Documento de resolución de ecuaciones cuadráticas

1. RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Se tiene dos casos de sistemas de ecuaciones cuadráticas: el primero es un sistema
formado por una ecuación lineal y una cuadrática; y el segundo es un sistema formado por
dos ecuaciones cuadráticas.
Se puede encontrar sistemas formados por ecuaciones cuadráticas que pueden ser la
siguiente manera:
1. ax2
+ by2
= c
2. ax2
+ bxy + cy2
= d
SISTEMA FORMADO POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA ECUACIÓN
CUADRÁTICA
Gráficamente se tiene las siguientes soluciones:
Única solución Dos soluciones No hay solución
Si la ecuación lineal y
cuadrática se intersecan en un
solo punto, entonces existe
una única solución para el
sistema de ecuaciones.
Si la ecuación lineal y
cuadrática se intersecan en
dos puntos, entonces existe
dos soluciones para el
sistema de ecuaciones.
Si la ecuación lineal y
cuadrática no se intersecan
en nigún punto, entonces no
existe solución para el
sistema de ecuaciones.
Observación: en un sistema formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática no
se tiene el caso en donde exista “infinitas soluciones”, ya que los grafos nunca se van a
superponer, pues la ecuación lineal siempre será una recta, y la ecuación cuadrática será
una parábola, elipse, hipérbola, o circunferencia.
Analíticamente para resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas se puede utilizar el
método de suma y resta en el caso que haya una incógnita del mismo grado en común,
sustitución o igualación.
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
x2
= 9y
x – y = 2

2. Proposiciones Razones
1. x2
= 9y Dato
2. x – y = 2 Dato
3. x = 2 + y Despejo x en 2
4. (2 + y)2
= 9y Reemplazo x en 1
5. 4 + 4y + y2
= 9y Cuadrado de un binomio
6. y2
+ 4y – 9y + 4 = 0 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
7. y2
– 5y + 4 = 0 Términos semejantes
8. (y – 4) (y – 1) = 0 Trinomio x2
+ px + q
9. y – 4 = 0 v y – 1 = 0 T: a.b = 0 ⇔ a = 0 v b = 0
10. y1 = 4 v y2 = 1 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
11. x – 4 = 2 v x – 1 = 2 Reemplazo x en 2
12. x = 4 + 2 v x = 2 + 1 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
13. x1 = 6 v x2 = 3 Términos semejantes
Verificación:
x1 = 6, y1 = 4 x2 = 3, y2 = 1
x2
= 9y x2
= 9y
(6)2
= 9(4) (3)2
= 9(1)
36 = 36 9 = 9
x – y = 2 x – y = 2
6 – 4 = 2 3 – 1 = 2
2 = 2 2 = 2
Respuesta:
x1 = 6 x2 = 3
y1 = 4 y2 = 1
Observación: Si en los sistemas de ecuaciones cuadráticos, existieran las variables “xy” en
ambas ecuaciones, se procede a eliminarlas mediante el método de suma y resta.
SISTEMA FORMADO POR DOS ECUACIONES CUADRÁTICAS
Gráficamente se tiene las siguientes soluciones:
Única solución Dos soluciones No hay solución
Si las ecuaciones cuadráticas se
intersecan en un solo punto,
entonces existe una única solución
para el sistema de ecuaciones.
Si las ecuaciones cuadráticas se
intersecan en dos puntos,
entonces existe dos soluciones
para el sistema de ecuaciones.
Si las ecuaciones cuadráticas no
intersecan en ningún punto,
entonces no existe solución para
el sistema de ecuaciones.

3. Observación: en un sistema formado por dos ecuaciones cuadráticas, también se puede
tener el caso en donde exista “infinitas soluciones”, en donde los grafos serán iguales.
Sistemas formados por ecuaciones de tipo ax2
+ by2
= c
Un sistema de ecuaciones formado por dos ecuaciones de tipo ax2
+ by2
= c, se puede
resolver por el método de suma y resta, sustitución o igualación.
Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
x2
+ 2y2
= 3
3x2
- y2
= 2
Proposiciones Razones
1. x2
+ 2y2
= 3 Dato
2. 3x2
- y2
= 2 Dato
3. x =√3 − 2𝑦2 Despejo x en 1
4. x =√2 + 𝑦2 3⁄ Despejo x en 2
5. √3 − 2𝑦2 = √2 + 𝑦2 3⁄ 3 = 4
6. 3 − 2𝑦2
= 2 + 𝑦2
3⁄ n
√a = n
√b ⇔ a = b
7. 9 - 6y2
= 2 + y2
Eliminación de denominadores
8. -6y2
- y2
=2 - 9 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
9. -7y2
= -7 Términos semejantes
10. y2
= -7/-7 T: a.b = c ⇔ a = c/b; b ≠ 0
11. y2
= 1 Simplificación
12. y = √1 a2
= b ⇔ a = √b
13. y1 = 1 v y2 = -1 Def. (n
√a); n par
14. x =√3 − 2(1)2 v x =√3 − 2(−1)2 Reemplazo (y) en 3
15. x = √3 − 2(1) v x = √3 − 2(1) Def. (an
)
16. x =√3 − 2(1) a = 0 v a = 0 ⇔ a = 0
17. x = √3 − 2 Def. (x)
18. x = √1 Términos semejantes
19. x1 = 1 v x2 = -1 Def. (n
√a); n par
Verificación:
x1 = 1, y1 = 1 x2 = -1, y2 = -1
x2
+ 2y2
= 3 x2
+ 2y2
= 3
(1)2
+2(1)2
= 3 (-1)2
+ 2(-1)2
= 3
3 = 3 3 = 3
3x2
- y2
= 2 3x2
- y2
= 2
3(1)2
– (1)2
= 2 3(-1)2
– (-1)2
= 2
2 = 2 2 = 2
Respuesta:
x1 = 1 x2 = -1
y1 = 1 y2 = -1

4. Sistemas formados por ecuaciones de tipo ax2
+ bxy + cy2
= d
Un sistema de ecuaciones formado por dos ecuaciones de tipo ax2
+ bxy + cy2
= d, se
resuelve de la siguiente manera:
1. Se elimina el termino constante aplicando el método de suma y resta quedándonos una
ecuación del tipo ax2
+ bxy + cy2
= 0.
2. Se resuelve la ecuación que nos queda aplicando la fórmula general, en términos de x
obteniendo dos soluciones: y = px, y = qx, donde p,q son constantes.
3. Se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales los valores obtenidos
anteriormente, quedándonos dos ecuaciones que contengan a x.
4. Se resuelven para x cada una de estas ecuaciones y se obtienen las soluciones para cada
ecuación.
5. Se sustituye cada solución de la ecuación obtenida en y = px, obteniendo así los
correspondientes valores de y.
Observación: en este tipo de ejercicios se obtendrán raíces cuadradas por lo cual se
sugiere tomar la respuesta positiva y trabajar solo con dicha respuesta.
Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
3x2
+ xy - y2
= 1
x2
– 3xy + 2y2
= 3
Proposiciones Razones
1. 3x2
+ xy - y2
= 1 Dato
2. x2
– 3xy + 2y2
= 3 Dato
3. -9x2
- 3xy + 3y2
= -3 3x2
+ xy - y2
= 1 (-3)
4. -8x2
– 6xy + 5y2
= 0 2 + 3
5. 5y2
- 6xy - 8x2
= 0 Ax. conmutativo (+)
6. y1 =
6𝑥 + √(−6𝑥)2 − 4(5)(−8𝑥2)
2 (5)
; y2 =
6𝑥 − √(−6𝑥)2 − 4(5)(−8𝑥2)
2 (5)
Fórmula general
a = 5; b = -6x ; c = -8x2
7. y1 =
6𝑥 + √196𝑥2
10
; y2 =
6𝑥 − √196𝑥2
10
Def. (x) y términos semejantes
8. y1=
6𝑥 + 14𝑥
10
; y2 =
6𝑥 − 14𝑥
10
Def. (n
√a); n par (respuesta +)
9. y1 = 2x ; y2 = -4x/5 Términos semejantes y def. (÷)
10. x2
– 3x(2x) + 2(2x)2
= 3; x2
– 3x(-4x/5) + 2(-4x/5)2
= 3 Reemplazo (y) en 2
11. x2
– 6x2
+ 8x2
= 3; x2
+ (12x2
/5) + (32x2
/25) = 3 Def. (x); def. (an
) y TS
12. 3x2
= 3; 117x2
/25 = 3 Términos semejantes
13. x1 = √1; x2 = √25/39 T: a.b = c ⇔ a = c/b; b ≠ 0 y def. (÷)
14. x1 = 1 x2 = 5√39/39 Def. (n
√a) (respuesta +)
15. y1 = 2(1) y2 = -4(5√39/39)/5 Reemplazo x en 9
16. y1 = 2 y2 = -4√39/39 Def. (x)

5. Verificación:
x1 = 1, y1 = 2 x2 = 5√39/39, y2 = -4√39/39
3x2
+ xy - y2
= 1 3x2
+ xy - y2
= 1
3(1)2
+ (1)(2) – (2)2
= 1 3(5√39/39)2
+ (5√39/39)( -4√39/39) – (-4√39/39)2
= 1
1 = 1 1 = 1
x2
– 3xy + 2y2
= 3 x2
– 3xy + 2y2
= 3
(1)2
– 3(1)(2) + 2(2)2
= 3 (5√39/39)2
– 3(5√39/39)( -4√39/39) + 2(-4√39/39)2
= 3
3 = 3 3 = 3
Respuesta:
x1 = 1 x2 = 5√39/39
y1 = 2 y2 = -4√39/39
Sistemas formados por ecuaciones simultáneas
Los sistemas de ecuaciones formados por ecuaciones simultáneas como por ejemplo
ax2
+ bxy + cy2
= d y ax2
+ by2
= c, se resuelven por el método de sustitución.
Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
x2
+ y2
= 13
xy = 6
Proposiciones Razones
1. x2
+ y2
= 13 Dato
2. xy = 6 Dato
3. x = 6/y Despejo x en 2
4. (6/y)2
+ y2
= 13 Reemplazo x en 1
5. 36/y2
+ y2
= 13 Def. (an
)
6. 36 + y4
= 13y2
Eliminación de denominadores
7. y4
- 13y2
+ 36 = 0 T: a + b = c ⇔ a = c – b
8. (y2
)2
- 13y2
+ 36 = 0 (an
)m
= anxm
9. (y2
- 9) (y2
- 4) = 0 Trinomio x2
+ px + q
10. y2
– 9 = 0 v y2
– 4 = 0 T: a.b = 0 ⇔ a = 0 v b = 0
11. y2
= 9 v y2
= 4 T: a - b = c ⇔ a = c + b
12. y1 = 3; y2 = -3 v y3 = 2; y2 = -2 Def. (n
√a)
13. x1 = 6/3; x2 = 6/-3 v x3 = 6/2; x4 = 6/-2; Reemplazo (y) en 3
14. x1 = 2; x2 = -2 v x3 = 3; x4 = -3 Simplificación

6. Verificación:
x1 = 2, y1 = 3 x2 = -2, y2 = -3 x3 = 3, y3 = 2 x4 = -3, y4 = -2
x2
+ y2
= 13 x2
+ y2
= 13 x2
+ y2
= 13 x2
+ y2
= 13
(2)2
+ (3)2
= 13 (-2)2
+ (-3)2
= 13 (3)2
+ (2)2
= 13 (-3)2
+ (-2)2
= 13
13 = 13 13 = 13 13 = 13 13 = 13
xy = 6 xy = 6 xy = 6 xy = 6
(2)(3) = 6 (-2)(-3) = 6 (3)(2) = 6 (-3)(-2) = 6
6 = 6 6 = 6 6 = 6 6 = 6
Respuesta:
x1 = 2 x2 = -2 x3 = 3 x4 = -3
y1 = 3 y2 = -3 y3 = 2 y4 = -2
ECUACIONES SIMÉTRICAS
Las ecuaciones simétricas son de la forma: x2
+ y2
+ 2xy + x + y = 2
Se cumple que es simétrica si al intercambiar las variables que participan en la ecuación
como resultado esta sea la misma.
Sistemas formados por ecuaciones simétricas
Un sistema de ecuaciones formado por dos ecuaciones simétricas, se resuelve mediante
cambio de variable; se simplifica sustituyendo “x” por (a + b), y, “y” por (a – b) luego se
resuelve las ecuaciones para u y v.
Ejemplo 6: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
x2
+ y2
+ 3x – 3y = 4
5x2
+ 5y2
– 4x + 4y = 1
Proposiciones Razones
1. x2
+ y2
+ 3x – 3y = 4 Dato
2. 5x2
+ 5y2
– 4x + 4y = 1 Dato
3. x = a + b
y = a - b
4. (a + b)2
+ (a - b)2
+ 3(a + b) – 3(a - b) = 4 Cambio de variable en 1
5. 5(a + b)2
+ 5(a - b)2
– 4(a + b) + 4(a - b) = 1 Cambio de variable en 2
6. 2a2
+ 2b2
+ 6b = 4 Cuadrado de un binomio; ax. distri. (x) y TS en 4
7. 10a2
+ 10b2
- 8b = 1 Cuadrado de un binomio; ax. distri. (x) y TS en 5
8. -10a2
- 10b2
- 30b = -20 2a2
+ 2b2
+ 6b = 4 (-5)
9. -38b = -19 7 + 8
10. b = -19/-38 T: a.b = c ⇔ a = c/b; b ≠ 0

7. 11. b = 1/2 Simplificación
12. 2a2
+ 2(1/2)2
+ 6(1/2) = 4 Reemplazo b en 6
13. 2a2
+ 2(1/4) + 6(1/2) = 4 Def. (an
)
14. 2a2
+ ½ + 3 = 4 Def. (x)
15. 2a2
= 4 – ½ - 3 T: a + b = c ⇔ a = c – b
16. 2a2
= 1/2 Términos semejantes
17. a2
= ¼ T: a.b = c ⇔ a = c/b; b ≠ 0
18. a1 = ½; a2 = -½ Def. (n
√a); n par
19. x1 = ½ + ½
y1 = ½ - ½
Reemplazo a1 y b en 3
20. x2 = -½ + ½
y2 = -½ - ½
Reemplazo a2 y b en 3
21. x1 = 1
y1 = 0
Términos semejantes en 19
22. x2 = 0
23. y2 = -1
Términos semejantes en 20
Verificación:
x1 = 1, y1 = 0 x2 = 0, y2 = -1
x2
+ y2
+ 3x – 3y = 4 x2
+ y2
+ 3x – 3y = 4
(1)2
+ (0)2
+ 3(1) – (0) = 4 (0)2
+ (-1)2
+ 3(0) – 3(-1) = 4
4 = 4 4 = 4
5x2
+ 5y2
– 4x + 4y = 1 5x2
+ 5y2
– 4x + 4y = 1
5(1)2
+ 5(0)2
– 4(1) + 4(0) = 1 5(0)2
+ 5(-1)2
– 4(0) + 4(-1) = 1
1 = 1 1 = 1
Respuesta:
x1 = 1 x2 = 0
y1 = 0 y2 = -1