Este documento describe la geometría del universo, incluyendo la geometría local y global. La geometría local se refiere a la curvatura espacial y puede ser plana, esférica u hiperbólica según el parámetro Omega. La geometría global cubre la topología del universo observable y más allá, y puede ser finita o infinita.

1. La forma del universo es un nombre informal de un tema de investigación que busca determinar la
morfología del universo dentro de la cosmología física, que es la ciencia encargada de estudiar el
origen, la evolución y el destino del Universo. Los cosmólogos y los astrónomos describen la
geometría del universo incluyendo dos modalidades: la geometría local, es decir, aquella referida a la
forma del universo observable, y la geometría global que trata de describir el espaciotiempo del
universo completo. Su estudio está vagamente dividido en -entre otras disciplinas científicas- curvatura
y topología, aunque estrictamente hablando su investigación incluya a ambos temas.
Geometría local (curvatura espacial)
La geometría local es la que corresponde a la curvatura que describe cualquier punto arbitrario en el
universo observable (hecho un promedio sobre una escala suficientemente grande). Muchas
observaciones astronómicas, tales como las de una supernova y las de la Radiación de fondo de
microondas, muestran un universo observable bastante homogéneo e isótropo, y se deduce que su
expansión se está acelerando. En la Relatividad General, esto está modelado por la Métrica de
Friedman-Lemaître-Robertson-Walker. Este modelo, que puede ser representado por las Ecuaciones de
Friedmann, proporciona una curvatura (a menudo llamada geometría) del universo basado en las
matemáticas de la dinámica de los fluidos, por ejemplo modelando la materia dentro del universo como
un fluido perfecto. Aunque las estrellas y grandes estructuras pueden ser llamadas como unos "casi
modelo FLRW",es decir que supone homogeneidad e isotropía y que se asume que el componente
espacial de la métrica puede ser dependiente del tiempo, estrictamente un modelo FLRW es usado para
aproximar la geometría local del universo observable.
Otro camino para establecer la geometría local propone que, si todas las formas de Energía oscura son
ignoradas, entonces la curvatura del universo puede ser determinada midiendo la densidad media de la
materia que está dentro de él, asumiendo que toda la materia está distribuida uniformemente (más bien
que las distorsiones son causadas por objetos 'densos' como galaxias). Esta suposición es justificada por
las observaciones que, cuando el universo es "débilmente" heterogéneo, está sobre el promedio
homogéneo e isótropo. El universo homogéneo e isótropo da paso a una interpretación de la geometría
espacial con una curvatura constante. Un aspecto de la geometría local, surgida de la aplicación de la
Relatividad General y el modelo de FLRW, es que el parámetro de densidad,Omega (Ω), está
relacionado con la curvatura de espacio. Omega es la densidad promedio del universo dividida por la
densidad de la energía crítica, es decir la requerida para que el universo sea plano (sin curvatura). La
curvatura de espacio es una descripción matemática que se plantea si la hipótesis del teorema
Pitagórico es realmente el válida para ser aplicada en coordenadas espaciales. En este supuesto, el
teorema proporciona una fórmula alternativa para expresar relaciones locales entre distancias.
Si la curvatura es cero, entonces Ω = 1, y el Teorema de Pitágoras es correcto. Si por el contrario Ω > 1,
habrá una curvatura positiva, y si Ω < 1, habrá una curvatura negativa; en cualquiera de estos dos
casos el teorema de Pitágoras sería incorrecto (pero las discrepancias sólo se pueden detectar en los
triángulos cuyas longitudes de sus lados son de una escala cosmológica). Si se miden las
circunferencias de los círculos de diámetros regularmente más grandes y se dividen el antiguo por el
posterior, las tres geometrías nos dan el valor π para los diámetros suficientemente pequeños, pero el
radio no deja de ser π para diámetros más grandes, a no ser que π = 1. Para Ω > 1 (la esfera, ver
diagrama) el radio es menor que π: de hecho, un gran círculo en una esfera tiene una circunferencia

2. solamente dos veces su diámetro. Para Ω < 1 , la relación de transformación sube sobre π.
Las medidas astronómicas de la densidad de la materia-energía de los intervalos del universo y del
espacio-tiempo que usan acontecimientos de la supernova obligan la curvatura espacial para estar muy
cerca de cero, aunque no obligan su muestra. Esto significa que las geometrías locales son generadas
por la Teoría de la relatividad basada en intervalos de espacio-tiempo, y se pueden aproximar a la
Geometría Euclidiana.
Geometrías locales
Existen tres categorías para las posibles geometrías espaciales de curvatura constante, dependiendo del
signo de la curvatura. Si la curvatura es exactamente cero, entonces la geometría local es plana; si es
positiva, entonces la geometría es esférica, y si es negativa entonces la geometría local es hiperbólica.
La geometría del universo está usualmente representada en el sistema de distancia apropiada, según el
cual la expansión del universo puede ser ignorada.
Las coordenadas de la distancia apropiada forman un solo marco de referencia según el cual el universo
posee una geometría estática de tres dimensiones espaciales.
Asumiendo que el universo es homogéneo e isótropo, la curvatura del universo observable, o de la
geometría local, está descrita en una de las tres geometrías "primitivas":
• Geometría euclidiana de 3 dimensiones , anotada generalmente como E³
• Geometría esférica de 3 dimensiones con una pequeña curvatura, anotada generalmente como S³
• Geometría hiperbólica de 3 dimensiones con una pequeña curvatura, generalmente anotada
como H³
Incluso, si el universo no es exactamente plano, la curvatura espacial está lo bastante cerca de cero
como para poner el radio aproximadamente en el horizonte del universo observable, o más allá.
En la geometría clásica euclidiana, el quinto postulado lleva a estas conclusiones: por un punto solo
puede pasar una recta paralela (de hecho la definición típica de paralela es la de una recta que nunca se
encuentra con otra). De esto también se concluye que la suma de los ángulos internos de los triángulos
es siempre = 180°
En la geometría esférica es posible que sobre un punto fijo no pase ninguna paralela y la suma de los
ángulos internos de los triángulos sea de más de 180° (>180°).
En la geometría hiperbólica es posible que sobre un punto pasen dos paralelas y que la suma de los
ángulos interiores de los triángulos sea menor de 180° (<180°).

3. La geometría local del universo se determina aproximadamente si Omega es menos que, igual a o
mayor de 1. De arriba hacia abajo: un universo esférico ("riemanniano" o de curvatura positiva), un
universo hiperbólico ("lobachevskiano" o de curvatura negativa) , y un universo plano o de curvatura 0.
Geometría global
La geometría global cubre la geometría, en particular la topología, de todo el universo observable y
más allá de él. Cuando la geometría local no logra determinar la geometría global completamente, esto
limita las posibilidades, particularmente siendo una geometría de una curvatura constante. Para una
geometría espacial plana, se pensaba que la escala de cualquier característica de la topología sería
arbitraria, aunque una investigación más reciente sugiere que las tres dimensiones espaciales pueden
tender a igualarse en longitud. La escala de la longitud de una geometría plana puede o no ser
directamente detectada. Para las geometrías hiperbólicas y esféricas, la probabilidad de la detección de
la topología por la observación directa depende de la curvatura espacial. Usando el radio de esa
curvatura o su inverso multiplicativo como una escala, una curvatura pequeña de la geometría local,
con un radio correspondiente a una curvatura mayor que el horizonte observable, hace la topología
difícil o imposible de detectar si la curvatura es hiperbólica. Una geometría esférica con una pequeña
curvatura (gran radio o curvatura) no hace difícil la detección.
Dos investigaciones que se superponen fuertemente dentro del estudio de la geometría global son:
• si el universo es infinito en extensión o es un espacio compacto o finito.
• si el universo tiene una topología de conexión simple o no simple .
Compacidad de la forma global
Un espacio compacto es una definición topológica general que abarca la noción más aplicable de un
espacio métrico limitado. En modelos cosmológicos, se requiere o uno o ambos de los siguientes
postulados : el espacio tiene una curvatura positiva (como una esfera), y/o si está conectado de manera

4. múltiple, o, más estrictamente, no-simplemente conectado
Si la 3-variedad de una sección espacial del universo es compacta entonces, como en una esfera, las
líneas "rectas" ( en lo real, geodésicas ) que señalan en ciertas direcciones, cuando se extienden lo
suficientemente lejos en la misma dirección llegarán al punto de partida y el espacio tendrá un
"volumen" o "escala" que se puede definir. Si la geometría del universo no es compacta, entonces es
infinita en extensión con caminos infinitos de dirección constante que, generalmente no vuelven y el
espacio no tiene un volumen que se pueda definir, como en el plano euclidiano
Si la geometría espacial es esférica, la topología es compacta. Si no, para una geometría espacial plana
o hiperbólica, la topología puede ser o compacta o infinita.
Geodésicas a lo largo de una hiperesfera.
Universo plano
En un universo plano, todas las curvaturas locales y la geometría local es plana. En general, puede ser
descrita por el espacio euclídeo, sin embargo hay algunas geometrías espaciales que son planas y
limitadas en una o más direcciones. Esto incluye, en dos dimensiones, el cilindro, el toro, y la banda de
Möbius. Espacios similares en tres dimensiones (como la botella de Klein) existen también.
Universo esférico
Un universo posiblemente curvo está descrito por la geometría esférica, y puede ser pensado como una
hiperesfera tridimensional.

5. Uno de los esfuerzos en el análisis de la información de la WMAP es detectar un múltiple adosado
mutuo de imágenes del universo distante en la radiación de fondo de microondas cósmicas. Asumiendo
que la luz posee suficiente tiempo desde su origen para viajar por un universo limitado, muchas
imágenes pueden ser observadas. Cuando los resultados y el análisis no corresponden a una topología
limitada, y si el universo es limitado, entonces la curvatura espacial es pequeña, tal como la curvatura
espacial de la Tierra es pequeña comparada con un horizonte de mil kilómetros o más. Generalmente
-aunque no absolutamente- la idea de un universo de geometría esférica es asociada con la de un
universo finito (que tiene un punto de coclusión espacio temporal).
Basado en análisis de la información de la WMAP, durante el 2004-2006 los cosmólogos se
concentraron en la Conjetura de Poincaré, pero también consideraron las topologías de cuerno para ser
compatible con la información.
Universo hiperbólico
Un universo hiperbólico (frecuente pero confusamente llamado "abierto") está descrito por la geometría
hiperbólica, y puede creerse como un equivalente tridimensional de una forma de una montura
infinitamente extendida. Para la geometría local hiperbólica, varios de los posibles espacios
tridimensionales son informalmente llamados topologías de cuerno.
El destino último del universo abierto es que se continuará expandiendo para siempre, terminando en
una muerte fría del universo, un Big Freeze o un Big Rip. Esta topología es consistente con las medidas
astrofísicas hechas en los los últimos años de los 90'. Aunque también puede acabar en un Big Crunch.