Sobre Relaciones Binarias

1. Relación Binaria
El conjunto X es llamado conjunto de partida de la relación R; e Y es el conjunto de llegada.
En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es una relación de X en X, diremos que R es una
relación en X.
Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y) es un elemento de R, en lugar de escribir (x, y)
Î R, escribiremos X R Y y leeremos: "X está relacionado con Y", según la relación R".
Dominio y Rango
U1t1img4.4.jpgDefinición: Sea R una relación de X en Y El Dominio de R es el conjunto
Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y} El Rango o imagen de R es el conjunto Rang(R) = { y Î
Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }
En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los primeros y
segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la relación.
Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el conjunto Dom (R) = {
a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el primer componente de los
pares ordenados y 1,2,4,5 están en el segund componente de cada par.
Representacion grafica de Relaciones
Existen varias formas de representar gráficamente una relación. Las más usuales son las
siguientes: Representación Cartesiana, Matricial y Sagitaria.
si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }
Representación Sagital
se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representación sagital se obtiene
representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y el de llegada; uniendo
luego, con flechas, los elementos relacionados.
Matriz Binaria
se usa cuando los conjuntos de partida y de llegada de la relación son conjuntos finitos con
pocos elementos. Para obtener tal representación, se asigna a cada elemento del conjunto de
llegada una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una fila.
Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde a x con la columna que
corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario.

2. Relacion Inversa
Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de Y en X dada por: R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î
R} O sea, Y R-1 X Û X R Y
Es evidente que se verifica que: dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)
Composicion de Relaciones
Se llama composición de R con S a la siguiente relación de X en Z: X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S
Z
En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al conjunto
de partida de S. Este requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que el conjunto de
llegada de R esté contenido en el conjunto de partida de S.
Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R es inverso al
orden en que se dan R y S.
Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }
Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por
R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,
S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }
Entonces: SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }
1.X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T w
Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w
Û x ( ( T o S ) o R )w
Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R