Relaciones y Grafos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Escuela de Ingeniería de Sistemas
Barcelona, Julio del 2020
RELACIONES Y GRAFOS
Profesor: Alumno:
José Alejandro Castillo. Lisandro Aray.
C.I: 28.607.074

2. Introducci
ónEl origen de la palabra grafo es griego y su significado
etimológico es "trazar". Aparece con gran frecuencia como respuesta a
problemas de la vida cotidiana, algunos ejemplos podrían ser los siguientes
: un gráfico de una serie de tareas a realizar indicando su secuenciación (un
organigrama),grafos matemáticos que representan las relaciones binarias,
una red de carreteras, la red de enlaces ferroviarios o aéreos o la red
eléctrica de una ciudad.
En cada caso, es conveniente representar gráficamente el
problema dibujando un grafo como un conjunto de puntos(vértices)con
líneas conectándolos (arcos).

3. Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de
vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también
se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda
arista debe unir exactamente a dos vértices.
Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de
relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad
cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.
La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo.
Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los
caminos que pueda contener el mismo grafo.
RELACIONES Y GRAFOS

4. Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que se trata de una
operación entre dos conjuntos, de tal modo que se forma otro conjunto con todos los pares
ordenados posibles (el ejemplo utilizado en los conceptos es un producto cartesiano).
Por ejemplo:
dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del
conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado. Sus
elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.
Producto cartesiano

5. Relaciones
Relación `R' :
Es cualquier subconjunto de A×B que cumpla la definición de la relación en concreto.
Relación n-aria :
Cualquier subconjunto del producto cartesiano de A1× A2×...×An
(Una relación binaria sería una relación de A1×A2)

6. Propiedades de las relaciones
Reflexiva e Irreflexiva:
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £ A,
esto es, si a R e para todas las a e A.
Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £ A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo
mismo y es irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.
Por ejemplo:
* Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relación de igualdad en el conjunto A.
Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.
*Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A.
Entonces R es irreflexible, ya que (a, a) £ R para todas las x € A.

7. Simétrica y Asimétrica:
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a.
De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De
esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a =
b. Otra forma de expresar esta definición es diciendo que R es anti simétrica si cuando a ≠ b, se
tiene a R b o b R a.
De esto se sigue que R no es anti simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b
y b R a.

8. Por ejemplo:
Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c,a), (a,c)}

9. Transitiva:
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R
e, entonces a R c.
Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar elemento a, b y
c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Por ejemplo:
Sea A = Z el conjunto de los enteros y sea R la relación considerada en el ejemplo anterior.
Para ver si R es transitiva, se supone que a R b y b R c.
Por consiguiente, a < b; b < c.
Entonces se sigue que a < c, por lo cual a R c. De aquí que R sea transitiva.

10. Relaciones Binarias
La teoría de los grafos y en general la de la matemática discreta, están basadas en el
concepto de relación. Entendemos por relación la ligazón que une entes o nociones.
Una relación se denomina binaria cuando une entes de dos en dos. Y es de
equivalencia cuando cumple las siguientes propiedades:
a) Reflexiva: cuando un ente se relaciona consigo mismo.
b) Simétrica: cuando un ente Ei se relaciona con otro Ej implica que Ej se relaciona con Ei.
c) Transitiva: si Ei se relaciona con Ej y éste con Ek, implica que Ei se relaciona con Ek.
Aunque cada actor en la teoría actor-red está siempre relacionado consigo mismo,
esta propiedad no se contempla por ser trivial para los estudios ciencimétricos.
La propiedad simétrica se cumple en redes basadas en palabras asociadas y de
cocitas, pero no necesariamente en estudios de citación.
La propiedad transitiva se cumple solo casualmente.

11. Por ejemplo: Sea el conjunto AA y sea la siguiente relación:
R={(a,b)∈A×A|a es hermano de b}
¿Es una relación de equivalencia?
a es hermano consigo mismo, es reflexiva: (a,a) ∈R
Si a es hermano con b, entonces b es hermano con a, es simétrico:
(a,b)∈R, entonces (b,a)∈R
Si a es hermano con b y b es hermano con c, entonces a es hermano con c, esto
es transitivo:
(a,b) y (b,c) pertenecen a R, implica que (a,c) pertenece a R.

12. Relaciones de equivalencia
Cerraduras: Sea R una relación en un conjunto A.
Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye
y que es reflexiva.
Una cerradura simétrica sim( R ) de R en A es la “menor” relación que la
incluye y que es simétrica.
Una cerradura transitiva trans( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que
es transitiva.
La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de una relación es muy simple de
encontrar, solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa.
Cuando conocemos la matriz asociada a la relación, la forma de encontrar las
cerraduras anteriores es muy simple.

13. Clase de Equivalencia: Al conjunto de los elementos del conjunto A que están
relacionados con él se llama clase de equivalencia.
Por ejemplo:
La relación a - b = 2.k (múltiplo de 2), siendo a y b números enteros es una
relación de equivalencia porque cumple las propiedades:
Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0).
Simétrica: a - b = b - a porque b - a = -(a - b). Si a - b es múltiplo de 2, -(a - b) también lo
será.
Transitiva: a - b = 2.k1 b - c = 2.k2 Sumando queda a - c = 2.k3 Entonces a - c es
múltiplo de 2.

14. Particiones: Sea X un conjunto. P es una partición de X si y sólo si:
los conjuntos de P son disyuntos 2 a 2, es decir, si y
Entonces observe que si P es una partición de X, entonces todo elemento
de X está en uno y sólo un elemento uno y sólo un elemento de modo que parte
a en conjuntos disyuntos.
Por ejemplo: Sea ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Entonces = {{1, 9}, {2, 8}, {3, 4, 5, 6, 7}}
Es una partición de X en tres conjuntos:
elementos externos (1,9),
elementos semi-externos (2, 8)
elementos internos (3, 4, 5, 6, 7).

15. Note que Q = {{1, 2, 9}, {2, 8}, {3, 4, 5, 6, 7}} no es partición de X
(¿por qué?).
Como lo habíamos insinuado, resulta que toda relación de equivalencia
determina de manera natural una partición.
Representaciones de Relacio
Conjuntos:
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos
sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si
consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los
número primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

16. Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más.
En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además,
cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber
elementos totalmente idénticos repetidos.
Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}
S = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
Grafos:
Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos
unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binaria
entre elementos de un conjunto.

17. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos
(vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:
V es un conjunto de vértices o nodos
E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos
Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son
aplicables para grafos infinitos.
Se llama orden del grafo G a su número de vértices, | V | .
El grado de un vértice o nodo V es igual al número de arcos E que se encuentran en él.

18. Diagramas de Flechas:
Una forma de representar el producto cartesiano es el diagrama de flechas.
Escriba los elementos de a y los elementos de b en dos discos disyuntos, y luego
dibuje una flecha de ” a e a “ en ” b e b” cada vez que a este relacionado con b.

19. Representaciones de Relaciones
Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada
elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo
conjunto
El dominio es el conjunto de los números naturales, ℕ .
El recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores
que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o
dominio.

20. Funciones inyectivas:
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que
tengan la misma imagen.

21. Funciones sobreyectivas:
Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando
el codominio y el recorrido coinciden.

22. Funciones biyectivas:
Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

23. Conclus
iónEn numeroso problemas cuantificables, en las organizaciones, intervienen una serie de
elementos entre los entre los que se establecen unas relaciones; por ejemplo, los problemas
relacionados con posibilidades de comunicación (redes de comunicación y transporte) ,
relaciones de orden entre actividades (planificación de proyectos mediante PERT) o
estructuras de productos complejos (gestión de inventarios mediante MPR).
Los grafos son una herramienta que permite modelizar relaciones de esa naturaleza , de modo
que se pueda resolver problemas asociados a esas circunstancias, frecuentemente de forma
menos costosa que utilizando otras técnicas como la programación lineal.
Una buena compresión de la teoría de grafos pasa por nominar la nomenclatura y conceptos
asociados a estas representaciones de relaciones entre elementos, así como a sus diversas
formas de representación.

24. Bibliogr
afia
Gorbátov, V. A. (1986). Fundamentos de la matemática discreta. URSS: Moscú.
Sergio Cohaguila. ¿Qué es la relación de equivalencia?. Ciencias Básicas
JEAN-PAUL TREMBLAY. Matemáticas discretas – con aplicación a las ciencias de
la computación
ISBN: 0-070605142-6
RICHARD JOHNSONBAUGH. Matemáticas discretas
ISBN: 0-02-360720-3
RICHARD JOHNSONBAUGH. Matemáticas discretas-sexta edición. PEARSON
EDUCACIÓN, México, 2005
ISBN: 970-26-0637-3
Área: Universitarios
Formato: 21 x 27 cm paginas 696