relaciones binarias

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO TENGNOLOGICO
ANTONIO JOSE DE SUCRE
EXTENCION-BARQUISIMETO
NOMBRE: MAIRA
APELLIDO: MONTES DE OCA
C.I: 23.487.111

2. Definición
Sean los conjuntos A y B. Se llama relación binaria entre los conjuntos A y
B a un subconjunto del producto cartesiano AXB, cuyos pares cumplen con una
determinada proposición.-
O sea que si R es la relación entre los conjuntos A y B, entonces R AXB
Por ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {5,6}
(x, y) RAXB  xy
AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}
Teniendo en cuenta la definición de relación, debemos buscar en
el producto cartesiano aquellos pares donde la primera componente divida a la
segunda. O sea:
R = {(1,5), (1,6), (2,6), (3,6)}
Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y a B conjunto de
llegada. Al conjunto formado por todos los elementos de A que se relacionan con
los elementos de B se denomina Dominio, y al subconjunto de B que tienen
antecedentes en A se llama Imagen.-
O sea que el Dominio de la relación es el conjunto formado por todas las
primeras componentes de los pares de la relación, y la Imagen es el conjunto
formado por todas las segundas componentes de los pares de la relación.-
En nuestro ejemplo, se tiene:
D(R) = {1, 2, 3} y I(R) = {5,6}
Para graficar una relación, se la puede hacer de tres formas:
En diagramas de Venn: se dibujan los dos conjuntos y se unen con flechas los
elementos del conjunto de partida que se relacionan con el de llegada. En nuestro
ejemplo será:
Grafico de venn:

3. La otra forma de graficar una relación es utilizando un sistema de ejes
coordenados cartesianos, poniendo en el eje de las abscisas el conjunto de
partida, y en el de las ordenadas, el conjunto de llegada. Luego se trazan
paralelas al otro eje por cada uno de los puntos de los ejes, siendo el conjunto de
los puntos de corte el producto cartesiano. Ahora en esta gráfica, se encierran con
una curva cerrada los puntos que pertenecen a la relación.-
Por último, también se puede graficar en el sistema matricial (de matrices),
colocando al conjunto de partida en forma vertical y al de llegada en forma
horizontal. Luego en las intersecciones cuyos pares pertenezcan a la relación se
coloca el 1 y donde no, el 0. En nuestro caso será:
Grafico de sistema matricial:
Relación inversa grafico de sistema matricial
Sea una relación RAXB. Se dice que la relación R-1 es la relación inversa
de R, solamente sí R-1 BXA.-
O sea que R-1 = {(y,x)/(x,y)  R}
En nuestro ejemplo, la relación inversa es:
R-1 = {(5,1), (6,1), (6,2), (6,3)}
COMPOSICIÓN DE RELACIONES

4. Dada dos relaciones: RAXB y SBXC. Se llama relación compuesta a la
relación SoRAXC (R compuesto con S incluida en AXC) a la formada por los
pares que tienen como primera componente a las primeras componentes de los
pares de R y como segunda componente a la segundas de los pares de S,
siempre que las segundas componentes de los pares de R sean primera de los
pares de S.
O sea que:
SoR = {(x,z) / (x,y) R (y,z)S}
Dicho de otra forma:
(x,z) SoRAXC (x,y) R(y,z) S
Grafico de composición de relaciones:
Por ejemplo:
A = {1, 2, 3} B = {1,2,4} y
La relación R de AXB está formada por todos aquellos pares cuya segunda
componente sean el cuadrado de la primera.
La relación S de BXC está formada por todos aquellos pares cuya segunda
componente sean la mitad de la primera.
(x,y) RAXB y=x2

AXB = {(1,1)(1,2)(1,4)(2,1)(2,2)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)}
R={(1,1)(2,4)}

5. Partiendo de las definiciones, se tiene que la relación SoR de AXC, está
formada por todos aquellos pares cuya segunda componente sea la mitad del
cuadrado de la primera.