Matemáticas eléctricas

Electricidad

Primer Nivel

Instituto Tecnológico Superior
“del Oro”

Modulo
Matemáticas
Docente: Ing. Carlos Albán.

Estudiantes

Jordy Palacios
Luis Cueva
Javier Torres

Carrera: Electricidad
Nivel: Primero

Año Lectivo:
2013 – 2014 Semestre

Portafolio de Matemáticas

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Electricidad

Primer Nivel

.

En el desarrollo de este portafolio de “Introducción a las matemáticas”, se
elaborado para los estudiantes que están realizando el primer nivel de la
carrera “ELECTRICIDAD”; El mismo que nos servirá para ir adquiriendo
nuevos conocimientos para poder cumplir con nuestro objetivos que nos
hemos planteado.
Es un programa que ha sido creado en convenio con el estado, el mismo que
servirá para mejorar la calidad de los estudiantes, el cual los llevara a un
estándar de estudio de niveles avanzados que se están manejando en la
evolución de un nuevo cambio en lo que se refiere al estudio.
Su contenido esta dividido en diversos secciones relacionadas al
conocimiento de la “Introducción a las matemáticas”; los cuales ayudaran a
enriquecer los conocimientos en la practicas que se van desarrollando en
mismo durante todo este proceso.
Propongo a vuestra disposición y consideración este modesto texto de trabajo,
con la confianza de que sabrán acogerlo para revisarlo y hacer las
observaciones o sugerencias pertinentes, que aceptare con todo agrado .


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A través de la introducción a las matemáticas, el estudiante lograra las
competencias requeridas para aprender y aprender, para actuar como pensador
analítico, crítico, constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear su
propio desarrollo, entender y mejorar el entorno personal, familiar, social y
ecológico que le rodea.
El propósito de desarrollar este portafolio de “Introducción a las matemáticas”,
es de que el estudiante lograra una mejor comprensión en todo que se aplicado
durante toda la elaboración de este mismo.


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Índice:
Portada
Introducción
Objetivo
Índice
Diario de campo

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.
DERIVACIÓN DE FUNCIONES
Aplicación de la derivada
Bibliografía
Anexos


13
18
22
32
35
36
37

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RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES
(Cuadráticas)
Datos Informativos:
Fecha: Jueves 26 de septiembre del 2013.
Tema: Resolución de sistemas de ecuaciones
Desarrollo
Formula general:


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Datos Informativos:

Fecha: Lunes 30 de septiembre del 2013.
Tema: Resolución de Ecuaciones de Primer Grado.

Desarrollo


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K variable K

1)

2)
No es valida

3)

4)

5)


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No es válida
la ecuación el
3 no es igual
a cero.

6)

—


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Datos Informativos:
Fecha: Miercoles 2 de octubre del 2013.
Tema: Resolución de Ecuaciones cuadráticas.
Tienen la forma →
Desarrollo

Coeficientes

1)


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Otra solución e3s por el método de factorización.

2)

3)


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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA
Datos Informativos:
Fecha: Jueves 3 de octubre del 2013.
Tema: Geometría analítica.
Desarrollo
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras
geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un
determinado sistema de coordenadas.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras
geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u
otro tipo de expresión matemática.
La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le
corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le
corresponde un punto en un plano.

(Y)

III


O
R
D
E
N
A
D
A
S

(x)

Abscisas
IV

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Datos Informativos:

Fecha: Miercoles9 de octubre del 2013.
Tema: Resolución de pendiente.
Desarrollo


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Datos Informativos:

Fecha: Jueves10 de octubre del 2013.
Tema: Lugares Geométricos.
Desarrollo


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FUNCIONES
(Raíces, simetría par e impar)

Datos Informativos:
Fecha: Lunes 14 de octubre del 2013.
Tema: Resolución de funciones matemáticas.
Desarrollo
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido, también llamado rango o ámbito)
Encuentre la grafica de la F(x), las raíces, simetría par e impar de la siguiente
función matemática.


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Datos Informativos:

Tema: Graficas de funciones
(Raíces, simetría par e impar, punto de intersección y dominio
de la función).
Desarrollo
Graficar la siguiente función:


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Datos Informativos:

Fecha: Lunes 21de octubre del 2013.
Tema: Línea de una recta.
Desarrollo
Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de
intersección de las rectas.

1)
2)


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Datos Informativos:
Fecha: Miercoles 23 de octubre del 2013.
Tema: Prueba.
Desarrollo
Graficar la siguiente función:


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Datos Informativos:

Fecha: Lunes 28 de octubre del 2013.
Tema: Resolución de la función de circunferencia.
Desarrollo
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y
es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
El centro y el radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los
puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia
(la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano
Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo
centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

¿Qué significa esto?


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En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada
con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la
podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como
una ecuación matemática.
Así la vemos

Así podemos expresarla
Donde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
También se usa como
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier
punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y
la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la
circunferencia C(a, b).
Nota importante:
Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.
Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos
encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o
dibujarla.
Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos
para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.
Cuadrado del binomio
Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy
importante para lo que sigue:
El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b)
(a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.
Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en
forma matemática representa una circunferencia).
De la ecuación ordinaria a la ecuación general:
Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado
por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando
dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a
cero, tendremos:
x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería
x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:


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─ 2a = D,
─ 2b = E,
a 2 + b2 ─ r 2 = F
la ecuación quedaría expresada de la forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la
Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.
Si D = ─ 2a

entonces

Si E = ─ 2b

entonces

Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces
Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una
circunferencia es que:
a2 + b2 ─ F > 0

(a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)

Nota:
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 +
b2 ─ r2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
A modo de recapitulación
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos
construir su ecuación ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la
conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.
Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 , debemos consignar
que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la
ecuación queda reducida a:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2
x2 + y2 = r2
EJERCICIOS.
1. Escriba la ecuación de la circunferencia de centro (-3;-5) y de radio igual
a 7.


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2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7;-6) y
que pasa por el punto A (2; 2).


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Datos Informativos:
Tema:
Desarrollo
1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7; -5) y
cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.
7x-9y-10=0

Reemplazando 2 en 1


(

2x-5y 2=0

)-9y-10=0

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Reemplazo:

X=4
Calculamos el radio:

2. Hallar la longitud de la circunferencia.

l.c= 2π.r


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+

-

+

=

=3

h=
k=
r=
l.c= 2π.r
l.c= 2 π ( )
l.c= 10.9u

3. Resolver la ecuación lineal.
=

-

MCD
(X-2)(X-7) = (2X-5)(X+1) - (X-2)(X+7)
–(

)

=
-x+5=0
-x=-5
X=5


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Datos Informativos:
Fecha: Jueves 7 de noviembre del 2013.
Tema: Límites de una función.
Desarrollo
Límites de una función.
El límite de la función f(x) en el punto x 0 , es el valor al que se
acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se
acercan al valor x 0 . Es decir el valor al que tienden las imágenes
cuando los originales tienden a x 0 .
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x 2 en el punto x 0 = 2.

x

1,9

3,61

1,99

3,9601

1,999

3,996001

...

...

↓

↓

2

4

x


f(x)

f(x)

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2,1

4.41

2,01

4,0401

2,001

4,004001

...

...

↓

↓

2

4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las
imágenes se acercan a 4.
Se

dice

que

la

función f(x) tiene

como

límite

el

número L ,

cuando x tiende a x 0 , si fijado un número real positivo ε , mayor que
cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para
todos los valores de x distintos de x 0 que cumplen la condición|x −
x 0 | < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.


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También podemos definir el concepto de límite a través de
entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos,
por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x 0 , E δ (x 0 ),
cuyos elementos (sin contar x 0 ), tienen sus imágenes dentro del
entorno de L, E ε (L)


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DERIVACIÓN DE FUNCIONES
(Aplicación de la derivada)
Datos Informativos:
Fecha: Sábado 16 de noviembre del 2013.
Tema:
Desarrollo
La derivada de una función f, es una función denotada por
x del dominio de f está dada por:

tal que para cualquier

si este límite existe.
Si

es un número del dominio de f, entonces:

si este límite existe.
El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o
diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el
cual se obtiene a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se
dice que es una función diferenciable.
Ejercicios resueltos 2.
2.1) Determine la derivada de

aplicando la ecuación (B).

Solución:


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2.2) Determine la derivada de la función
Solución:
Apliquemos la ecuación (B),


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2.3) Determine la derivada de la función
Solución.
Aplicando la ecuación (B), tenemos,

Otras notaciones para la derivada de una función f son:


y

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 Geometría Analítica de Charles Lehmann ( Varias páginas)
https://www.google.com.ec/#q=geometria+analitica+de+lehmann
 http://www.youtube.com/watch?v=1WzS4FuxKbA
 http://es.scribd.com/doc/101180131/Geometria-Analitica-Lehmann
(Libro
de
Charles Lehmann)
 http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Geometria_analitica.html
 http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_atica/matematicas/GEOME
TRIA/index.html
 http://www.youtube.com/watch?v=IXbYxE-KcUc
 http://matematica1.com/funcion-valor-absoluto-ejercicios-resueltos-en-pdf-yvideos/




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