Eje 3 marco teorico def

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA
SEMINARIO UNIVERSITARIO
MARCO TEORICO
EJE TEMÁTICO III: FUNCIONES
[Contenidos: Funciones . Producto cartesiano. Relaciones. Definición de función.
Representación gráfica. Clasificación. Inversa de una función. Ceros o raíces. Algunas
funciones especiales.
Función lineal. Concepto. Representación gráfica. Condición de paralelismo y
perpendicularidad. Aplicaciones. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Clasificación de acuerdo al conjunto solución. Interpretación gráfica. Método de
resolución analítica: sustitución, igualación, determinantes. Problemas.
Funciones de segundo grado. Concepto. Concavidad. Desplazamientos verticales de la
gráfica. Análisis de diferentes funciones. Cálculo del vértice. Ordenada al origen.
Discriminante. Formas de escribir la función. Ecuaciones de segundo grado. Forma
general. Ecuaciones de segundo grado incompletas. Ecuaciones completas. Problemas.]
Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan
cuenta de lo complicada que es la vida.
John Von Neumann
COORDINADORA MODULO MATEMATICA: ING.DURE,DIANA ANALIA

MODULO DE
MATEMATICASEMINARIO UNIVERSITARIO
Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA
MODULO MATEMÁTICA Página 2
FUNCIONES –INTRODUCCION
Este Módulo tiene un tema central: las correspondencias entre variables, a las que llamamos
funciones. Pero tiene un objetivo que va más allá del tema funciones: es mostrar, a través de ellas, que
la Matemática es una herramienta que permitirá analizar y entender mejor muchas situaciones que se
presentan en la vida cotidiana.
Temperaturas a lo largo de un día
Hemos tomado nota de las temperaturas anunciadas por radio a lo largo de un día de
invierno en Resistencia, desde las 5 a las 22 y 30, obteniendo los siguientes datos:
Hora
del día
5 6,15 7 8,45 9,30 12 16 18 21 22,30
Temperatura
(en grados C)
0 -2 -2,4 -1,8 2 8,3 12,1 9,2 7 6
Podemos ver que temprano en la mañana hizo “bajo cero”; que hacia el mediodía la temperatura había
aumentado varios grados; que a las 7 la temperatura fue más baja que a las 6 y cuarto, etc.
Teniendo en cuenta los datos de la tabla, responda las siguientes preguntas:
1. A las 21 hizo 7 grados. ¿Habrá hecho esa misma temperatura en algún otro momento del día?
2. ¿Cuál habrá sido la temperatura aproximada a las 17?.
3. La mínima que registramos fue - 2.4. ¿Habrá sido la mínima del día?
Responder a estas preguntas habría resultado quizá más sencillo si previamente hubiésemos graficado
los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos ortogonales.
Observe la gráfica y responda las siguientes preguntas:
i. ¿En qué momentos del día la temperatura aumentó y en cuáles disminuyó?
ii. ¿Cuándo hizo 0º? ¿Y 5º?.
Situación
La tabla presenta en
poco espacio y con
comodidad de lectura la
información que
recogimos.
Las gráficas permiten apreciar con facilidad relaciones entre datos.

MODULO DE
iii. Ni la tabla ni la gráfica nos indican qué pasó antes de las 5 ni después de las 22.30. Esos
horarios están fuera del dominio en el que registramos datos. ¿Podríamos realizar algún
suposición respecto de la temperatura para esos horarios?
La temperatura varía en forma continua, no a los saltos. En nuestra tabla no parece haber habido
cambios bruscos. Por estas dos razones hemos trazado una poligonal uniendo los puntos de los datos.
También podríamos unirlos con una curva “suave”. Esta gráfica es precisa en los horarios en que
registramos la temperatura, y aproximada en los demás momentos del día.
El estudio de funciones permite conocer variaciones, estimar qué sucede en
valores intermedios, y a veces predecir más allá de esos valores.
Siempre hay una relación de dependencia entre las dos variables que intervienen en una función:
La temperatura depende de la hora del día (si no se modifican los vientos, la humedad, etc.)
Diremos que la temperatura es la variable dependiente, y que la hora es la variable
independiente.
PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B ,que se simboliza AxB, es el conjunto de todos los
pares ordenados que tienen como primer componente un elemento de A y como segunda componente
un elemento de B.
En símbolos: ( ){ }ByAx/y,xAxB ∈∧∈=
{ } { }VerdeRojoBSuRamonJaimeA ,,, == y
Formar los pares ordenados tomando como primeras componentes los elementos del
conjunto A y como segundas componentes los elementos del conjunto B.
AxB= {(Jaime, Rojo) ;(Jaime, Verde);(Ramón, Rojo);(Ramón, Verde);(Su, Rojo);(Su, Verde)}
RELACIONES
Definimos una Relación entre A y B al Subconjunto no vacío del Producto Cartesiano AxB,
formado por todos los pares ordenados (x, y), tales que x e y están vinculados mediante una
determinada propiedad P (x, y) → ( ) ( ){ }y,xPBy,Ax/y;xlRe ∧∈∈=
Sean los conjuntos
{ } { }11;10;9;8;6;475,3,2 == ByA y
( ){ }y"dedivisoresx"∧∈∈= ByAxyxR ,/,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10;5;9;3;6;3;10;2;8;2;6;2;4;2=R
Las relaciones pueden ser representadas en forma gráfica (representación cartesiana) o por diagramas.
Representación cartesiana: Tomamos los conjuntos A y B del ejemplo anterior,
Para recordar
Recordemos
Ejemplo
Ejemplo

MODULO DE
Diagrama: Cada par de una relación se representa por una flecha y la relación está representada por el
conjunto de flechas.
{ } { } },,,,,= {Bgo} Ran,,,= {AAlcance 111098647532 ==
Dominio: },,,,= {agen},,Df= { 109864Im:Im532
Resumiendo:
A : conjunto de salida B: Conjunto de llegada
Queda establecida una
correspondencia biunívoca
entre los pares ( x ; y) y los
puntos del plano ya que
éstos pueden ser
representados mediante
coordenadas y las
coordenadas, a su vez,
determinan la posición de
un punto del plano.

MODULO DE
La figura siguiente es la grafica de la relación:
Cada punto del plano es un par ( ) lyx Re; ∈ ; todos ellos constituyen la grafica de la relación.
Obsérvese que las escalas elegidas para las rectas se adecuan a fin de obtener una representación
proporcionada.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(0,0)
(1,1)
(1,-1)
(4,2)
(4,-2)
(9,3)
(9,-3)
Abscisas
Ordenadas
Origen de Coordenadas(0;0)
A
B
C
D
E
F
G
...........................
......
.........
................................
.........................................................
...........................................................
x:
y:
x 0 1 4 9
y 0 1± 2± 3±
Ptos. A B-E C-F D-G
Ejemplo
Definamos cada uno de estos conjuntos, con el fin de poder identificarlos:
a) Alcance: El alcance es el conjunto de partida.
b) Rango: El rango es el conjunto de llegada o segundo conjunto de la relación .
c) Dominio: El dominio está formado solamente por todos aquellos elementos o valores del alcance
que tienen imagen en el segundo conjunto. El dominio es un subconjunto del alcance.
{ }ByxfyAxDf ∈∧=∈= )(/
d) Imagen: El conjunto Imagen está formado solamente por todos aquellos elementos o valores del
rango que son imágenes de elementos del dominio. El conjunto imagen es un subconjunto del
conjunto rango, y puede o no ser igual a este último. En otras palabras, el conjunto imagen es el
conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.
( ) { })(/Im xfyAxByfIf =∧∈∃∈=
( ){ }xyZyZxyxl ±=∈∈= ,,/;Re
Sobre ambos ejes
se elige una unidad
y en relación con
ella se ubican los
números reales
como en el ejemplo.

MODULO DE
El conjunto alcance se representa sobre el eje horizontal (X) llamado eje de las abscisas.
El conjunto rango se representa sobre el eje vertical (Y) llamado eje de las ordenadas.
DEFINICIÓN
Se denominan funciones a ciertas relaciones en las cuales todos los elementos del conjunto de
partida tienen una y solo una imagen.
¿Cuándo una relación es función?
Una relación es una función si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento
del conjunto imagen”
f(x)y/By!A,x: =∈∃∈∀⇔→ funciónesBAf
Entonces f es una función de A en B (denotado BA:f → y se lee “f es una función de A en B”) si y
sólo si, se verifican las condiciones de existencia y unicidad, a saber:
EXISTENCIA: Todos los elementos del conjunto de salida o alcance ,deben tener imagen en el
conjunto de llegada o rango. Por lo tanto: )(/, xfyByAx =∈∃∈∀
UNICIDAD: Todos los elementos del conjunto de salida o alcance ,deben tener una única
imagen en el conjunto de llegada o rango. Por lo tanto:
)()(:, 212121 xfxfxxAxx ≠⇒≠∈∀∀
¿Cómo se representan las funciones?
A través de los ejemplos hemos visto diferentes formas de representar una función:
Una explicación con palabras comunes o lenguaje coloquial, mediante una descripción detallada
del comportamiento de cierta variable a partir de la cual se pueden determinar otras variables.
La nafta que consume un auto varía con la cantidad de kilómetros que recorre. Si viaja
por una ruta sin detenerse y sin grandes cambios en la velocidad, su consumo es
parejo. Supongamos que un coche gasta 6 litros cada 100 km.
Una tabla de valores, que a veces sólo aporta información parcial sobre la función:
Tabla de valores
Una fórmula algebraica:
El volumen V de un cubo cuya arista mide x metros es igual a : ( ) 3
xxV =
Por medio de un gráfico:
X 1 -1 2 -2
2
)( xxf = 1 1 4 4
Si se trata de una función real, a la variable "x" perteneciente al dominio se la llama variable
independiente, mientras que a la variable "y" perteneciente al conjunto imagen se la llama variable
dependiente.

MODULO DE
La gráfica de f consiste en todos los
puntos ( )yx, del plano coordenado tales
que )(xfy = y " x " esté en el dominio
de la función. En los ejemplos dados hemos
visto distintas gráficas.
La gráfica de una función f sirve para
obtener una imagen útil del comportamiento
o “la historia” de una función.
CLASIFICACIÓN
FUNCION INYECTIVA: Una función BAf →: es inyectiva cuando a elementos distintos del
dominio le corresponden imágenes distintas. En símbolos:
BAf →: es inyectiva ⇔ )()(:, 212121 xfxfxxAxx ≠⇒≠∈∀∀
FUNCION SOBREYECTIVA o SURYECTIVA : Una función BAf →: es sobreyectiva cuando
el conjunto imagen es igual al rango. Esto significa que todo elemento del rango es imagen de, por lo
menos, un elemento del dominio. En símbolos:
BAf →: es sobreyectiva )(/, xfyAxBy =∈∃∈∀⇔
FUNCION BIYECTIVA: Una función BAf →: es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva
simultáneamente. En símbolos:
BAf →: es biyectiva f⇔ es inyectiva f∧ es sobreyectiva
Clasificar la función de la figura.
De la gráfica surge:
La función de la figura no es
inyectiva porque para
; 321 xyxx
bxfxfxf === )()()( 321
(tienen todos la misma imagen).
Es no suryectiva porque al
analizar los valores de la
variable dependiente " y"
,vemos en el ejemplo que por
debajo del valor V no hay
imágenes.
La función de la figura no es biyectiva.
Ejemplo
f(x)=x^3-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

MODULO DE
Para definir una función necesitamos establecer:
El dominio
La Imagen.
La ley de relación entre x e y
O sea ( )xfy/BA:f =→
| a) sea xyRRf 2/: =→
La función es biyectiva
f(x)=2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
(1,2)
(2,4)
(3,6)
(-1,-2)
(-2,-4)
b) Sea xyZZf 2/: =→
Es el conjunto de puntos (aislados)
situados sobre la recta anterior .
Es función inyectiva pero no sobreyectiva
,ya que los enteros impares no son
imagen de ningún elemento del dominio.
Estudiaremos la siguiente función cuadrática (parábola):
2
/: xyRRf =→
Representamos la función mediante una Tabla de Valores
La clasificamos :
X 1 -1 2 -2
2
)( xxf = 1 1 4 4
Para recordar
Para pensarlo
Ejemplos
La clasificación de una
función en inyectiva o no
inyectiva , sobreyectiva o
no sobreyectiva está
sujeta a los conjuntos de
partida y de llegada que
se consideren.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
(1,2)
(2,4)
(3,6)
(-1,-2)
(-2,-4)

MODULO DE
Es no inyectiva porque los elementos 21 y xx
tienen la misma imagen:
1)1()1(1)()( 21 =−=→== ffxfxf
Es no sobreyectiva o suryectiva. porque
los ∉ℜ−
al subconjunto imagen.
Por lo tanto es no biyectiva
Hallamos su Dominio: ℜ∈Df
Hallamos su imagen: { }0/ ≥ℜ∈= yyIf .
Graficamos la función:
FUNCION INVERSA
Sea )(/:)(/: 11
xfyABfxfyBAf −−
=→⇒=→
Sea 3/:3/: 1
−=ℜ→ℜ⇒+=ℜ→ℜ −
yxfxyf
Hacemos un cambio de variables para que en esta
nueva función sea x la variable independiente e
y la variable dependiente.
Luego 3/:1
−=ℜ→ℜ−
xyf
Hemos dicho que la única función que admite
función inversa es la biyectiva.
Es la única que satisface la definición :
ABf →−
:1
. Por ser inyectiva asegura que
los elementos de B tendrán imagen en A .
Por ser suryectiva asegura que todos los
elementos de A serán imagen de algún
elemento de B.
La parábola 222
+=→−= xyyx de la figura, no es la gráfica de
una función porque, como se ve, hay líneas verticales que intersecan dos veces la parábola;
La función BAf →: admite función inversa si y solo si es biyectiva.
La única función que admite inversa es la función biyectiva.
Se simboliza: ABf →−
:1
Ejemplo
f(x)=x+3
f(x)=x-3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f-1
(x)
f(x)
Recordemos
f(x)=x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
X1X2
----------------
--------- f(x1)=f(x2)
Para recordar

MODULO DE
₪
CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN
Los ceros o raíces de una función son aquellos
valores del dominio cuya imagen es cero.
¿Cómo hallamos los ceros de una función dada
su fórmula?.
Analicemos la función :
4)(/: 2
−=ℜ→ℜ xxff .
Estamos buscando los valores de x para los
cuales y vale cero (0); por lo tanto , escribimos:
04)( 2
=−= xxf
Nos quedó planteada una ecuación que
deberemos resolver para responder a nuestra
pregunta .En este caso los ceros de la función
son: 22 −=∧= xx
Representaremos gráficamente la función
2=→ y/RR:f . Esta función se denomina
función constante, ya que toma el mismo valor para
todo punto de su dominio
Algunas Funciones Especiales
f(x)=-(x+2)^(1/2)
f(x)=(x+2)^(1/2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
O
P
PRUEBA DE LA RECTA
VERTICAL
Una curva en el plano xy es
la gráfica de una función de
x si y sólo si ninguna recta
vertical interseca a la curva
más de una vez.
En la gráfica se puede ver la
validez de la prueba de la
recta vertical.
Si observamos los puntos O y
P, la curva no puede
representar una función
porque se asignan dos
valores distintos al mismo
valor de x .
f(x)=X^2-4
-6 -4 -2 2 4 6
-5
5
x
y
Raiz
x1
x 2 Raiz
(-2,0)
(2,0)
f(x)=2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
6
8
x
y

MODULO DE
Si tenemos, xy/RR:f =→ , obtenemos una
función tal que para cada x corresponde el mismo valor
de y. Se denomina función identidad
Recordando el concepto de valor
absoluto, podemos trazar la función
xy/RR:f =→ , llamada
función valor absoluto o módulo.
Ésta función no se puede definir en una
sola expresión, por lo tanto se debe
escribir por separado según sea x mayor
o menor que cero.



<−
≥
==→
0
0
/:
xsix
xsix
xyRRf
Otra función que puede ser expresada en forma similar a
la anterior es la llamada función signo que se define:
Ya hemos visto la representación de la función
3/: 2
+=→ xyRRf , ésta recibe el nombre de
parábola cuadrática.
f(x)=x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=x^2-3x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=- x
f(x)=x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
2
4
6
8
x
y





<−
=
>
==→
01
00
01
)(/:
xsi
xsi
xsi
xsigyRRf
o bien :
0x;
x
)(/: ≠==→
x
xsigyRRf

MODULO DE
La función polinómica de tercer grado
3
xy/RR:f =→ , también llamada parábola cúbica se
representa:
f(x)=x^3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
En la siguiente figura podemos ver la
función hiperbólica, que se define
como:
{ }
x
yRRf
1
/0: =→−
Observemos que para x = 0 no está
definida. Para x acercándose a cero por
los valores positivos, la función crece sin
cesar (puede decirse que tiende a ∞+ ),
mientras que para x tendiendo a cero
por valores negativos, la función decrece
sin cesar (puede decirse que tiende a -
∞ ).
Esto es:
−∞→→
∞+→→
−
+
yentoncesx
yentoncesx
,0
;,0
f(x)=1/x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

MODULO DE
FUNCION LINEAL
¿Qué son las funciones lineales?
En una factura de gas se lee:
El primer renglón nos indica que siempre hay un gasto fijo de 7,74$, aunque no usemos el gas.
El segundo renglón dice que esa casa consumió, en el período facturado, 111 m
3
y que se cobran
aproximadamente 0,15$ por m
3
consumido.
Nos proponemos construir una tabla que muestre el costo aproximado en $ en función del consumo de
gas.
Tenga en cuenta que la empresa de gas sólo factura aproximando a m
3
enteros.
Si tomáramos la situación real de consumo, veríamos que la tabla sólo nos informaría sobre algunas
cantidades, pero en este caso no sobre todas las cantidades posibles, que son infinitas, ya que entre dos
números reales siempre hay infinitos números. Por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 están 0.13, 0.167, 0.16725,
etc.
La fórmula, en cambio, nos permitirá calcular el costo real para cualquier valor de gas
consumido. Recuerde que no es lo que factura la empresa.
.g,,C 150747 += Donde C es el costo en $ y g es el consumo de gas en
3
m
f(x)=7.74+0.15x
-100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400
-20
20
40
60
x
yCosto en $
Gas en m3
El primer secreto de un gráfico, para que sea claro y útil, está en la elección de las escalas en
los ejes. Antes de trazar un gráfico, se deben prever las escalas que convendrá utilizar.
Situación
En nuestro gráfico hemos
marcado de 50 en 50 m
3
en
el eje horizontal (eje de
abscisas) y llegado hasta
300 m
3
, que parece un
máximo razonable en una
casa.
El dominio de la función es el
conjunto de los números de
0 a 300 m
3
,o el intervalo
(0; 300).
En el eje vertical (eje de
ordenadas) se debía abarcar
desde 7,74 hasta 52,74y se
optó por dividir de 10 en 10.

MODULO DE
Las funciones lineales son aquellas donde la variable (x) aparece, a lo sumo, con exponente uno
y sus gráficas son rectas no verticales.
O bien:
Las funciones cuya gráfica es una recta se llaman funciones lineales.
Se expresan: baxxf +=)( donde ℜ∈ba y
:a Representa la pendiente de la recta y nos indica su inclinación.
:b Ordenada al origen, es el valor que toma la función para 0=x e indica el punto donde la
recta corta al eje y
:x Variable independiente.
:y Variable dependiente
Si 526 =− yx es la ecuación de una recta, para la expresión explícita se despeja y ; en
este caso
2
5
3 −= xy ; el coeficiente de x es la pendiente 3=a y el término independiente
es la ordenada al origen
2
5
−=b .
Para elaborar la tabla de valores tomamos tres puntos de manera de tener la certeza de
no haber cometido errores.
Cada coordenada “y” se obtiene reemplazando el valor propuesto de “x” en la expresión explícita de la
recta. Así, para obtener “y3” del punto P3(x3, y3) se reemplaza en
2
5
3 −= xy por
2
5
1.3 −=y =
2
1
x 0
6
5
1
y
2
5
− 0
2
1
Punto P 





−=
2
5
;01P 





= 0;
6
5
2P 





=
2
1
;13P
EL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN LINEAL ES LA RECTA DE ECUACION baxxf +=)(
Ejemplo
f(x)=3x-(5/2)
Series 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
Pendiente
a=3
b= - 5/2Ordenada al origen P1
P2
P3
------
Los puntos que
pertenecen a la
recta se escriben: P
( )yx,

MODULO DE
Graficar una recta (sin tabla):
Para graficar una recta se debe tener en cuenta la pendiente de
la misma y la ordenada al origen.
Grafiquemos la recta: y = 2 x + 1
El valor de la pendiente determina el recorrido de la recta, el numerador indica el
desplazamiento vertical y el denominador indica el desplazamiento horizontal que realizaremos.
La ordenada al origen es (0, 1), y es lo primero que
ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el
concepto de pendiente, subimos dos unidades (como el valor
es positivo vamos en sentido positivo del eje Y; de ser
negativo bajaríamos) y nos desplazamos una unidad hacia la
derecha (sentido positivo del eje X). Por esos dos puntos
trazamos la recta.
Condición de paralelismo y perpendicularidad:
Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente y diferentes ordenadas al origen.
2211 bxayebxay +=+=
Dos rectas paralelas forman el
mismo ángulo con el eje X.
Son paralelas porque 21 aa =
Para pensarlo
f(x)=2x+1
1 2
1
2
3
4
x
y
2
|
|
|
|
|
|
----------------------
1
---
--- (0,1)
Dos rectas son perpendiculares si sus
pendientes son opuestas y recíprocas:






−=
2
1
1
a
a
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
y=a1x+b1
y=a2x+b2
)
90°
-4 -2 2 4 6
-5
5
x
y
y=a1x+b1
y=a2x+b2
) )a1 a2

MODULO DE
Siendo las funciones: xyxy
2
1
2
5
2
1
21 =∧+= determinar si son paralelas.
Como 2121
2
1
2
1
aaaa =⇒=∧= por lo tanto son paralelas.
Aplicaciones de las funciones lineales:
Estas funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, como ser:
problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de
astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
En economía empleamos la función para relacionar la oferta y la demanda, que son dos de las
relaciones fundamentales en cualquier análisis económico.
En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales:
• Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del
tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)
• Longitud de la circunferencia en función del radio.
¿Qué relaciona a las funciones
polinómicas con los polinomios y
las ecuaciones?
Toda función polinómica en una variable del tipo:
RRxP →:)( / 01
1
1 ...)( axaxaxaxP n
n
n
n ++++= −
−
Se define por una expresión algebraica llamada polinomio, que
tiene la forma:
01
1
1 ...)( axaxaxaxP n
n
n
n ++++= −
−
Hallar los ceros de una función polinómica (también llamados
raíces de la función) es hallar los valores de la variable cuya imagen es igual a cero. Esto determina
escribir una ecuación:
f(x) = P(x) = 0
Ejemplo
Para pensar
f(x )=(1 /2 )x +(5 /2 )
f(x )=(1 /2 )x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
y1
y2
y1 // y2
a 1 =a 2
f(x)=2x-4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
Raíz
f(x)

MODULO DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
Un grupo de alumnos de jardín de infantes van al cine junto a algunas madres y la
maestra. La entrada de los adultos cuesta $7 y la de los niños $4,50. A la salida van
todos a tomar algo a una confitería. Todos los adultos toman café, que cuesta $1,50, y
los niños toman una gaseosa, que cuesta $2,50. Si pagaron $153 en el cine y $63,50 en
la confitería, ¿cuántos niños y cuántos adultos fueron al cine? .
Analicemos en principio qué queremos averiguar: Necesitamos saber cuántos adultos y cuántos niños
hay. Llamamos x a la cantidad de adultos e y a la cantidad de niños; sobre x e y tenemos ciertas
condiciones:
“La entrada de los adultos cuesta $7 y la de los niños,$4,50”.” Si pagaron $153 en el cine :
(1)15350,47 =+ yx
“Todos los adultos toman café, que cuesta $1,50 y los niños toman gaseosa que cuesta $2,50”.
Pagaron en la cafetería $63, 50.
(2)50,6350,250,1 =+ yx
Tenemos entonces dos ecuaciones, cada una con dos variables, x e y que deben cumplirse
simultáneamente.
A esto llamaremos sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Clasificación de los sistemas:
Para encontrar el conjunto solución S se utilizan los métodos de sustitución, igualación,
resolución por determinantes, grafico, etc.
La representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales puede resultar en que:
a) Las rectas se intersecan en el punto S
La solución es la intersección de 21 RyR → );( 1121 yxRRS =∩=
Sistema es Compatible determinado si su conjunto solución está formado por un solo punto,
es decir una Solución única.
La solución del sistema grafico será: { })2;1(=SEjemplo
Situación
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es buscar soluciones comunes a todas
las ecuaciones lineales con dos incógnitas:





=+
=+
...........................
222
111
cybxa
cybxa
Una solución de un sistema de ecuaciones es un punto (x,y) que verifica todas las ecuaciones.
El conjunto solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto formado por todos los puntos (x,y)
que son solución de todas las ecuaciones.



=−
=+
13
52
yx
yx
f(x)=(5/2)-(1/2)x
f(x)=3x-1
Series 1
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
R2
S=(1,2)
x=1
y=2

MODULO DE
b) Las rectas tienen más de un punto en común, o sea que ambas rectas coinciden.
La solución está formada por todos los puntos de la recta 2121 RRRRS ==∩= .
El sistema es Compatible Indeterminado si su conjunto solución tiene infinitos( ∞) puntos.
La solución es el conjunto:
4
5
2
1
/),( 2
+−=ℜ∈= xyyxS
c) Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común.
Este caso no tiene solución, { }.21 =∩= RRS
El sistema es Incompatible si su conjunto solución es vació ∅=S .
La solución es el conjunto: { }=S
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas



=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
a) Método de sustitución
Para emplear el método de sustitución comenzamos despejando
una incógnita de una de las ecuaciones (cualquiera de ellas).
En este caso podemos despejar x de la primer ecuación (1)
f(x)=(5/4)-(1/2)x
f(x)=(5/4)-(1/2)x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Y1 Y2
Y1=Y2
a1=a2
f(x)=2x-2
f(x)=2x+3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
R1
R2
R1// R2
a1=a2
S={}



+=
−=
32
32
xy
xy
yx
yx



=+
=+
1084
542
Ejemplo
Ejemplo
Recordemos
Ejemplo
(a)
2
35
532
y
xyx
−
=⇒=+




−=−
=+
2
1
2
1
3
532
yx
yx




−=−
=+
(2)
(1)
2
1
2
1
3
532
yx
yx

MODULO DE
A continuación, en la otra ecuación ( en este caso (2) sustituimos x por la expresión obtenida en (a).
Queda planteada una ecuación de primer grado con una incógnita: y.
Al resolverla obtenemos el valor de esta incógnita:
Por ultimo se sustituye la incógnita hallada en cualquiera de las dos ecuaciones iníciales o en la
expresión (a), calculando así el valor de la incógnita restante:
b) Método de Igualación
En primer lugar, se despeja la misma incógnita en las dos
ecuaciones .Si se despeja x, tendremos:
Luego ambas expresiones se igualan, ya que xx = ⇒
2
5
27
y
y
+−
=+−
Al resolver esta ecuación obtenemos el valor de y
35414
5)27(2
2
5
27
=⇒+−=+−
+−=+−⇒
+−
=+−
yyy
yy
y
y
El valor de la otra incógnita puede calcularse reemplazando en las expresiones (1) o (2) el valor “ y”
obtenido:
Este sistema es compatible determinado y su solución es:
2
1
2
1
-
2
35
.3 −=




 −
y
y
5
8
2
1
2
1
2
9
2
15
2
1
2
35
.3 =⇒−=−−⇒−=−




 −
yy
y
y
y
2
1












==
=
−
=
−
=→
−
=
5
8
10
1
10
1
10
1
2
5
24
5
2
5
8
.35
2
35
;Sx
x
y
x
essistemadelsoluciónLa
Ejemplo



=+−
−=−
52
72
yx
yx
(2)
(1)
2
5
5252
2772
y
xyxyx
yxyx
+−
=⇒−=−⇒=+−
+−=⇒−=−
1
167327
27
-x
--)(-x
yx
=
=+=+=
+−=
{ }3,1-=S

MODULO DE
c) Método de determinantes (Regla de Cramer)
Dado el sistema:



=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
con los coeficientes se forma una estructura
llamada determinante general → 1
22
1
ba
ba
=∆
De los elementos 1a y 2b se dice que están sobre la diagonal principal del determinante y
de 2a y 2b que están sobre la diagonal secundaria. El valor numérico de un determinante se obtiene
calculando el producto de los elementos que están sobre la diagonal principal y sumando a este número
el opuesto del producto de los elementos que están sobre la diagonal secundaria.
Podemos formar tres determinantes para resolver el sistema:
22
11
ba
ba
=∆ = 1221 .. baba − llamado determinante general
22
11
bc
bc
x =∆ = 1221 .. bcbc − llamado determinante de “x”
.
22
11
ca
ca
y =∆ = 1221 .. caca − llamado determinante de “y”
Con los tres valores resultantes se calcula el valor de la incógnita “x”:
∆
∆
=
x
x
y el valor de la incógnita “y” :
∆
∆
=
y
y
Sea el sistema:



−=+
=+
442
234
yx
yx
22
11
ba
ba
=∆ = 106163.24.4
42
34
=−=−=
22
11
bc
bc
x =∆ =
44
32
−
= 201283).4(4.2 =+=−−
22
11
ca
ca
y =∆ =
42
24
−
= 4.(-4)-2.2=-16-4=-20
Ejemplo
Importante: Este método de determinantes o Regla de Cramer
se puede aplicar si el determinante general es distinto de cero

MODULO DE
Por lo tanto el valor de x = 2
10
20
==
∆
∆x
mientras que el valor de y = 2
10
20
−=
−
=
∆
∆y
El conjunto solución es { }2,2 −=S
También pueden utilizarse los sistemas para plantear y resolver problemas.
Problema:
Supongamos que el perímetro de un rectángulo es de 36 cm y la diferencia entre la
base y la altura es de 4 cm. Se desea calcular el área del la figura.
Perímetro: 2x + 2y = 36 Diferencia entre x e y: x – y = 4
Formando el sistema de ecuaciones



=+−
=+
4
3622
xy
yx
Las rectas determinadas por las ecuaciones son:



−=
+−=
4
18
xy
xy
Si igualamos ambas funciones para calcular x:
11
418
184
=
+=+
+−=−
x
xx
xx
Reemplazando este valor en cualquiera de las funciones obtenemos el valor de y
71811 =⇒+−= yy
Luego el área es
2
77711 cmcm.cmA ==
Si tenemos dos o más ecuaciones que deben resolverse simultáneamente, decimos que se ha
formado un sistema de ecuaciones.
Si todas las ecuaciones que forman parte del sistema son ecuaciones lineales (aquellas cuya
representación gráfica es una recta) se tiene un sistema de ecuaciones lineales.
₪
Área = x . yy
x
Recordemos
Ejemplo

MODULO DE
FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO
El precio de un espejo cuadrado depende de su tamaño y de si incluye marco de madera
o no. El metro cuadrado de espejo cuesta $ 30 y el metro lineal de marco de madera
cuesta $ 25 ¿Cuánto cuesta un espejo de 1 m de lado con marco? ¿Y uno de 2 m sin
marco? ¿Cuánto cuesta un espejo de 2,5 m de lado con marco? ¿Con $ 367,50 de qué
medidas se puede comprar un espejo sin marco? ¿Y si se quiere el espejo con marco?
¿Cuál es la fórmula que permite determinar el costo (en $) de un espejo cuadrado con
marco, en función de la medida (en m) de su lado?
Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una de ellas es hacer una tabla colocando
las posibles medidas del lado del espejo y, a partir de ellas, calcular el precio del espejo solo, el precio
del marco y el costo total.
Por ejemplo, un espejo cuadrado de 1 m de lado lleva 1 2
m de espejo solo y 4 m de marco de
madera; por lo tanto, su costo surge de sumar $ 30 del metro cuadrado de espejo y $ 25
por cada metro lineal de marco, o sea, $ 100. Entonces, el espejo de 1 m de lado con marco cuesta $
130.
De manera similar puede calcularse el costo para otras medidas de lados.
₪
La funciones que están representada por expresiones cuadráticas se denominan funciones
cuadráticas y tienen la forma:
0RcRbRy ≠∧∈∧∈∧∈++=→ aacbxaxxfRRf 2
)(/:
donde a es el coeficiente del término cuadrático
b es el coeficiente del término lineal
c es el término independiente
1. Si representamos gráficamente la función
2
)(/: xxff =ℜ→ℜ
Para graficar la función ƒ es útil hacer una tabla de valores, pero se puede anticipar que
su gráfica contiene puntos cuyas ordenadas sólo toman valores positivos o bien cero
pues los valores se obtienen elevando x al cuadrado.
x 0 1 -1 2 -2 3 -3
2
)(/: xxff =ℜ→ℜ 0 1 1 4 4 9 9
Situación
Ejemplo
Una característica a destacar de esta gráfica es que a valores opuestos del dominio les
corresponde la misma imagen, es decir f(x) = f(–x). Se dice entonces que el eje y es eje de simetría.
Es una función no inyectiva y no sobreyectiva

MODULO DE
f(x)=x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
a=1
y= x2
Vértice
Función
2
)( axxf =
Representa una función cuadrática. 2
)(/: axxff =ℜ→ℜ
Para el valor arribahaciaorientadasestánramassuscóncava,escurvala⇒> 0a
f(x)=x^2
f(x)=4x^2
f(x)=(1/6)x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
2
4
6
8
x
y
y=4x2
y=1/6 x2
a>1
a=1
a>0 indica concavidad
y=x2
a<1
La representación
grafica es una curva
denominada
parábola.

MODULO DE
Para el valor abajohaciaorientadasestánramassusconvexa,escurvala⇒< 0a
f(x)=-x^2
f(x)=- 4x^2
f(x)=-(1/6)x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
x
y
y=-4x2
y= - 1/6 x2
a>1
a=1
a<0 indica concavidad
y= - x2
a<1
Desplazamientos verticales de la gráfica
Para hallar la fórmula de funciones como y ℜ→ℜℜ→ℜ :: hg
conociendo su representación gráfica, las comparamos con
2
)(/: xxff =ℜ→ℜ
La gráfica de
2
xay = , es una parábola en la que a actúa como un factor de escala. Si se compara
la gráfica de 2
)( xaxg = con la de 2
)( xxf = resulta que la gráfica de g(x) comparada con f(x) es:
Igual a la de ƒ, si a = 1.
Igual a la de ƒ pero convexa, si a = –1
Más cercana al eje Y y cóncava , si a > 1.
Más separada del eje Y y cóncava , si 0 < a < 1.
Más separada del eje Y pero convexa, si –1 < a < 0.
Más cercana al eje Y pero convexa, si a < –1.
El dominio de ambas funciones es ℜ
La gráfica de una función de fórmula caxxt += 2
)( tiene la misma forma que la gráfica de la función
de fórmula
2
)( xxf = , pero desplazada c unidades hacia arriba, si c es positivo, o c unidades hacia
abajo, si c es negativo. En estos casos varía la posición del vértice de la parábola pero no varía el eje de
simetría que es el eje Y.

MODULO DE
Es posible reconocer que en la función g(x) todos los valores de las imágenes han disminuido
dos unidades, por lo que la gráfica se desplazó dos unidades hacia abajo. Esto quiere decir que la
fórmula de la función g(x) es la de f(x) menos dos. En símbolos: 22)()( 2
−=−= xxfxg
Si ahora se compara h(x) con f(x) será: 22)()( 2
+=+= xxfxh que corresponde a una
parábola desplazada 2 unidades hacia arriba respecto de la gráfica de f(x).
Función bxaxxf += 2
)(
Si graficamos la función:
xxxf 4)( 2
−=
Todas las funciones de fórmula bx)( 2
+= axxf tienen una raíz en x = 0. Luego, todas pasan por el origen
de coordenadas. El término lineal "bx" representa el desplazamiento lateral de la parábola respecto del origen
de coordenadas.
El punto cuya ordenada representa el valor máximo (o bien el valor mínimo) de la parábola se llama vértice y
sus coordenadas son ),( vv yxV
f(x)=x^2-4x
-2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Raíz
Raízx2x1
Vértice V=(xv;yv)
E
j
e
de
s
i
m
e
t
r
í
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
f(x)=x^2-2
f(x)=x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
2
4
6
8
x
y
g(x)= x2-2
Vértice
f(x)=x2
Ejemplo
El eje de simetría:
Es la recta que tiene por
ecuación vxx =
Para que un producto sea cero alguno de sus factores debe ser 0
En símbolos: a . b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0
f(x)=x^2+2
f(x)=x^2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=x2
h(x)=x2
+2?

MODULO DE
Función cbxaxxf ++= 2
)(
Dada la función 34)( 2
++= xxxf determinar el vértice, los ceros de la función y su
gráfica.
Si a los ceros de la función cuadrática f (x) los denominamos 21 xx ∧ , entonces es posible calcular el vértice
de la parábola ),( vv yxV = de la siguiente manera:
a
b
x
xx
x vv
22
21
−=∨
+
= luego la coordenada )( vv xfy =
En nuestro ejemplo:
)1,2(
13)2(4)2()(
2
1.2
4
2
41
2
−−=
−=+−+−==
−=−=−=
==
V
xfy
a
b
x
;ba
vv
v
Para calcular las raíces se utilizan la fórmulas:
{ })1,3(
1.2
3.1.4
2
4
1.2
3.1.4
2
4
2
1
−−=
==
−
=
−−
=
=
+
=
−+
=
−+−
=
S
a
ac
x
a
ac
x
-3
2
12-16-4-(4)-4-b-b
-1
2
12-164-(4)4-bb
22
22
f(x)=x^2+4x+3
-5 -4 -3 -2 -1
-3
-2
-1
1
2
3
4
x(-3,0) (-1,0)
(-2,-1)
(0,3)
V=(xv;yv)
V=(-2;-1)
-----------------------------
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eje de simetría
x1
x2
Raíz Raíz
Ordenada al origen
xv
yv
En general, para graficar una parábola podemos seguir los siguientes
pasos:
a) Analizamos su concavidad, es decir: Si a > 0, entonces es cóncava (U);
Si a < 0, entonces es convexa (∩)
b) Hallamos sus raíces:
( ) ( )
a
cabb
x
a
cabb
x
2
.4
;
2
.4
2
2
2
1
−−−
=
−+−
=
c) Determinamos el eje de simetría:
a
b
x
xx
xxx vvv
22
21
−=∨
+
=⇒=
Ejemplos
Para recordar
Ordenada al origen:
Es el punto de intersección
de la gráfica con el eje Y,
es decir que si
cfx =⇒= )0(0

MODULO DE
d) Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola ),( vv yxV =
e) Hallamos la intersección con los ejes:
La intersección con eje x es coincidente con los valores de las raíces: (x1, 0) ; (x2, 0) ;
La intersección con el eje y es coincidente con la ordenada al origen
cfx =⇒= )0(0 :(0; y).
En caso que 21 xx ∧ existan, coinciden con las raíces reales; si son raíces complejas, la función
no interseca al eje de las abscisas
f) Luego marcamos en un sistema de ejes coordenados cartesianos los valores hallados y los unimos
Respecto de las raíces podemos decir que el valor cab ..42 − ,
llamado el discriminante ( )∆ puede ser positivo, negativo o nulo.
i. Si 040 2
>−→>∆ acb entonces la gráfica corta al eje X en dos puntos (tiene dos raíces reales y
distintas).
ii. si 040 2
=−→=∆ acb , la raíz es múltiple 212,1
2
xx
a
b
x =→




 −
= (las dos raíces son reales e
iguales) y la gráfica toca al eje X precisamente es ese punto.
iii. si 040 2
<−→<∆ acb la gráfica no corta al eje X ya que no hay raíces reales.
Gráficamente:
f(x)=x^2+4x+8
f(x)=x^2-4x+4
f(x)=-x^2+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(1,0)(-1,0)
x1=x2
b2-4ac<0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
x1
x2
Para pensar

MODULO DE
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Una ecuación en la cual el mayor exponente al que aparece elevada la variable es dos y los
demás exponentes son todos naturales se denomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.
Para construir una caja se recortan las cuatro esquinas de una plancha de cartón
cuadrada, tal como se muestra en el dibujo. Cada recorte es un cuadrado de 4 cm de
lado. Luego se pliegan los bordes hasta obtener la caja, sin tapa. Cuánto debe medir
cada lado de la plancha de cartón para que la caja tenga un volumen de 33 856 ?
Para resolver este problema se puede
suponer que el lado de la plancha
cuadrada mide a (en cm).
Se plantea la ecuación del volumen, que
es la superficie de la base multiplicada
por la altura de la caja.
La base es cuadrada de lado "a" menos
los dos recortes de 4 cm cada uno.
La altura es la del recorte de 4 cm.
Por lo tanto será: ( )( )4.2.4.2.4 −−= aaV = ( )4.64162
+− aa = 256644 2
+− aa
Y como el valor del volumen está establecido en el enunciado escribiremos: 256644 2
+− aa = 33856 cm
3
Hemos planteado así una ecuación de segundo grado que, de ser resuelta, nos permitirá calcular las
dimensiones de la caja.
₪
Una ecuación de segundo grado es aquella cuya forma general es:
002
≠∧ℜ∈∧ℜ∈∧ℜ∈∧=++ acbacbxax
donde a es el coeficiente del término cuadrático
b es el coeficiente del término lineal
c es el término independiente
Ecuaciones de segundo grado incompletas:
Si b=0,la ecuación es incompleta de la forma 02
=+ cax
Tener en cuenta que: x2
=x






−∨=
−=∨=
=⇒=
=⇒=−
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
9
25
9
25
0
3
25
3)
21
2
22
S
xx
xx
xxaEjemplos
Plantear la
situación:
{ }2323
2323
2318
6
3
06
3
)
21
2
22
−∨=
−=∨=
=⇒=
=−⇒=+−
S
xx
xx
xx
b -

MODULO DE
Si c=0, la ecuación es incompleta de la forma 02
=+bxax
{ }40
40
404
0
0)4(2
042)
21
2
1
2
∨=
=∨=



=⇒=−
=
⇒=−
=−
S
xx
xx
x
xx
xxa
Ecuaciones de segundo grado completas:
Si la ecuación es completa, significa que ninguno de sus coeficientes es nulo o sea : 02
=++ cbxax
y los valores de x que la verifican se determinan mediante:
( ) ( )
a
cabb
x
a
cabb
x
2
.4
;
2
.4
2
2
2
1
−−−
=
−+−
=
El análisis del discriminante
xxxx∆
xxxx∆
xxxx∆
ac-b∆





ℜ∉∧ℜ∉∧≠⇒<
ℜ∈∧ℜ∈∧=⇒=
ℜ∈∧ℜ∈∧≠⇒>
=
2121
2121
2121
2
0
0
0
:Si
4
a) 122201222 2
−=∧−=∧=⇒=−− cbaxx
0>∆
Raíces: 23
4
102
4
9642
2.2
)12.(2.4)2(2
; 21
2
21 −==⇒
±
=
+±
=
−−−±
= xyxxx
b) 9610962
=∧−=∧=⇒=+− cbaxx
0=∆
Raíces: 3
2
06
2
36366
1.2
9.1.4)6()6(
; 21
2
21 ==⇒
±
=
−±
=
−−±−−
= xxxx
c) 4320432 2
=∧=∧=⇒=++ cbaxx
0<∆
Raíces: { }φ=⇒ℜ∉∧⇒
−±−
=
−±−
=
−±−
= Sxxxx 21
2
21
4
233
4
3293
2.2
4.2.4)3(3
;
Ejemplos
{ }30
30
303
0
0)3(
03)
21
2
1
2
∨=
=∨=



=⇒=+−
=
⇒=+−
=+−
S
xx
xx
x
xx
xxb
Ejemplos
Tener en cuenta que: 000 =∨=⇒= nmm.n
Recordar
{ }=S

MODULO DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
A. El cuadrado de un número sumado a su duplo da 8. ¿Cuál es dicho número?
Plantear una expresión que permita resolver el problema:
x es el número desconocido , se establece que 822
=+ xx
Se calculan las raíces de la ecuación 0822
=−+ xx : 24 21 =∧−= xx
Se verifica que ambos valores satisfagan la ecuación.
Al plantear situaciones físicas hay que hacer una interpretación de las soluciones calculadas
dado que puede ocurrir que alguna de ellas no tenga sentido físico, no obstante tener sentido
algebraico.
B. Susana debe confeccionar manteles rectangulares para las mesas de un comedor escolar. No tiene
aún las medidas exactas pero sabe que en todas ellas el largo es igual al doble del ancho. Además
calcula que alrededor de cada mantel necesita 10 cm más de tela para el volado y el dobladillo.
¿Cuál es la expresión que permite calcular la cantidad de tela que necesita para cada mantel en
función de la medida del largo de las mesas?
Solución:
Hagamos un esquema para representar la situación:
Necesitamos calcular la cantidad de tela o sea la
superficie de los manteles.
Recordemos que la superficie de un rectángulo
se calcula con la fórmula: alturabaseS por=
Según los datos , la base es igual a 2x más 20 cm que
corresponden a los 10 cm que hay que dejar a cada lado
para volados y dobladillo y el ancho es igual a x más 20
cm, también para volados y dobladillo.
Remplazando estos datos en la fórmula de la
superficie se obtiene la siguiente expresión: S = (2x + 20) · (x + 20)
Aplicando propiedad distributiva:
400602
40020402
2
2
++=
+++=
xxS
xxxS
Siendo x el ancho de las mesas.
Sólo resta hallar las raíces y verificar los resultados.
₪

Eje 3 marco teorico def

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (6)

Similar a Eje 3 marco teorico def

Similar a Eje 3 marco teorico def (20)

Más de Diana Dure

Más de Diana Dure (7)

Último

Último (20)

Eje 3 marco teorico def