Este documento describe las relaciones binarias y sus representaciones. Una relación binaria existe entre dos elementos de dos conjuntos y puede representarse como pares ordenados o indicando que un elemento está relacionado con otro. Las relaciones tienen un dominio y un rango, que son los conjuntos de los primeros y segundos elementos de los pares ordenados, respectivamente. Las relaciones se pueden representar gráficamente mediante diagramas cartesianos o sagitales.

1. Realizado Por: José Luis Mogollón Barco
CDI: 23.852.228
78 (Informática)

2. Relaciones Binarias
Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos
conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b. Esta
relación se puede denotar de diversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo
denotamos como R(M)
Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el
conjunto.
Ejemplo: Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del
conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo de. De tal forma que, por ejemplo 4 está
relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2). En el caso de
no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos
elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.
Observación: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un
subconjunto del producto cartesiano AxB. Formas de representación: Para representar las
relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos: a) El diagrama cartesiano: donde
representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto.
Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas) o
por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas. b) Diagrama sagital o flechas
(mediante diagramas de Venn): representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y
representaremos las relaciones mediante flechas

3. Dominio
Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por
todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}
En consecuencia,
x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).
x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).
Rango
Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por
todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}
En consecuencia,
y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).
y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).
En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los
primeros y segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la
relación.
Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el conjunto Dom (R) = { a,
b, c} y rango a rango (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el primer componente de los pares
ordenados y 1,2,4,5 están en el segundo componente de cada par.

4. Representación Gráfica de las Relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagrama sagital o
por medio de puntos en el plano cartesiano.
Representación Cartesiana
Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas los
elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En el plano se
marcan los pares ordenados que conforma la relación. Esta representación alcanza su mayor
importancia cuando el conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.
Representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta, igual que la
matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representación
sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y el
de llegada. Luego se unen con flechas los elementos relacionados. Asi, la representación
sagital de la relación del ejemplo 8 es el siguiente diagrama de la izquierda
R
X y
a*
b*
c*
d*
d
*1
*2
*3
*4
*5
*5

5. Ejemplo
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla:
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Solución:
Los pares ordenados que cumplen con y = 2x + 1 son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y las gráficas correspondientes son las siguientes:

6. Matriz Binaria
Una Matriz es un conjunto de elementos organizados en forma rectangular por filas y
columnas. Las matrices tienen aplicaciones en diversas áreas con la geometría y el algebra, pero a
nivel de computación se usan fundamentalmente para la representación de arreglos o tablas de
información que es una de las formas principales como se introducen los datos en el computador.
Una matriz binaria, es una disposición rectangular de dígitos binarios (0, 1), formada por m
filas y n columnas; y al igual que las matrices algebraicas se dice que tienen un orden m x n. Si el
número de filas es igual al de columnas, se dice que la matriz es cuadrada. Se denota por letras
mayúsculas.
3 x 4 m = 3 filas y n = 4 columnas
Relación inversa
Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se
denota R-1. En consecuencia,
(y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R.
(y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R.
Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.
Ejemplo
Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por
R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }
R-1
= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }
Además domR-1
= { 1, 3, 4 } = rang( R)
Rang(R-1
)= { a, b, c } = dom( R)
A =
0 1 1 1
1 1 0 0
0 0 1 1

7. El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la misma
relación.
Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1
)-1
= R
Demostración
X(R-1
)-1
Y Û Y R-1
X definición de relación inversa
Û X R Y
Luego, (R-1
)-1
= R
Composición de relaciones
• Se puede construir una relación a partir de otras dos.
• Sintaxis: R;S , dadas R relación de tipo X ↔ Y y S de Y ↔ Z
x├→z ∈ R;S ⇔ ∃ y: Y • x ├→y∈ R ∧ y├→z ∈ S
• Transitividad. La relación R debe ser homogénea
Transitive[X] == {R: X ↔ X |∀ x,y,z:X • x ├→y∈ R ∧ y├→z ∈ R x├→z ∈ R}
• Relación de equivalencia Equivalence [X] = = Reflexive [X] ∩Symmetric [X] ∩Transitive[X]
• Clase de equivalencia. Sea una relación de equivalencia E sobre el conjunto X, para cada
elemento a la clase de equivalencia de a es el conjunto:{x: X • x ├→a ∈ E}
Observación
En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al
conjunto de partida de S. Este requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que el conjunto
de llegada de R esté contenido en el conjunto de partida de S.
Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R es inverso
al orden en que se dan R y S.
Ejemplo
Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }
Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por
R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,
S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }

8. Entonces:
SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }