1) Una relación binaria R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B. El dominio de R es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados en R y el rango es el conjunto de las segundas componentes. 2) Las relaciones binarias pueden ser reflexivas, simétricas, antisimétricas o transitivas. Existen también las relaciones de equivalencia y de orden. 3) Una relación de equivalencia divide el conjunto en clases de equivalencia, cuyo conjunto se denomina conjunto cociente.

1. Relaciones Binarias
Sean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es un
subconjunto del producto
cartesiano A × B, en símbolos, R ⊆ A × B. Si A = B, diremos que R es
una relación binaria
definida en A y se identifica como un subconjunto de A2 = A × A.
Para indicar que un par ordenado (a, b) pertenece a la relación R suele
escribirse aRb, lo
que equivale a (a, b) ∈ R.

2. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION
Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en
símbolos:
DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algun b ∈ B}
El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares
ordenados que
pertenecen a R, en sımbolos:
RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algun a ∈ A}
Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R
entre los conjuntos
A y B dados:
⋄ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, donde A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4}.
⋄ R = {(x, y) ∈ A × B : |x · y| ≤ 6}, donde A = B = Z.

3. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
BINARIAS
Sea R una relación binaria definida en A, es decir, R ⊆ A2. Dicha
relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes
propiedades:
1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.
2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) /∈ R
3. Simetrıa: R es simetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.
4. Asimetrıa: R es asimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) /∈ R.
5. Antisimetrıa: R es antisimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒
x = y.
6. Transitividad: R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒
(x, z) ∈ R.

4. RELACIONES INVERSAS
Sea R una relacion de A en B. La relacion inversa de R es el subconjunto
de B×A definido por:
R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R}
COMPOSICI ON DE RELACIONES
Sean las relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, definiremos una relacion de
A en C, llamada composicion entre R y S, mediante
R ◦ S = {(a, c) ∈ A × C : (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S, para algun b ∈ B}
Propiedades:
1. Si R ⊆ A×B, S ⊆ B×C y T ⊆ C ×D son relaciones, entonces (R◦S)◦T =
R◦(S ◦T).
2. Si R ⊆ A × B y S ⊆ B × C son relaciones, entonces (R ◦ S)−1 = S−1 ◦
R−1.

5. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Sea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una
relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.

6. CLASES DE EQUIVALENCIA Y
CONJUNTO COCIENTE
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase
de
equivalencia de x, que se denotara por [x], se define como [x] = {y ∈ A : yRx}.
El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de
A por
la relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R.
Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a, b, c, d, e} y la relación de equivalencia
sobre
A determinada por
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (c, e), (e, c)}
se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son
[a] = [d] = {a, d}
[b] = [c] = [e] = {b, c, e}
y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a, d}, {b, c, e}}.

7. Propiedades: Si R es una relación de equivalencia
sobre un conjunto A, y x, y ∈ A, entonces:
• . x ∈ [x].
• . xRy ⇔ [x] = [y].
• . [x] = [y] ´o [x] ∩ [y] = ∅.

8. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Si A es un conjunto, entonces
(a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición
de A; y
(b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R
sobre A.
Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo,
es claro que el conjunto
cociente A/R = {{a, d}, {b, c, e}} es una partición del conjunto A =
{a, b, c, d, e}.
Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por
ejemplo, {{a, b}, {c, e}, {d}},
se tiene que ´esta representa al conjunto cociente A/¯R, donde
¯R es la relación de equivalencia sobre A determinada por
R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c)}

9. RELACIONES DE ORDEN
Sea R una relación binaria definida sobre un
conjunto A. Diremos que R es una relación de orden.
⋄ Parcial: si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva.
⋄ Total: si R es una relación de orden parcial y si para todo x, y ∈ A se
cumple que (x, y) ∈ R
o (y, x) ∈ R.
⋄ Estricto: si R es irreflexiva, asimetrica y transitiva.

10. Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1, 2, 3} y las relaciones
(a) R1 = {(a, b) ∈ A2 : a| b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} es
reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R1 es una relación de
orden parcial. Sin embargo, como 2, 3 ∈ A,
pero (2, 3) /∈ R1 y (3, 2) /∈ R1, entonces R1 no es una relación de
orden total.
(b) R2 = {(a, b) ∈ A2 : a 6 b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} ES
reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R2 es una relación de
orden parcial. Además, para todo
x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R2 o (y, x) ∈ R2, por lo que R2 es una
relación de orden
total.
(c) R3 = {(a, b) ∈ A2 : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es
irreflexiva, asimetrica y transitiva, por lo que R3 es una relación de
orden estricto.