en estas diapositivas se conocerá más sobre la geometría y sus aplicaciones, como fue que gracias al teorema de pappus y la reformulación de goulding ahora tenemos las formulas del area y el volumnen. tambien al final de la presentación hay unas preguntas para evaluar conocimientos

1. MATERIA: ÀNALISIS DE LA GEOMETRÌA PROYECTIVA
TEMA: Capítulo VI: Sobre la Esfera
INTEGRANTES:
• Chacha Chuquimarca
• Ponce Suarez
• Rugel Rugel
• Santillán Mora
CURSO:
3er Semestre

2. Objetivo
 Conocer más acerca de la esfera, su historia y su relación
con el quinto postulado de Euclides, para que así
reconozcamos lo que surgió a partir de la negación del
mismo, utilizaremos el programa GeoGebra puedan
apreciar más el tema.

3. Geometría esférica
Llamamos con los términos geometrías esférica el estudio
de las propiedades de la rectas,puntos,segmentos, y todas
las figuras geométricas puestas en la superficie de una
esfera.
La Geometría esférica es una geometría diferente a la
clásica euclidiana pero que tiene perfecta validez.
-En ella el plano es la superficie de la esfera.
-Los puntos son iguales que en la euclidiana.
-Las rectas son círculos grandes
-Pasan por dos puntos opuestos(geodésicas)

4. En la esfera los geodésicos son
los grandes círculos.
Así que los otros conceptos
geométricos son definidos
como en la geometría plana
pero con las líneas sustituidos
por los grandes círculos.
geometría esférica los ángulos
están definidos entre los
grandes círculos.
trigonometría esférica que
diferencie de la trigonometría
ordinaria en muchos aspectos
(por ejemplo, la suma de los
ángulos interiores de
un triángulo excede los
180 grados).
La geometría esférica es el
modelo más simple de
la geometría elíptica, en la cual
una línea no tiene ninguna
línea paralela a través de un
punto dado.
En contraste con la geometría
hiperbólica, en la cual una
línea tiene dos paralelas, y un
número infinito de ultra-
paralelos, a través de un punto
dado.

5. 180°., por lo tanto una esfera
es una variedad en el triángulo
curvo convexo la suma de los
ángulos puede ser superior a
180°.
Una esfera puede ser
representada por una colección
de mapas de dos dimensiones
un pequeño triángulo en la
cara de la Tierra, la suma de los
ángulos es muy cercana a
180°., por lo tanto una esfera
es una variedad, en el triángulo
curvo convexo la suma de los
ángulos puede ser superior a
180°.

6. SEMEJANZAS Y
DIFERENCIAS

7. La pirámide axiomática
Los postulados suelen plantearse como verdades autoevidentes, es decir
que su verdad nos parece más o menos obvia.
Otra característica de los postulados es que éstos no pueden ser deducidos
de otros postulados
SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS

8. El quinto postulado
El quinto postulado de Euclides
Dadas dos rectas en un plano y una tercera recta que las
corta: si la suma de los ángulos interiores
de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces
las rectas, si se extienden suficientemente, se
cortarán en el lado en el cual la suma de los ángulos es
menor que dos ángulos rectos.

9. FORMULAS DE LA ESFERA
El área de una esfera, es decir, la superficie que
envuelve a este sólido de revolución, viene determinado
por su radio (r), y se calcula mediante la siguiente
fórmula:

10. ¿Cómo se obtiene la fórmula del área de la
esfera?
 Como por el primer teorema de Pappus-Gulding, una superficie de revolución
se halla por:
 Para la superficie de una esfera hemos de considerar como línea generatriz
(Lg) a una semicircunferencia que envuelve a la mitad de la esfera, cuya
longitud es:


11. Volumen de la esfera
 El volumen de la esfera se calcula en función de su radio (r). Su fórmula es:

12. ¿Cómo se obtiene la fórmula del volumen de
la esfera?
 Por el segundo teorema de Pappus-Gulding, el volumen de un sólido de
revolución viene dado por:
 Para la esfera, hemos de considerar como superficie generatriz (Sg) a un
semicírculo de área π⋅r22π⋅r22 y el centroide del semicírculo al girar describe
una circunferencia de longitud (Lc):
 Multiplicando Sg y Lc obtenemos la fórmula del volumen de la esfera.

13. LA ESFERA

14. Elementos de una esfera

15. Triángulos dentro de una esfera
 La suma de los 3 ángulos suman mas de 180º .
 Mientras mas se acerca los lados , mas se aproxima los ángulos
a sumar 180º.
 Ortodromia : el camino mas corto de un punto a otro en una
superficie esférica
 Geodésica . Son los meridianos

16. APLICACIONES

17. Preguntas:
 1) Encierre el literal correspondiente sobre el concepto de la geometría
esférica.
A. En la cual una línea no tiene ninguna línea paralela a través de un punto
dado.
B. En la cual una línea tiene dos paralelas, y un número infinito de ultra-
paralelos, a través de un punto dado.
C. La geometría esférica es la geometría de la superficie bidimensional de
una esfera. Es un ejemplo de geometría no euclidiana.
D. Los ángulos están definidos entre los grandes círculos

18. PREGUNTAS
 2) IDENTIFIQUE
LA FORMULA DEL VOLUMEN DE LA ESFERA ES:
A)
B)
C)

19. PREGUNTAS
 COMPLETE SEGÚN CORRESPONDA
_________ES UN ____________ QUE RODEAN “LA ESFERA CELESTE”
 PARALELA ECUATORIAL,CURVAS MAXIMOS
 PARELELA LINEAL ,MERIDIANO DE GREENWICH
 MERIDIANO DE GREENWICH, CIRCULOS MAXIMO

20. PREGUNTAS
 ESCOJE Y COMPLETA CON LA PALABRA EN EL RECUADRO
EN LA REPRESENTACIÓN DE LA GEOMETRIA EN UN GLOBO TERRAQUEO LA LINEA DE
LATITUT QUE FORMA EL CIRCULO MAS GRANDE ES_____________
LINEA ECUATORIAL MERIDIANO POLO