 5z = 19 Hemos obtenido un sistema m´as simple que puede ser transformado, a su vez, en otro m´as simple a´un. En efecto, podemos sumar a la tercera ecuaci´on (del sistema anterior) la segunda multiplicada nuevamente por −2 y resulta x + 3y + 6z = 25 0x + y + 2z = 8 z = 3
- 3. 1.1. NOCIONES B´ASICAS 3 Este sistema se resuelve procediendo hacia atr´as: primero se determina z = 3 y, posteriormente, se encuentra y en la segunda ecuaci´on y = 8 − 2z = 2. Finalmente, la primera ecuaci´on permite obtener x = 25 − 3y − 6z = 1. En el ejemplo anterior, el sistema inicial se ha transformado en otro esca- lonado que puede ser resuelto f´acilmente. Pasamos a establecer de una forma precisa qu´e tipo de operaciones pueden realizarse con las ecuaciones de un sistema sin alterar el conjunto soluci´on. Definici´on 1.1.2. Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. El resultado siguiente recoge las operaciones que podemos realizar con las ecuaciones de un sistema arbitrario de manera que resulte otro equivalente. No hay ninguna dificultad a˜nadida en el hecho de considerar un sistema general (no necesariamente lineal). Consideramos, pues, un sistema de la forma f1(x1, .., xn) = 0 · · · fm(x1, ..., xn) = 0 Teorema 1.1.3. Si se realiza con las ecuaciones de un sistema alguna de las operaciones siguientes - intercambio de ecuaciones - se multiplica una ecuaci´on por un n´umero real no nulo - se suma a una ecuaci´on un m´ultiplo de otra, el sistema resultante es equivalente al inicial. DEMOSTRACI´ON: Hacemos s´olo la prueba de la tercera posibilidad. Pa- ra simplificar, supongamos que sumamos a la primera ecuaci´on la segunda
- 4. 4 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES multiplicada por c. El sistema que resulta tiene la forma f1(x1, .., xn) + cf2(x1, .., xn) = 0 f2(x1, .., xn) = 0 · · · fm(x1, ..., xn) = 0 (1.2) Ahora tenemos que probar que ambos sistemas tienen las mismas soluciones. Si (α1, .., αn) es una soluci´on del sistema original, entonces al sustituir las inc´ognitas xi por los n´umeros αi, se obtienen las identidades f1(α1, .., αn) = 0 · · · fm(α1, ..., αn) = 0 Por tanto, para comprobar que (α1, .., αn) es soluci´on del sistema modificado (1.2), s´olo nos resta ver que cumple su primera ecuaci´on (la ´unica diferente). Basta sumar las identidades f1(α1, .., αn) = 0, y cf2(α1, .., αn) = 0, para obtener f1(α1, .., αn) + cf2(α1, .., αn) = 0. Hemos probado, por tanto, que (α1, .., αn) es soluci´on del segundo sistema. Finalmente, debemos probar que toda soluci´on del sistema final lo es del inicial. La prueba es similar a la anterior y la omitimos. 1.2. Transformaciones elementales de una ma- triz Dado un sistema lineal S, supongamos que se suma a la primera ecuaci´on la segunda multiplicada por un n´umero c ̸= 0. Entonces la matriz ampliada
- 5. 1.2. TRANSFORMACIONES ELEMENTALESDE UNA MATRIZ 5 del sistema, A′ , se transforma en otra con todas las filas iguales a las de A′ , salvo la primera que pasa a ser el resultado de sumar a la primera fila de A′ la segunda multiplicada por c. Por otra parte, el intercambio de las ecuaciones i y j del sistema S se traduce en el intercambio de las filas i y j de la matriz ampliada. En definitiva, el realizar alguna de las tres operaciones permitidas con las ecuaciones de un sistema lineal S, se traduce en la realizaci´on de una operaci´on similar con las filas de la matriz ampliada del sistema. Por ello, en lugar de manipular las ecuaciones, haremos transformaciones elementales sobre la matriz ampliada del sistema y as´ı evitamos escribir cada vez las inc´ognitas x1, .., xn. Esta idea se usa en el m´etodo de eliminaci´on de Gauss para la resoluci´on de sistemas lineales. Para facilitar el desarrollo de dicho m´etodo, vamos a establecer una notaci´on adecuada para las transformaciones que podemos realizar sobre las filas o las columnas de una matriz. Se denominan transformaciones elementales por filas a las siguien- tes: 1. Intercambio de las filas i y j. Se denotar´a por Fij. 2. Multiplicaci´on de la fila i por un n´umero c. Se denotar´a por Fi(c). 3. Sumar a la fila i la fila j multiplicada por c. Se denota por Fij(c). Las correspondientes transformaciones elementales por columnas se de- notan por Kij, Ki(c), y Kij(c). Ejemplos 1.2.1. 1. F12 ( 1 0 −1 2 1 −1 ) = ( 2 1 −1 1 0 −1 ) . 2. F12(−2) ( 1 0 −1 2 1 −1 ) = ( −3 −2 1 2 1 −1 ) . 3. K13 ( 1 0 −1 2 1 −1 ) = ( −1 0 1 −1 1 2 ) .
- 6. 6 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.3. Matrices elementales Toda matriz que se obtiene al aplicar a la matriz unidad una transforma- ci´on elemental por filas o columnas recibe el nombre de matriz elemental. S´olo nos vamos a referir a las matrices elementales por filas: 1. Eij denotar´a la matriz elemental que resulta de aplicar a la matriz unidad la transformaci´on Fij. 2. Ei(c) denota la matriz que resulta de aplicar a la matriz unidad la transformaci´on Fi(c). 3. Eij(c) es la matriz que se obtiene al aplicar a la matriz unidad la transformaci´on Fij(c). Ejemplos 1.3.1. 1. Si aplicamos a la matriz unidad I3 la transformaci´on F23(2), resulta E23(2) = 1 0 0 0 1 2 0 0 1 . 2. Si aplicamos a la matriz unidad I2 la transformaci´on F12, resulta E12 = ( 0 1 1 0 ) . Al final del tema veremos el importante papel que juegan estas matrices en relaci´on con la factorizaci´on LU de una matriz. Necesitaremos el siguiente resultado. Teorema 1.3.2. Las matrices elementales son no singulares y sus inversas son matrices elementale del mismo tipo. Concretamente, se tiene E−1 ij = Eij, Ei(c)−1 = Ei(1/c), Eij(c)−1 = Eij(−c). Vamos a comprobar algunas de las iguladades anteriores para matrices 3 × 3.
- 7. 1.4. EL M´ETODODE ELIMINACI ´ON DE GAUSS 7 1. E23 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 . 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 = I3. 2. E12(2) = 1 2 0 0 1 0 0 0 1 . 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 = I3. Las matrices elementales tienen la siguiente importante propiedad: Si E es la matriz elemental obtenida al aplicar a la matriz identidad cierta trans- formaci´on elemental, entonces el producto EA es el resultado de aplicar a la matriz A la misma transformaci´on. Veamos un ejemplo. Ejemplo 1.3.3. E23 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 es la matriz elemental que resulta al aplicar a I3 la transformaci´on F23. E23 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23 . 1.4. El m´etodo de eliminaci´on de Gauss El m´etodo de eliminaci´on de Gauss reduce el sistema a otro equivalente en la forma triangular superior que puede ser resuelto f´acilmente procediendo
- 8. 8 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES hacia atr´as. En lugar de manipular las ecuaciones, se opera con la matriz ampliada (A | b). Si el elemento a11 de la matriz de coeficientes es no nulo, ´este es el pri- mer pivote y se utilizar´a para transformar la matriz ampliada en otra cuya primera columna est´a formada por ceros, salvo el primer elemento. Para con- seguir esto con transformaciones elementales por filas, lo usual es proceder como sigue: mediante la transformaci´on F1(1/a11) conseguimos que la nueva matriz ampliada tenga un uno como primer elemento de la primera columna; seguidamente con transformaciones del tipo Fi1(−ai1) (i ̸= 1) hacemos que la primera columna tenga todos sus elementos nulos, salvo el primero que es un uno. En el siguiente paso se busca hecer ceros todos los elementos de la segunda columna que est´an por debajo de la diagonal. El segundo pivote es cualquier elememto no nulo (que no sea e la fila primera) de la segunda columna. Si es posible, se suele tomar el elemento de la fila 2. Con la trans- formaci´on F2(1/a22) conseguimos un uno en esa posici´on y procediendo como antes, con tansformaciones del tipo Fi2(−ai2), obtenemos ceros en la segunda columna por debajo de la diagonal (cuando escribimos aij, nos referimos al elemento de la matriz ampliada que est´a en la posici´on i×j en ese momento, pues la matriz ampliada va modific´andose a medida que desarrollamos el m´e- todo). Continuamos de esta forma hasta conseguir una matriz ampliada con ceros debajo de la diagonal. Vamos a considerar un ejemplo concreto para ilustrar el m´etodo. Ejemplo 1.4.1. Resolver por el m´etodo de eliminaci´on el sistema −3x − 3y − 3z = −3 −2x + 2y + z = 0 x − 3y + 3z = 0. Con la transformaci´on F1(1/ − 3) conseguimos en la matriz ampliada un uno
- 9. 1.4. EL M´ETODODE ELIMINACI ´ON DE GAUSS 9 en la posici´on 1 × 1: 1 1 1 1 −2 2 1 0 1 −3 3 0 . Ahora realizamos las transformaciones F21(2) y F31(−1) para conseguir ceros en la primera columna por debajo de la diaginal: 1 1 1 1 0 4 3 2 0 −4 2 −1 . Para conseguir un uno en la posici´on 2 × 2, aplicamos la transformaci´on F2(1/4): 1 1 1 1 0 1 3/4 1/2 0 −4 2 −1 . Si realizamos la transformaci´on F32(4), resulta: 1 1 1 1 0 1 3/4 1/2 0 0 5 1 . Finalmente, obtenemos la forma reducida con la transformaci´on F3(1/5): 1 1 1 1 0 1 3/4 1/2 0 0 1 1/5 . El sistema original es equivalente al sistema triangular siguiente x + y + z = 1 y + (3/4)z = 1/2 z = 1/5. La soluci´on se obtiene f´acilmente procediendo hacia atr´as. La tercera ecuaci´on nos dice que z = 1/5. De la segunda deducimos que y = 1/2 − (3/4)z =
- 10. 10 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1/2 − 3/20 = 7/20. Por ´ultimo, se sigue de la primera que x = 1 − y − z = 1 − (7/20) − (1/5) = 9/20. En el ejemplo anterior hemos procedido de un modo sistem´atico desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. Este modo de proceder no es obligatorio y, de hecho, en algunos casos es imposible. Entre otros problemas, puede ocurrir que necesitemos hacer un intercambio de filas debido a que un pivote sea nulo. Veamos un ejemplo. Ejemplo 1.4.2. Aplicar el m´etodo de eliminaci´on de Gauss para resolve el sistema 2y + z = 1 x + y + 2z = −1 2x + y + z = 0. La matriz ampliada del sistema tiene la forma 0 2 1 1 1 1 2 −1 2 1 1 0 . El primer elemento de la diagonal es cero. Podemos intercambiar la fila 1 con cualquiera de las otras dos. Lo m´as conveniente es escoger la fila 2 cuyo primer elemento es 1. Por tanto, realizamos la transformaci´on F12 y resulta 1 1 2 −1 0 2 1 1 2 1 1 0 . El paso siguiente ser´ıa conseguir un cero en la ´ultima posici´on de la columna 1. Para ello, realizamos la transformaci´on F31(−2) y obtenemos 1 1 2 −1 0 2 1 1 0 −1 −3 2 .
- 11. 1.4. EL M´ETODODE ELIMINACI ´ON DE GAUSS 11 Ahora tenemos que conseguir ceros en la segunda columna por debajo de la diagonal. Primero realizamos la transformaci´on F2(1/2) y conseguimos que el segundo pivote sea 1 1 1 2 −1 0 1 1/2 1/2 0 −1 −3 2 . Seguidamente la transformaci´on F32(1) produce 1 1 2 −1 0 1 1/2 1/2 0 0 −5/2 5/2 . Finalmente, la transformaci´on F3(−2/5) produce la matriz ampliada reducida siguiente 1 1 2 −1 0 1 1/2 1/2 0 0 1 −1 . Procediendo hacia atr´as se obtiene la soluci´on: x = 0, y = 1, z = −1. Una variante del m´etodo de Gauss consiste en conseguir ceros en cada co- lumna tanto por debajo como por encima de cada 1 dominante. Esta variante se denomina m´etodo de Gauss-Jordan. Ejemplo 1.4.3. Aplicar el m´etodo de Gauss-Jordan para resolver el sistema x + y + z = 0 2x + y − z = 0 x + 2y + 4z = 0. Se trata de un sistema homog´eneo y, por tanto, consideramos s´olo la matriz de coeficientes. Al realizar las transformaciones F21(−2) y F31(−1), resulta 1 1 1 0 −1 −3 0 1 3 .
- 12. 12 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Intercambiamos las filas 2 y 3 1 1 1 0 1 3 0 −1 −3 . Ahora hay que conseguir ceros en la segunda columna. Para ello, realizamos las transformaciones F12(−1) y F32(1) y obtenemos 1 0 −2 0 1 3 0 0 0 . El sistema reducido (equivalente al inicial) tiene la forma { x − 2z = 0 y + 3z = 0. Que permite obtener x e y en funci´on de z: x = 2z e y = −3z. Vemos que el sistema homog´eneo tiene infinitas soluciones, pues z puede tomar cualquier valor. 1.5. Selecci´on de los pivotes en la pr´actica En los ejemplos anteriores hemos desarrollado el m´etodo de eliminaci´on procediendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo y s´olo cuando encontr´abamos un pivote nulo hac´ıamos un intercambio de filas. Sin embargo, en la pr´actica se suelen realizar intercambios de filas aunque el pivote sea no nulo. La raz´on de esto es la siguiente. Normalmente, los c´alculos los realizamos con calculadoras o computadoras y estas no realizan una aritm´etica exacta. Tanto unas como otras usan lo que llamaremos n´umeros en punto flotante. Un n´umero no nulo para la m´aquina tiene la forma de un producto de una parte decimal d de t d´ıgitos y un factor de escala 10n . La parte decimal tiene la forma d = ±0.d1d2 · · · dk, 1 ≤ d1 ≤ 9, 0 ≤ di ≤ 9 (k = 2, .., k)
- 13. 1.5. SELECCI ´ONDE LOS PIVOTES EN LA PR ´ACTICA 13 y n es un entero que var´ıa en cierto rango. En muchos casos t es 16 y n verifica −308 ≤ n ≤ 308. Por ejemplo, la representaci´on en punto flotante con 3 d´ıgitos del n´umero 0.05 es 0.500 × 10−1 . El conjunto de todos los n´umeros en punto flotante es finito, mientras que el conjunto de todos los n´umeros reales es infinito. Por ello, para manejar n´umeros que tienen un desarrollo decimal infinito o bien con una cantidad grande de d´ıgitos, en la pr´actica estos n´umeros se reemplazan con otros (muy cercanos) escritos en la forma punto flotante. Este hecho se conoce con el nombre de redondeo. La computadora realiza los c´alculos con los n´umeros en punto flotante y esto pruduce un error en los c´alculos que en algunos casos puede conducir a una soluci´on muy alejada de la correcta. Para reducir el efecto de estos errores sobre la soluci´on final, cuando aplicamos el m´etodo de eliminaci´on de Gauss para resolver un sistema lineal, se suele seguir una estrategia de selecci´on de pivotes adecuada. Las m´as usadas se denominan estrategias de pivoteo parcial y completo. En la pr´actica, por lo general, es suficiente emplear el pivoteo parcial. Con esta estrategia se procede desde izquierda a derecha y se escoge como pivote de cada columna el elemento de dicha columna (por debajo de la diagonal) con mayor valor absoluto. Ejemplo 1.5.1. Usar pivoteo parcial para resolver el sistma 2x + 3y + 2z = 1 8x + 6y + 9z = 2 4x + y + 3z = 30. En la primera columna el elemento m´as grande es el segundo que es 8. Ha- cemos entonces la transformaci´on F12 8 6 9 2 2 3 2 1 4 1 3 30 . Seguidamente relizamos las transformaciones F1(1/8), F21(−2) y F31(−4) y
- 14. 14 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES obtenemos 1 3/4 9/8 1/4 0 3/2 −1/4 1/2 0 −2 −3/2 29 . Ahora miramos en la segunda columna y escogemos, de los dos posibles, el elemento de mayor valor absoluto que es −2. Hacemos el intercambio F23 y resulta 1 3/4 9/8 1/4 0 −2 −3/2 29 0 3/2 −1/4 1/2 . Realiamos la transformaci´on F2(−1/2) que produce la matriz 1 3/4 9/8 1/4 0 1 3/4 −29/2 0 3/2 −1/4 1/2 . Ahora la transformaci´on F32(−2/3) consigue el cero en la segunda columna debajo de la diagonal 1 3/4 9/8 1/4 0 1 3/4 −29/2 0 0 −3/4 29/3 . Por ´ultimo, la transformaci´on F3(−4/3) produce la forma reducida final 1 3/4 9/8 1/4 0 1 3/4 −29/2 0 0 1 −116/9 . 1.6. Determinaci´on de la matriz inversa por medio del m´etodo de eliminaci´on Si A es una matriz cuadrada no singular de dimensiones n × n, su inversa es una matriz B que verifica A · B = B · A = In.
- 15. 1.6. DETERMINACI ´ONDE LA MATRIZ INVERSA POR MEDIO DEL M´ETODO DE ELIMINACI ´ON Si xi, .., xn denotan las columnas de B, la igualdad A · B = In equivale a las n igualdades Axi = ei (i = 1, .., n), donde ei denota la columna i-´esima de In. En efecto, recu´erdese que el producto A·B puede hacerse por cajas, luego se tiene A · B = A · (x1, x2, · · · , xn) = (A · x1, · · · , A · xn); es decir, Axi es la columna i-´esima del producto A · B. Entonces determinar B es equivalente a resolver los n sistemas lineales Axi = ei (i = 1, 2, .., n). Como todos estos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes, podemos emplear el m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan usando una matriz am- pliada m´ultiple (A |e1 |e2 · · · en) = (A |In). La aplicaci´on del citado m´etodo convierte la matriz ampliada anterior en otra de la forma (C |D). Si la matriz A es no singular, C ser´a exactamente la matriz unidad In. El sistema Axi = ei es equivalente a otro de la forma Cxi = di, donde d1, .., dn denotan las columnas de D. Como C = In, el sistema anterior tiene la forma Inxi = di; por tanto, xi = di. Esto es, D es la matriz buscada B. Ejemplo 1.6.1. Aplicar el m´etodo para determinar la matriz inversa de A = ( 1 2 2 1 ) . F21(−2) ( 1 2 1 0 2 1 0 1 ) = ( 1 2 1 0 0 −3 −2 1 ) F2(−1/3) ( 1 2 1 0 0 −3 −2 1 ) = ( 1 2 1 0 0 1 2/3 −1/3 ) F12(−2) ( 1 2 1 0 0 1 2/3 −1/3 ) = ( 1 0 −1/3 2/3 0 1 2/3 −1/3 ) . La matriz inversa de A es A−1 = ( −1/3 2/3 2/3 −1/3 ) .
- 16. 16 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.7. Factorizaci´on LU de una matriz Supongamos que una matriz cuadrada A es igual al producto LU de dos matrices triangulares, L triangular inferior (L de lower, en ingl´es) y U superior (U de upper, en ingl´es). Diremos que A = LU es una factorizaci´on tipo LU de A. Este tipo de factorizaci´on es muy usado para resolver sistemas lineales Ax = b, especialmente cuando se necesita resolver repetidamente el sistema para distintos valores de b. Una vez obtenida la factorizaci´on LU de A, es muy f´acil de implementar el c´alculo de la soluci´on del sistema. En primer lugar, vamos a ver la raz´on de este ´ultima afirmaci´on. Si deseamos resolver el sistema lineal Ax = b, donde A es una matriz cuadrada n × n, y disponemos de una factorizaci´on A = LU, el sistema tiene la forma LUx = b. Podemos encontrar y en el sistema Ly = b, que es un sistema triangular inferior y puede resolverse f´acilmente procediendo hacia adelante ℓ11y1 = b1 ℓ21y1 + ℓ22y2 = b2 · · · ℓn1y1 + ℓn2y2 + · · · + ℓnnyn = bn Una vez determinado y, resolvemos el sistema triangular superior Ux = y: u11x1 + u12x2 + · · · + u1nxn = y1 · · · un−1n−1xn−1 + un−1nxn = yn−1 unnxn = yn, procediendo esta vez hacia atr´as. Ahora es el momento de advertir que la diagonal de L est´a formada por unos. Por tanto, el sistema Ly = b tiene soluci´on ´unica. Abordamos ahora el problema de c´omo encontrar una factorizaci´on tipo LU para A. En un principio, vamos a suponer que el m´etodo de eliminaci´on de Gauss permite convertir A en una matriz triangular superior U sin realizar intercambios de filas. Es decir que, para obtener U, s´olo se realizan transfor- maciones elementales del tipo Fij(α). En t´erminos de matrices elementales,
- 17. 1.7. FACTORIZACI ´ONLU DE UNA MATRIZ 17 esto significa que U se obtiene multiplicando A (a la izquierda) por cierto n´umero de matrices elementales E1E2 · · · EN , todas ellas del tipo Eij(α) con i > j. Por tanto, podemos escribir la igualdad E1E2 · · · EN A = U. Recu´erdese que las matrices elementales Eij(α) son invertibles y sus inversa son de la forma Eij(−α). Entonces la igualdad anterior puede expresarse en la forma A = E−1 N · · · E−1 1 U = LU, siendo L = E−1 N · · · E−1 1 . Si nos aseguramos de que L tiene la forma deseada (triangular inferior y con unos en la diagonal), habremos probado que las matrices cuadradas que, por el m´etodo de eliminaci´on de Gauss y sin realizar intercambios de filas, pueden convertirse en triangular superior (U) poseen la factorizaci´on deseada A = LU. Para simplificar, suponemos que A es una matriz 3 × 3 y hacemos la prueba de que el producto L = E−1 N · · · E−1 1 tiene la forma indicada. La aplicaci´on del m´etodo de eliminaci´on de Gauss a una matriz 3×3, sin intercambios de filas, equivale a multiplicar A (a la izquierda) por tres matrices elementales como las siguientes 1 0 0 0 1 0 0 c 1 1 0 0 0 1 0 b 0 1 1 0 0 a 1 0 0 0 1 A = U. Las dos matrioces elementales m´as cercanas a A son las que usamos para conseguir ceros en la primera columna de A y la primera por la izquierda para conseguir un cero en la segunda columna debajo de la diagonal. Seg´un lo dicho anteriormente, la matriz L viene dada por L = 1 0 0 −a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 −b 0 1 1 0 0 0 1 0 0 −c 1 .
- 18. 18 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Efectuando los productos, resulta L = 1 0 0 −a 1 0 −b 0 1 1 0 0 0 1 0 0 −c 1 = 1 0 0 −a 1 0 −b −c 1 . Vemos que L tiene forma triangular inferior y una diagonal de unos. Ahora vamos a deducir, a partir de los c´alculos anteriores, la regla pr´ac- tica para determinar L. Si analizamos la matriz L obtenida, vemos que en cada posici´on, por debajo de la diagonal, est´a el opuesto del multiplicdor usa- do para conseguir un cero en esa posici´on durante el desarrollo del m´etodo de eliminaci´on de Gauss (sin intercambios de filas) para la obtenci´on de la matriz triangular superior U. Por tanto, la regla pr´actica para obtener L es la siguiente: Se aplica a la matriz A el m´etodo de Gauss sin intercambios de filas; es decir, s´olo se usan transformaciones del tipo Fij(c). Cada vez que con una de estas transformaciones conseguimos un cero en cierta posici´on debajo de la diagonal, ponemos el opuesto del multiplicador usado en la citada posici´on de la matriz L. Ejemplo 1.7.1. Obtener una factorizaci´on LU para la matriz A = 1 2 −1 3 2 1 2 1 −1 . Con las transformaciones F21(−3) y F31(−2) conseguimos los ceros en la pri- mera columna por debajo de la diagonal. Los opuestos de los multiplicadores son 3 y 2, respectivamente. Entonces la matriz L tiene la forma provisional L = 1 0 0 3 1 0 2 − 1 ,
- 19. 1.7. FACTORIZACI ´ONLU DE UNA MATRIZ 19 mientras que la matriz A se ha convertido en 1 2 −1 0 −4 4 0 −3 1 . Finalmente, vamos a conseguir un cero en la columna segunda por debajo de la diagonal usando la transformaci´on F32(−3/4). Entonces U tiene la forma U = 1 2 −1 0 −4 4 0 −0 −2 . Para completar la matriz L, colocamos el opuesto del multiplicador que aca- bamos de emplear en la posici´on del cero que acabamos de conseguir y resulta L = 1 0 0 3 1 0 2 3/4 1 . La factorizaci´on LU obtenida es 1 2 −1 3 2 1 2 1 −1 = 1 0 0 3 1 0 2 3/4 1 1 2 −1 0 −4 4 0 −0 −2 . Ya sabemos c´omo se determina en la pr´actica una factorizaci´on LU de una matriz A. Pero durante la explicaci´on del procedimiento a seguir hemos obviado (conscientemente) la posibilidad de que podemos encontrarnos en un momento dado con un pivote nulo. Cuando esto ocurre no podemos continuar con la b´usqueda de la factorizaci´on LU, pues recu´erdese que no podemos usar intercambios de filas. Por ello, es conveniente disponer de un criterio f´acil de aplicar en la pr´actica para descubrir si, al aplicar el m´etodo de eliminaci´on de Gauss a una matriz A, todos los pivotes van a ser no nulos, en cuyo caso podremos determinar U y L por el procedimiento explicado. Damos sin demostraci´on el criterio siguiente.
- 20. 20 CAP´ITULO 1.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Teorema 1.7.2. Una matriz cuadrada A posee una factorizaci´on LU si y s´olo si todos los menores principales son no nulos. Recordemos que los menores principales de una matriz cuadrada son los determinantes de las submatrices formadas por las k primeras filas y colum- nas, siendo 1 ≤ k ≤ n. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Aplicar el m´etodo de eliminaci´on de Gauss para resolver los sistemas si- guienes: x + 2y − 5z = 2 2x − 3y + 4z = 4 4x + y − 6z = 8, −3x − 6y + 9z = 0 x + 4y + z = 6 2x + 8y + 3z = 13, 3x − y + z = −1 9x − 2y + z = −9 3x + y − 2z = −9. 2. Resolver el sistema x + 2y − z + 2w = 4 2x + 7y + z + w = 14 3x + 8y − z + 4w = 17. 3. Hallar la inversa de la matriz A = −1 2 1 0 1 −2 1 4 −1 . 4. Utilice pivoteo parcial para resolver el sistema −8x + y + 3z = 10 7x + 2y + 2z = 2 2x + 4y + 6z = 3. 5. Discutir y resolver, seg´un el valor de a, el sistema siguiente x − 3y + 2z = 4 2x + y − z = 1 3x − 2y + z = a.
- 21. 1.7. FACTORIZACI ´ONLU DE UNA MATRIZ 21 6. Discutir y resolver, seg´un el valor de a, el sistema siguiente x − 2y + 3z = 1 2x + ay + 6z = 6 −x + 3y + (a − 3)z = 0. 7. Resolver el sistema homog´eneo x − 2y + 3z = 0 2x + y + 6z = 0 5x − 5y + 15z = 0. 8. Determinar la inversa de la matriz A = 2 1 −2 4 −1 2 2 −1 1 . 9. Hallar una factorizaci´on LU de la matriz de coeficientes y usarla para resolver el sistema 2x + y = 1 y − z = 2 2 − x + y + z = −2. 10. Calcular el valor de a para que el sistema siguiente tenga soluci´on distinta de la trivial y resolverlo x − y + 2z = 0 −x + y − z = 0 x + ay + z = 0. 11. Estudiar el sistema x + y + z = 1 3x + 2y + z = −1 5x + 4y + 3z = a, seg´un los valores de a.