Este documento explica conceptos básicos de grafos y relaciones como grafos, relaciones binarias, representaciones de relaciones, propiedades de relaciones como reflexividad y simetría, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia, particiones, funciones y tipos de funciones. El autor concluye que estos temas son importantes para sistemas computacionales por su uso en órdenes, detección de errores y agrupamiento de datos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal
Relaciones y Grafos
Juan Andrés Chacón
V-27353723
#47 Ing. Sistemas
Estructuras Discretas y Grafos
San Cristóbal, Junio de 2020

2. Introducción
 Hoy en día podemos ver muchas cosas que
nos pueden parecer de lo mas cotidianas,
carreteras, líneas telefónicas, líneas de
televisión por cable, el transporte colectivo
metro, circuitos eléctricos de nuestras casas,
automóviles, y tantas cosas mas; lo que no
pensamos frecuentemente es que estos
forman parte de algo que en matemáticas se
denomina como grafos.

 En este trabajo se tratará de explicar lo que

3. Grafo
 Informalmente, un grafo es un conjunto de
objetos llamados vértices o nodos unidos por
enlaces llamados aristas o arcos, que
permiten representar relaciones binarias
entre elementos de un conjunto.

 Típicamente, un grafo se representa
gráficamente como un conjunto de puntos
(vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

 Desde un punto de vista práctico, los grafos

4. Producto Cartesiano
 El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse
de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto
y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

5. Relación Binaria
 Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de
dos conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está
relacionado con b. Esta relación se puede denotar de diversas formas:
 1- Como pares ordenados (a, b).
 2- Indicando que aRb.
 3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
 Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un
conjunto lo denotamos como R(M)

6. Representaciones de Relaciones
 Cuando la cantidad independiente (entrada) y la cantidad dependiente (salida) son ambas
números reales, una relación puede ser representada por una gráfica de coordenadas. El valor
independiente se grafica en el eje x y el valor dependiente es trazado en el eje y. El hecho de que
cada valor de entrada tiene exactamente un valor de salida significa que las gráficas de relaciones
tienen ciertas características. Para cada entrada (coordenada x) en la gráfica, habrá exactamente
una salida (coordenada y).

 Por ejemplo, la gráfica de ésta relación, dibujada en azul, parece un semicírculo. Sabemos que y
es una función de x porque por cada coordenada x hay exactamente una coordenada y.

7. Representaciones de Relaciones
 Las tablas también pueden ser usadas para describir relaciones.
 Esta tabla representa una relación. Ninguno de los valores
independientes (x) están repetidos y cada uno corresponde a un
solo valor dependiente (y).

8. Diagrama de Flechas
 El Diagrama de Flechas indica el orden en que deben ser ejecutadas las
actividades de un proyecto, permitiendo planificar y controlar su
desarrollo.
 Para este fin, identifica las actividades que lo componen y determina su
ruta crítica, mediante una representación de red.
 El diagrama de flechas también es conocido bajo otras denominaciones,
como: actividad diagrama de red, diagrama de red, red de actividades,
diagrama de nodo, o método de la ruta crítica

9. Propiedades de las Relaciones
 Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el
conjunto A={1,2,3,4}.
 Propiedad reflexiva:
 Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si para todo x ∈ A
entonces (x,x) ∈ R. En otras palabras una relación es reflexiva si todo
elemento del conjunto sobre el que está definida, está
 relacionado consigo mismo.
 ∀ x ∈ A se cumple que (x,x) ∈ R.
 Ejemplo: R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
 Otro ejemplo: R2 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (1,4) }

10. Propiedades de las Relaciones
 Propiedad irreflexiva:
 Una relación R sobre un conjunto A es antirreflexiva si para
todo x ∈ A se cumple que (x,x) ∉ R, es decir que ∀ x ∈ A se
cumple que x no está relacionado consigo mismo.
 Ejemplo: R = { (1,2), (2,1), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }

11. Propiedades de las Relaciones
 Propiedad simétrica:
 Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si para todo
x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R
 entonces (y,x) ∈ R.
 Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R
entonces (y,x) ∈ R
 Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) }

12. Propiedades de las Relaciones
 Propiedad antisimétrica :
 Una relación R sobre un conjunto A es antisimétrica si para
todo x ∈ A, y ∈ A, si x R y e y R x entonces x=y.
 De nuevo: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y), (y,x) ∈ R entonces
x=y.
 Ejemplo:
R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
 Pregunta: Si el par (1,3) pertenece a la relación, ¿podría estar
el par (3,1)?
 Según la definición, si esta el (1,3) y está el (3,1) entonces
debería ser 1=3

13. Propiedades de las Relaciones
 Propiedad asimétrica:
 Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si para
todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces
 (y,x) ∉ R.
 Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R
entonces (y,x) ∉ R
 Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) }
 Los pares (n,n) no pueden estar, por definición. Las
relaciones asimétricas son antirreflexivas.

14. Propiedades de las Relaciones
 Propiedad transitiva:
 Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si para todo
x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R.
 ∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R.
 Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

15. Relación de Equivalencia
 La noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite
establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten
cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos
elementos en clases de equivalencia, es decir, “paquetes” de elementos
similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos
“añadiendo” todos los elementos de una misma clase como un solo
elemento que los representará y que define la noción de conjunto
cociente.

16. Clase de Equivalencia
 la relación de equivalencia R define subconjuntos disjuntos en K llamados clases
de equivalencia:
 Dado un elemento a ∈ K, el conjunto dado por todos los elementos relacionados
con a definen la clase:
 a = { b ∈ K | aRb}

 Se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a.

 Al elemento a se le llama representante de la clase.

 Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si
éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.

17. Particiones
 Una relación de equivalencia sobre un
conjunto induce una partición del mismo, es
decir, un conjunto en el que se ha definido
una relación de equivalencia puede ser
dividido en varios subconjuntos de elementos
equivalentes entre sí y tales que la reunión de
esos subconjuntos coincide con el conjunto
entero.

18. Cerraduras
 En muchas ocasiones una relación no cumple
alguna de las propiedades de equivalencia,
pero hay relaciones que la incluyen y que sí
cumplen la propiedad. De todas las relaciones
la menor posible se llama su cerradura.
 Sea R una relación en un conjunto A
 Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la
“menor” relación que la incluye y que es
reflexiva, con símbolos:
 (∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R
))

19. Funciones
 Se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera
depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es
función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del
radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre
dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la
velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente
proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la
duración) se la denomina variable dependiente, y la magnitud de la que
depende (el radio y la velocidad) es la variable independiente.

20. Tipos de Funciones
 La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o
contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente
clasificación:

21. Conclusión
 A mi punto de vista estos temas son
importantes para el área de sistemas
computacionales ya que en relaciones son
orden y divisibilidad entre números, las
relaciones de equivalencia entre los datos de
entrada de un programa en cuanto a la
detección de posibles errores de
programación, la relación de dependencia
entre las distintas fases producción en una
industria o la agrupación de datos aislados en
complejas bases de datos con relaciones de

22. Referencias
 https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
 https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia
 http://www.x.edu.uy/inet/RELACIONES_FUNCIONES.pdf
 http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/graph/graph_right.xhtml
 https://www.webyempresas.com/diagrama-de-flechas/
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